F = Z τ ~ J × ~B0dτ
6.2 Forza di Lorentz
Riprendiamo la (6.2) e proviamo ad esplicitare la relazione di ~J per vedere come reagiscono le singole cariche alla presenza di un campo magnetico ~B0.
Ricordiamo come `e definito ~J : ~ J = n~vdq n = dN dτ Sostituiamolo nella (6.2): d ~F = ndτ · q~vd× ~B0 d ~F = dN ·q~vd× ~B0
Questa `e la forza che si esercita su un numero dN di cariche. Per capier qual `e la forza che si esercita sulla singola carica basta dividere per dN , e otteniamo la seguente relazione:
F = q~v × ~B0 (6.3)
Questa forza `e nota come forza forza di Lorentz
Questa forza ha una propriet`a molto particolare, oltre ad essere propor-zionale alla velocit`a `e una forza che `e sempre diretta perpendicolarmente alla direzione dello spostamento (indicata da ~v), per cui `e una forza che non compie lavoro.
Se immergiamo una particella carica in un campo ~B0 uniforme, e la spa-riamo con velocit`a ~v. Anche la forza di Lorentz rimane di modulo costante, ma non fa accelerare la particella, la devia costantemente, facendole fare un moto circolare uniforme (Figura 6.2)
Cerchiamo di calcolare qual `e il raggio di questo moto circolare. Sapendo dalle relazioni di meccanica che la forza centripeta `e proprio la forza di Lorentz, e che la velocit`a `e ortogonale al campo magnetico, possiamo scrivere che: Fc= mv 2 r = FL= qvB0 r = mv qB0 (6.4)
Figura 6.2: Traiettoria di una particella carica positivamente immersa in un campo magnetico omogeneo che si muove con velocit`a di modulo costante.
Dalla relazione del raggio possiamo ricavare due quantit`a interessanti, il periodo di rotazione e la frequenza:
mω02r = qωrB0 ω0= q mB0 T = 2π ω0 = 2πm qB0 ν0 = qB0 2πm (6.5)
Il valore ν0`e detto frequenza di ciclotrone ed il fatto che non dipende dal raggio la rende particolarmente interessante, infatti questa caratteristica `e sfruttata dai ciclotroni, i primi acceleratori di particelle.
6.2.1 Spettrometro di massa
Un esempio di impiego della forza di Lorentz riguarda lo spettrometro di massa, un particolare strumento in grado di sfruttare questo principio per separare da un unico fascio diverse particelle, selezionandole in base alla loro massa e alla loro carica.
Le particelle cariche vengono accelerate attraverso un condensatore, poi sparate in una zona in cui `e presente campo magnetico uniforme e, in base alla velocit`a che hanno raggiunto, deviate dalla forza di Lorentz con raggi diversi a seconda del rapporto mq. La Figura 6.3 spiega bene il funzionamen-to.
La velocit`a che raggiungono dopo aver attraversato il condensatore `e: 1
2mv
2
v0= r
2q∆V m
Sostituiamo questa espressione dentro la 6.4 per ottenere il valore corretto del raggio: r = 1 B0 m q r 2q∆V m r = 1 B0 r 2∆V m q
Come si vede il raggio dipende solo dal rapporto tra massa e carica della particella, particolarmente utile per distinguere tra loro ioni di diffe-renti molecole, che in genere possiedono la stessa carica, ma masse molto differenti.
Figura 6.3: Funzionamento dello spettrometro di massa, gli ioni carichi at-traversano un condenzatore a cui `e applicata una differenza di potenziale ∆V , acquistando energia cinetica e velocit`a. Escono dall’armatura del con-densatore attraverso una griglia e vengono immesse in una zona di spazio in cui `e presente un campo magnetico ~B0 uniforme e ortogonale alla loro velocit`a. La forza di Lorentz (6.3) curva le traiettorie con raggi differenti in base al rapporto carica/massa degli ioni, permettendo di distinguerli e classificarli.
Lo spettrometro di massa viene utilizzato anche nella tecnica del gas tracciante, per rilevare eventuali perdite di gas da un sistema. Il sistema viene pressurizzato con un gas tracciante, generalmente elio, e viene ispe-zionato attraverso una sonda collegata ad uno spettrometro di massa, lo spettrometro di massa riescie ad individuare precisamente il gas che fuorie-sce dalla sonda, e isolarne l’elio ionizzato. In base alle percentuali di elio rilevato si ha una stima estremamente precisa della perdita del materiale.
