Dato un gioco G = (N, v) si definisce nucleo di un gioco

CONFERENZE E SEMINARI 2018-2019 11 Definizione 2: Dato un gioco G = (N, v) si definisce nucleo di un gioco

cooperativo a utilità trasferibile l’insieme dei vettori x = (x>, x?, … , xA) ∈ ℝC (dove xD rappresenta la vincita del giocatore 𝑖𝑖) tali che:

• ∑G∈H𝑥𝑥G= 𝑣𝑣(𝑁𝑁) • ∀𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁, ∑ 𝑥𝑥G∈M G≥ 𝑣𝑣(𝑆𝑆)

Osserviamo che la prima relazione garantisce che sia stata suddivisa tra i giocatori l’intera vincita, la seconda garantisce che la somma delle vincite dei giocatori di ogni coalizione sia maggiore o uguale a quella che otterrebbe la coalizione da sola indipendentemente dalle scelte degli altri giocatori. Inoltre, la relazione sulle coalizioni ha come caso particolare quello delle coalizioni con un solo elemento, e dunque risulta che ∀𝑖𝑖 = 1, … , 𝑛𝑛, 𝑥𝑥G≥ 𝑣𝑣(𝑖𝑖) cioè ogni giocatore riceve una vincita maggiore o uguale a quanto potrebbe ottenere da solo. Dunque ogni elemento del nucleo è una ripartizione della vincita che garantisce la stabilità, dato che nessuna colazione può ottenere maggiori vantaggi escludendo gli altri giocatori.

Per esempio, il nucleo del gioco dei musicisti è proprio l’insieme dei vettori (x(A), x(B), x(C)) che soddisfano le relazioni 1), 2) e 3) formulate dagli studenti e riportate nel paragrafo precedente.

Osserviamo che, in generale, il nucleo può essere vuoto, può avere un solo elemento o più elementi, a seconda della funzione caratteristica del gioco. Per completezza, ricordo che altri approcci, basati su scelte diverse, portano a soluzioni diverse. Per approfondire si rimanda a Patrone (2006) e ad altri trattati specialistici.

CONCLUSIONE

La teoria dei giochi è una parte della matematica particolarmente ricca di problemi che offrono la possibilità di costruire attività didattiche per promuovere processi decisionali, argomentazioni a sostegno delle scelte e assunzione di diversi punti di vista. Nel laboratorio qui presentato gli studenti si sono trovati in una situazione in cui hanno dovuto effettuare delle scelte. Al fine di sostenere la propria posizione, gli studenti hanno esplicitato e discusso i criteri alla base delle loro decisioni e hanno prodotto argomentazioni e contro- argomentazioni su diversi livelli: nelle discussioni sui criteri stessi e a sostegno dell’adeguatezza degli strumenti matematici utilizzati per soddisfare i criteri.

L’intensa attività argomentativa è certamente effetto, oltre che del particolare problema matematico, dell’interazione tra studenti che ha promosso il confronto tra punti di vista, quello degli studenti stessi e quello dei musicisti. Importante è stato il fatto che la matematica necessaria per la trattazione di questo problema sia piuttosto elementare. Si potrebbe obiettare che questo sia un punto debole del laboratorio qui presentato, tuttavia occorre fare una precisazione. Da un lato possiamo forse dire che i concetti e le procedure si definisce nucleo di un gioco cooperativo a utilità trasferibile l’insieme dei vettori

CONFERENZE E SEMINARI 2018-2019 11 Definizione 2: Dato un gioco G = (N, v) si definisce nucleo di un gioco

cooperativo a utilità trasferibile l’insieme dei vettori x = (x>, x?, … , xA) ∈ ℝC (dove xD rappresenta la vincita del giocatore 𝑖𝑖) tali che:

• ∑G∈H𝑥𝑥G= 𝑣𝑣(𝑁𝑁) • ∀𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁, ∑ 𝑥𝑥G∈M G≥ 𝑣𝑣(𝑆𝑆)

