Un ambito che trovo particolarmente indicato per stimolare processi de- cisionali, produrre argomentazioni e assumere diversi punti di vista è la teoria
dei giochi, per motivi che vado presto a chiarire4. La teoria dei giochi è una parte
della matematica “che ha per oggetto di analisi le situazioni in cui più decisori si
trovano a fare delle scelte, dal complesso delle quali dipende il risultato finale” (Pa-
trone, 2006, p. 1, corsivo mio). Una delle distinzioni fondamentali all’interno della teoria dei giochi è quella tra giochi cooperativi e giochi non cooperativi. Si parla di giochi cooperativi quando ai giocatori è data la facoltà di sottoscrivere accordi vincolanti, e di giochi non cooperativi quando tale facoltà non è data. Esempi di giochi non cooperativi sono quelli in cui gli obiettivi dei due gio- catori sono conflittuali, per esempio i casi in cui un giocatore vince se e solo se l’altro giocatore perde. Su problemi di teoria dei giochi cooperativi è invece costruito il laboratorio che vado a presentare.
I problemi posti sono giochi in cui diversi giocatori possono cooperare per arrivare ad un accordo, il più vantaggioso possibile per tutti. Gestire problemi di questo tipo richiede di prendere in considerazione gli obiettivi, le richieste e le argomentazioni dei diversi giocatori, assumendo vari punti di vista. Arrivare in classe ad una soluzione condivisa comporta inoltre uno scontro tra contrap- poste argomentazioni per arrivare a conciliare i diversi punti di vista.
Il laboratorio è stato proposto in due situazioni molto diverse nell’ambito delle attività del Dipartimento di Matematica dell’Università di Pavia per il
4 Diversi studi in didattica della matematica hanno fatto uso della teoria dei giochi come ambien- te stimolante per attività di problem-solving e per promuovere la produzione di congetture e argo- mentazioni. Si vedano, per esempio, i lavori dei ricercatori italiani Martignone (2007), Martignone e Sabena (2014), Soldano et al. (2019).
Conferenze e Seminari 2018-2019
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37Piano Lauree Scientifiche. Nell’anno 2016/2017 è stato proposto in una II
e una III di una scuola secondaria di primo grado dall’insegnante di mate- matica. Nel giugno 2017 è stato condotto dall’autore di questo articolo con studenti di scuola secondaria di secondo grado in occasione di un loro stage presso il Dipartimento di Matematica. In entrambe le occasioni le attività con gli studenti hanno richiesto circa 8 ore, di cui la maggior parte dedicate al laboratorio che vado a descrivere.
Gli obiettivi didattici di questo laboratorio sono pienamente coerenti con gli obiettivi di apprendimento e i traguardi per lo sviluppo delle competenze sopra richiamati (si veda anche Antonini, 2017; Antonini, 2018). In dettaglio, attraverso l’esperienza diretta degli studenti nella gestione di situazioni proble- matiche della teoria dei giochi cooperativi, si intendeva promuovere:
- processi decisionali consapevoli (cioè effettuare scelte, essere consapevoli delle scelte effettuate e del fatto che sono possibili scelte diverse);
- produzione di argomentazioni a sostegno delle scelte effettuate;
- comprensione delle scelte, dei punti di vista e delle argomentazioni degli altri;
- cambiamento del punto di vista in seguito ad una valutazione critica delle argomentazioni altrui;
- discussioni in cui argomentazioni, contro-argomentazioni e punti di vista diversi si conciliano fino ad arrivare ad una proposta condivisa;
- costruzione di un modello matematico, valutazione dell’adeguatezza delle soluzioni fornite dal modello e validazione del modello stesso;
- costruzione dei significati di punto di vista, argomentazione, modellizzazione. I problemi proposti sono riformulazioni degli insegnanti coinvolti nel pro- getto di alcuni giochi classici della teoria dei giochi cooperativi tratti da Patro- ne (2006). La scelta dei problemi è stata effettuata in modo che:
- gli studenti potessero immedesimarsi nella situazione descritta dai problemi, dunque il contesto fosse sufficientemente vicino a situazioni a loro familiari; - non ci fosse un criterio o una procedura per determinare una soluzione;
diverse risposte fossero possibili e lo stesso significato di ‘soluzione’ potesse (anzi, dovesse!) essere messo in discussione;
- non fossero necessarie conoscenze matematiche particolari per formulare una proposta e per argomentarla, né il problema suggerisse l’uso di parti- colari strumenti matematici.
Focalizzeremo l’attenzione sul seguente problema, con il quale si è aperto il laboratorio e la cui ‘soluzione’ ha richiesto circa 6 ore:
Tre musicisti, Ada, Bea e Ciro, vengono contattati per suonare ad una festa. Potranno esibirsi da soli, in coppia o in trio. Le ricompense stabilite dall’organiz-
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S. Antonini, Scegliere, argomentare, comprenderezatore dell’evento sono le seguenti: 100 euro ad Ada (se suona sola), 150 euro a Bea (da sola), 180 euro a Ciro (da solo), 600 euro al trio se suonano insieme. Se suonano in coppia, i ricavi saranno i seguenti: 400 euro alla coppia Ada e Bea, 300 euro a Ada e Ciro, 420 euro a Bea e Ciro. Mettendovi nei panni dei tre musi- cisti, provate a discutere l’offerta e spiegate in che modo Ada, Bea e Ciro potrebbero accordarsi. Ricordatevi di motivare in modo adeguato le vostre affermazioni.
Per meglio comprendere il problema facciamo alcuni esempi. Se Ada e Bea decidessero di suonare insieme, il loro guadagno sarebbe di 400 euro che loro potrebbero suddividere come ritengono opportuno (e dunque non necessa- riamente in parti uguali). A Ciro non resterebbe che decidere di non suonare oppure di suonare da solo, ottenendo 180 euro. Se, invece, i tre musicisti decidessero di suonare insieme, dovrebbero trovare un accordo su come sud- dividere i 600 euro di guadagno. Osserviamo che, dunque, non c’è una solu- zione in senso classico e che lo stesso significato di ‘soluzione’ può diventare oggetto di riflessione. Ci possono essere diverse opzioni del tutto ragionevoli, sia relativamente alla scelta del compagno o dei compagni con cui suonare, sia sulle modalità di suddivisione del guadagno. Il punto semmai è quello di de- terminare cosa si intende con ‘opzione ragionevole’, ovvero sulla base di quali criteri una proposta possa essere più adeguata di un’altra.
Nel corso del laboratorio, per arrivare ad una proposta di classe, è necessario negoziare e questo deve avvenire su due livelli. Uno è il livello degli studenti coinvolti nell’attività didattica, i quali devono trovare un accordo e dunque con- ciliare proposte diverse in merito al comportamento dei tre musicisti. L’altro è il livello dei tre musicisti che possono avere punti di vista diversi e obiettivi di guadagno che entrano in conflitto. In altre parole, gli studenti devono negoziare una proposta sulla negoziazione dei tre musicisti. Come già riportato in altra sede (Antonini, 2018, p. 16) “ci troviamo di fronte ad un gioco (quello di cui si occupa la teoria dei giochi e che riguarda il negoziato tra i tre musicisti), e una riflessione sul gioco che riguarda il negoziato tra gli alunni”.
Il laboratorio è stato gestito dall’insegnante e articolato in tre fasi: lavoro a piccoli gruppi di studenti volto all’esplorazione del problema e alla formula- zione delle proposte di una soluzione; esposizione del lavoro di ogni gruppo a tutta la classe; discussione finale collettiva di riflessione e di confronto tra le diverse proposte e costruzione di un modello matematico condiviso.