6.2.2 Ciclotrone
Un altro interessante sistema che sfrutta la forza di Lorentz `e il ciclotrone. Questo particolare sistema `e la prima forma di acceleratore di particelle ad essere stato realizzato.
Il funzionamento `e semplice. Un condensatore fatto da due griglie che lasciano passare le particelle `e collegato ad un generatore che `e in grado di invertire la polarit`a con una certa frequenza ν0. All’esterno di questo condensatore sono applicati due campi magnetici uniformi, e le particelle vengono poste nell’intercapedine.
Queste vengono accelerate dal campo elettrico e guadagnano una certa velocit`a v0una volta che giungono alla griglia, entrano nella zona con il cam-po magnetico e vengono deviate di un certo raggio r, fin quando rientrano all’interno del condensatore, in un altra posizione, a questo punto il genera-tore ha invertito la polarit`a e le particelle sono accelerate verso l’altra griglia, e poi curvate nuvamente con raggio r0 > r, quando rientrano il generatore ha invertito la polarit`a, e le particelle sono accelerate nuovamente.
Il funzionamento semplice del ciclotrone `e garantito da una propriet`a che avevamo discusso qualche paragrafo prima, in particolare dettato dalla frequenza di ciclotrone ν0 data proprio dalla formula 6.5.
ν0 = qB0 2πm
Che come si vede non dipende dalla velocit`a della particella e quindi non cambia durante il moto, questo ci assicura che il fascio di particelle rientra all’interno del condensatore sempre con la stessa frequenza e dopo lo stesso tempo, anche se ha percorso tratti pi`u lunghi (r e v invece aumentano).
Il suo funzionamento `e chiarito dalla Figura 6.4 6.2.3 Altri effetti della forza di Lorentz
Fino ad ora abbiamo visto tutti casi in cui la particella si muove perpendi-colarmente alla direzione di un campo magnetico uniforme.
Che succede se la velocit`a ha anche una componente diretta lungo il campo?
Possiamo in questo caso scomporre il moto della particella, proiettandolo sul piano ortigonale a ~B0. In questo piano quindi la particella compir`a moto circolare uniforme, seguendo tutte le relazioni che abbiamo ricavato precedentemente con l’accortezza di sostituire a v0 la proiezione di v sul piano ortogonale a ~B0, ossia:
v0 = v sin α
Dove α `e l’angolo che formano tra loro i vettori ~v e ~B0. Sulla direzione di ~
B0 invece abbiamo moto rettilineo uniforme. La composizione di questi due moti forma un elica.
Figura 6.4: Funzionamento del sincrotrone, il condensatore centrale (le cui armature sono due griglie per far passare le particelle) `e collegato ad un ge-neratore che scambia la polarit`a con frequenza ν0, all’esterno c’`e un campo magnetico ~B0. Le particelle cariche sono poste al centro del condensatore, e vengono mano mano accelerate dal campo elettrico interno al condensatore (che scambiando le polarit`a `e sempre concorde alla velocit`a delle cariche), mentre la velocit`a delle particelle aumenta, aumenta di conseguenza il lo-ro raggio di curvatura della forza, raggiunta una certa velocit`a v (a cui corrisponde un raggio) le particelle vengono raccolte da un selettore.
Un caso interessante `e quando ~B0varia nello spazio e non `e uniforme. Lo studio del moto della particella in questi casi pu`o essere alquanto complesso, in particolare si osserva che la particella cerca di muoversi a elica seguendo le linee di campo di ~B0.
Per spiegare questo fenomeno basta osservare che punto per punto la particella segue un movimento a elica attorno a ~B0, in un istante successivo
~
B0 sar`a ruotato, per cui il moto circolare la particella lo compie sul nuovo piano perpendicolare a ~B0 muovendosi di moto rettilineo uniforme nella nuova direzione di ~B0.
Ancora pi`u interessante `e il caso in cui anche il modulo di ~B0`e variabile, in questo caso se cresce di intensit`a lungo la linea di forza l’elica si restrin-ger`a di raggio. Possono avvenire fenomeni curiosi, come il cosiddetto effetto bottiglia, in cui le particelle cariche rimangono intrappolate in una region-de di spazio dal campo magnetico, questo avviene ad esempio nel campo magnetico terrestre quando le particelle cariche della ionosfera si avvicinano velocemente ai poli, formano delle eliche che ruotano sempre pi`u velocemente stringendosi. Il campo magnetico nei pressi dei poli diventa talmente inten-so che `e in grado di ribaltare la velocit`a di queste molecole che rimangono intrappolate nelle linee di campo non giungendo mai a terra.
Questo meccanismo ci protegge dal pericolosissimo vento solare.