Osserviamo che la prima relazione garantisce che sia stata suddivisa tra i giocatori l’intera vincita, la seconda garantisce che la somma delle vincite dei giocatori di ogni coalizione sia maggiore o uguale a quella che otterrebbe la coalizione da sola indipendentemente dalle scelte degli altri giocatori. Inoltre, la relazione sulle coalizioni ha come caso particolare quello delle coalizioni con un solo elemento, e dunque risulta che ∀𝑖𝑖 = 1, … , 𝑛𝑛, 𝑥𝑥G≥ 𝑣𝑣(𝑖𝑖) cioè ogni giocatore riceve una vincita maggiore o uguale a quanto potrebbe ottenere da solo. Dunque ogni elemento del nucleo è una ripartizione della vincita che garantisce la stabilità, dato che nessuna colazione può ottenere maggiori vantaggi escludendo gli altri giocatori.

Per esempio, il nucleo del gioco dei musicisti è proprio l’insieme dei vettori (x(A), x(B), x(C)) che soddisfano le relazioni 1), 2) e 3) formulate dagli studenti e riportate nel paragrafo precedente.

Osserviamo che, in generale, il nucleo può essere vuoto, può avere un solo elemento o più elementi, a seconda della funzione caratteristica del gioco. Per completezza, ricordo che altri approcci, basati su scelte diverse, portano a soluzioni diverse. Per approfondire si rimanda a Patrone (2006) e ad altri trattati specialistici.

CONCLUSIONE

La teoria dei giochi è una parte della matematica particolarmente ricca di problemi che offrono la possibilità di costruire attività didattiche per promuovere processi decisionali, argomentazioni a sostegno delle scelte e assunzione di diversi punti di vista. Nel laboratorio qui presentato gli studenti si sono trovati in una situazione in cui hanno dovuto effettuare delle scelte. Al fine di sostenere la propria posizione, gli studenti hanno esplicitato e discusso i criteri alla base delle loro decisioni e hanno prodotto argomentazioni e contro- argomentazioni su diversi livelli: nelle discussioni sui criteri stessi e a sostegno dell’adeguatezza degli strumenti matematici utilizzati per soddisfare i criteri.

L’intensa attività argomentativa è certamente effetto, oltre che del particolare problema matematico, dell’interazione tra studenti che ha promosso il confronto tra punti di vista, quello degli studenti stessi e quello dei musicisti. Importante è stato il fatto che la matematica necessaria per la trattazione di questo problema sia piuttosto elementare. Si potrebbe obiettare che questo sia un punto debole del laboratorio qui presentato, tuttavia occorre fare una precisazione. Da un lato possiamo forse dire che i concetti e le procedure (dove xi rappresenta la vincita del giocatore i) tali che:

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Definizione 2: Dato un gioco G = (N, v) si definisce nucleo di un gioco

cooperativo a utilità trasferibile l’insieme dei vettori x = (x>, x?, … , xA) ∈ ℝC

(dove xD rappresenta la vincita del giocatore 𝑖𝑖) tali che:

• ∑G∈H𝑥𝑥G= 𝑣𝑣(𝑁𝑁)

• _{∀𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁, ∑ 𝑥𝑥G∈M G≥ 𝑣𝑣(𝑆𝑆)}

Osserviamo che la prima relazione garantisce che sia stata suddivisa tra i giocatori l’intera vincita, la seconda garantisce che la somma delle vincite dei giocatori di ogni coalizione sia maggiore o uguale a quella che otterrebbe la coalizione da sola indipendentemente dalle scelte degli altri giocatori. Inoltre, la relazione sulle coalizioni ha come caso particolare quello delle coalizioni con

un solo elemento, e dunque risulta che ∀𝑖𝑖 = 1, … , 𝑛𝑛, 𝑥𝑥G≥ 𝑣𝑣(𝑖𝑖) cioè ogni

giocatore riceve una vincita maggiore o uguale a quanto potrebbe ottenere da solo. Dunque ogni elemento del nucleo è una ripartizione della vincita che garantisce la stabilità, dato che nessuna colazione può ottenere maggiori vantaggi escludendo gli altri giocatori.

Per esempio, il nucleo del gioco dei musicisti è proprio l’insieme dei vettori (x(A), x(B), x(C)) che soddisfano le relazioni 1), 2) e 3) formulate dagli studenti e riportate nel paragrafo precedente.

Osserviamo che, in generale, il nucleo può essere vuoto, può avere un solo elemento o più elementi, a seconda della funzione caratteristica del gioco. Per completezza, ricordo che altri approcci, basati su scelte diverse, portano a soluzioni diverse. Per approfondire si rimanda a Patrone (2006) e ad altri trattati specialistici.

CONCLUSIONE

La teoria dei giochi è una parte della matematica particolarmente ricca di problemi che offrono la possibilità di costruire attività didattiche per promuovere processi decisionali, argomentazioni a sostegno delle scelte e assunzione di diversi punti di vista. Nel laboratorio qui presentato gli studenti si sono trovati in una situazione in cui hanno dovuto effettuare delle scelte. Al fine di sostenere la propria posizione, gli studenti hanno esplicitato e discusso i criteri alla base delle loro decisioni e hanno prodotto argomentazioni e contro- argomentazioni su diversi livelli: nelle discussioni sui criteri stessi e a sostegno dell’adeguatezza degli strumenti matematici utilizzati per soddisfare i criteri.

L’intensa attività argomentativa è certamente effetto, oltre che del particolare problema matematico, dell’interazione tra studenti che ha promosso il confronto tra punti di vista, quello degli studenti stessi e quello dei musicisti. Importante è stato il fatto che la matematica necessaria per la trattazione di questo problema sia piuttosto elementare. Si potrebbe obiettare che questo sia un punto debole del laboratorio qui presentato, tuttavia occorre fare una precisazione. Da un lato possiamo forse dire che i concetti e le procedure

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S. Antonini, Scegliere, argomentare, comprendere

Osserviamo che la prima relazione garantisce che sia stata suddivisa tra i giocatori l’intera vincita, la seconda garantisce che la somma delle vincite dei giocatori di ogni coalizione sia maggiore o uguale a quella che otterrebbe la coalizione da sola indipendentemente dalle scelte degli altri giocatori. Inoltre, la relazione sulle coalizioni ha come caso particolare quello delle coalizioni con un solo elemento, e dunque risulta che

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Definizione 2: Dato un gioco G = (N, v) si definisce nucleo di un gioco

cooperativo a utilità trasferibile l’insieme dei vettori x = (x>, x?, … , xA) ∈ ℝC

(dove xD rappresenta la vincita del giocatore 𝑖𝑖) tali che:

• _{∑G∈H𝑥𝑥G= 𝑣𝑣(𝑁𝑁)}

• _{∀𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁, ∑ 𝑥𝑥}G∈M _G≥ 𝑣𝑣(𝑆𝑆)

Osserviamo che la prima relazione garantisce che sia stata suddivisa tra i giocatori l’intera vincita, la seconda garantisce che la somma delle vincite dei giocatori di ogni coalizione sia maggiore o uguale a quella che otterrebbe la coalizione da sola indipendentemente dalle scelte degli altri giocatori. Inoltre, la relazione sulle coalizioni ha come caso particolare quello delle coalizioni con

un solo elemento, e dunque risulta che ∀𝑖𝑖 = 1, … , 𝑛𝑛, 𝑥𝑥G≥ 𝑣𝑣(𝑖𝑖) cioè ogni

giocatore riceve una vincita maggiore o uguale a quanto potrebbe ottenere da solo. Dunque ogni elemento del nucleo è una ripartizione della vincita che garantisce la stabilità, dato che nessuna colazione può ottenere maggiori vantaggi escludendo gli altri giocatori.

Per esempio, il nucleo del gioco dei musicisti è proprio l’insieme dei vettori (x(A), x(B), x(C)) che soddisfano le relazioni 1), 2) e 3) formulate dagli studenti e riportate nel paragrafo precedente.

Osserviamo che, in generale, il nucleo può essere vuoto, può avere un solo elemento o più elementi, a seconda della funzione caratteristica del gioco. Per completezza, ricordo che altri approcci, basati su scelte diverse, portano a soluzioni diverse. Per approfondire si rimanda a Patrone (2006) e ad altri trattati specialistici.

CONCLUSIONE

La teoria dei giochi è una parte della matematica particolarmente ricca di problemi che offrono la possibilità di costruire attività didattiche per promuovere processi decisionali, argomentazioni a sostegno delle scelte e assunzione di diversi punti di vista. Nel laboratorio qui presentato gli studenti si sono trovati in una situazione in cui hanno dovuto effettuare delle scelte. Al fine di sostenere la propria posizione, gli studenti hanno esplicitato e discusso i criteri alla base delle loro decisioni e hanno prodotto argomentazioni e contro- argomentazioni su diversi livelli: nelle discussioni sui criteri stessi e a sostegno dell’adeguatezza degli strumenti matematici utilizzati per soddisfare i criteri.

L’intensa attività argomentativa è certamente effetto, oltre che del particolare problema matematico, dell’interazione tra studenti che ha promosso il confronto tra punti di vista, quello degli studenti stessi e quello dei musicisti. Importante è stato il fatto che la matematica necessaria per la trattazione di questo problema sia piuttosto elementare. Si potrebbe obiettare che questo sia un punto debole del laboratorio qui presentato, tuttavia occorre fare una precisazione. Da un lato possiamo forse dire che i concetti e le procedure

cioè ogni giocatore riceve una vincita maggiore o uguale a quanto potrebbe ottenere da solo. Dunque ogni elemento del nucleo è una ripartizione della vincita che garantisce la stabilità, dato che nessuna colazione può ottenere maggiori van- taggi escludendo gli altri giocatori.

Per esempio, il nucleo del gioco dei musicisti è proprio l’insieme dei vettori (x(A), x(B), x(C)) che soddisfano le relazioni 1), 2) e 3) formulate dagli stu- denti e riportate nel paragrafo precedente.

Osserviamo che, in generale, il nucleo può essere vuoto, può avere un solo elemento o più elementi, a seconda della funzione caratteristica del gioco. Per completezza, ricordo che altri approcci, basati su scelte diverse, portano a so- luzioni diverse. Per approfondire si rimanda a Patrone (2006) e ad altri trattati specialistici.

Conclusione

La teoria dei giochi è una parte della matematica particolarmente ricca di problemi che offrono la possibilità di costruire attività didattiche per promuo- vere processi decisionali, argomentazioni a sostegno delle scelte e assunzione di diversi punti di vista. Nel laboratorio qui presentato gli studenti si sono trovati in una situazione in cui hanno dovuto effettuare delle scelte. Al fine di sostenere la propria posizione, gli studenti hanno esplicitato e discusso i criteri alla base delle loro decisioni e hanno prodotto argomentazioni e contro- argomentazioni su diversi livelli: nelle discussioni sui criteri stessi e a sostegno dell’adeguatezza degli strumenti matematici utilizzati per soddisfare i criteri.

L’intensa attività argomentativa è certamente effetto, oltre che del parti- colare problema matematico, dell’interazione tra studenti che ha promosso il confronto tra punti di vista, quello degli studenti stessi e quello dei musicisti.

Importante è stato il fatto che la matematica necessaria per la trattazione di questo problema sia piuttosto elementare. Si potrebbe obiettare che questo sia un punto debole del laboratorio qui presentato, tuttavia occorre fare una precisazione. Da un lato possiamo forse dire che i concetti e le procedure ma- tematiche coinvolti nel laboratorio siano elementari, soprattutto nella scuola secondaria di II grado, ma non è così se pensiamo ai processi coinvolti nel

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trattamento del problema. Attivare processi decisionali consapevoli, argomen- tare le proprie scelte, comprendere i punti di vista e le argomentazioni altrui, considerare che non c’è soluzione se non vengono esplicitati criteri per defini- re cosa sia una soluzione, costruire un modello matematico e valutarlo, sono processi di pensiero matematico culturalmente e cognitivamente significativi, accessibili agli studenti ma tutt’altro che elementari.

Riferimenti bibliografici

Antonini, S. (2017). Argomentare, comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri: attività didattiche con la teoria dei giochi cooperativi. In B. D’Amore & S. Sbaragli (eds.), Matematica, didattica e scuola: fra ricerca e prassi quotidiana, pp. 3-8. Pitagora Editrice Bologna.

Antonini, S. (2018). Giocare con la matematica: argomentare, modellizzare e costru- ire significati. In Quaderni di Ricerca in Didattica, Numero Speciale n. 2, 2018, G.R.I.M., pp. 13-18.

Bartolini Bussi, M.G. e Boni, M. (1995). Analisi dell’interazione verbale nella di- scussione matematica: un approccio vygotskiano. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, 18A(3), 221-256.

Blum, W., Galbraith, P. L., Henn, H.-W. e Niss, M. (Eds.). (2007). Modelling and applications in mathematics education. The 14th ICMI Study. New York: Springer. Duncker, K. (1935). Zur Psychologie des produktiven Denkens, Springer [Traduzione

italiana: La psicologia del pensiero produttivo, Giunti-Barbera, 1969].

Garuti, R. e Boero, P. (2002). Interiorisation of forms of argumentation: a case stu- dy. Proceedings of the 26th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, v. 2, 408-415. Norwich: PME.

Martignone, F. (2007). Analisi di processi di pianificazione e sviluppo di strategie ri- solutive in problemi di Teoria dei Giochi (Tesi di Dottorato non pubblicata). Uni- versità di Genova.

Martignone, F. e Sabena, C. (2014). Analysis of argumentation processes in stra- tegic interaction problems. In Liljedahl, P., Nicol, C., Oesterle, S., & Allan, D. (Eds.) Proc. of the joint meeting of PME 38 and PME-NA 36 (Vol. 1, pp. 218-223). Vancouver, Canada: PME.

Ministero della Giustizia (2010). Gazzetta Ufficiale della Repubblica Italiana, sup- plemento ordinario alla Gazzetta Ufficiale n. 137 del 15 giugno 2010, n. 128/L. Miur (2012). Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola dell’infanzia e del primo ciclo

di istruzione. Annali della Pubblica Istruzione, Numero Speciale. Firenze: Le Monnier. Patrone, F. (2006). Decisori (razionali) interagenti. Una introduzione alla teoria dei

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S. Antonini, Scegliere, argomentare, comprendere

Polya, G. (1945). How solve it. [Traduzione italiana: Come risolvere i problemi di ma- tematica. Milano, Feltrinelli, 1967].

Reggiani, M. (2008). Il laboratorio come “ambiente” per l’insegnamento-apprendi- mento della matematica: riflessioni. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, 31 A-B, n. 6, pp. 645-663.

Soldano, C., Luz, Y., Arzarello, F., Yerushalmy, M. (2019). Technology-based inquiry in geometry: semantic games through the lens of variation. Educational Studies in Mathematics, 100(1), pp. 7-23.

Umi, Miur, Sis e Mathesis (2003). Matematica 2003. Lucca, Italia: Liceo Scientifico “A. Vallisneri”.

Zan, R. (1998). Problemi e convinzioni. Bologna: Pitagora.

Sunto. In questo contributo si presentano i primi risultati di un progetto di ri- cerca volto a studiare lo sviluppo a lungo termine delle competenze argomentative in matematica. Il lavoro si avvale di due lenti teoriche opportunamente combina- te: le funzioni della spiegazione e le dimensioni della razionalità.

Introduzione

Questo contributo si situa all’interno del progetto “Linguaggio e argo- mentazione”, volto alla pianificazione, sperimentazione e analisi di percorsi ad ampio respiro intorno al “nodo” dell’argomentazione in campo matematico. I percorsi sono rivolti a studenti di tutti i livelli scolari (dalla scuola primaria alla scuola secondaria di secondo grado, in una prospettiva di continuità verticale) e sono finalizzati allo sviluppo di competenze argomentative e, negli ordini di scuola superiori, a promuovere un ingresso significativo nella “cultura dei teoremi” (Boero, 2007). Il progetto, nato nel contesto del Piano Nazionale Lauree Scientifiche, è attivo dal 2007 e ha avuto fino ad oggi risvolti sul piano dello sviluppo professionale degli insegnanti coinvolti e sul piano della ricerca, in termini di sviluppo di strumenti teorici per il design di attività e l’analisi

Nel documento Conferenze e Seminari dell'Associazione Subalpina Mathesis 2018-2019 (pagine 43-47)