L’ultima selezione di dati riguarda un percorso di avvio al pensiero propor- zionale proposto nella classe seconda secondaria di primo grado. Il problema proposto è il seguente: Guglielmo è sempre contento quando può invitare a casa
sua gli amici. In tali occasioni prepara la sua specialità, l’arancia-frizza, mischian- do succo d’arancia e Sprite. Venerdì prepara 7 litri d’arancia-frizza, mischiando 3 litri di succo d’arancia e 4 di Sprite. Sabato prepara 9 litri di arancia-frizza, mischiando 4 litri di succo d’arancia e 5 di Sprite. L’arancia-frizza di sabato avrà lo stesso gusto di quella di venerdì? Spiega il tuo ragionamento.
Per maggiori informazioni sul percorso “dell’arancia frizza” si rimanda a Morselli e Testera (2015).
La risposta individuale di Francesca è la seguente:
Secondo me l’arancia-frizza di sabato avrà lo stesso gusto di quella di venerdì perché, anche se le quantità del prodotto sono diverse, il rapporto tra gli ingredienti è lo stesso. Infatti per preparare l’arancia-frizza si usa sempre 1 litro in più di Sprite rispetto al succo di arancia. Secondo me il rapporto tra gli ingredienti dell’arancia- frizza è il seguente: (x-1)/x
La spiegazione fornita da Francesca ha funzione 2, perché Francesca for- nisce una motivazione: per lei il gusto non cambia perché il rapporto tra in- gredienti non cambia. Inoltre, la spiegazione ha funzione 3 perché Francesca interpreta la relazione tra i due ingredienti in termini matematici. La rispo- sta di Francesca denota carenze a livello epistemico, perché Francesca chiama “rapporto” quella che in realtà è una relazione additiva, non moltiplicativa. Dal punto di vista comunicativo la risposta è chiara. L’utilizzo di notazioni algebriche è coerente con lo scopo di farsi capire dai compagni.
Nella successiva discussione di classe, le soluzioni individuali sono messe a confronto e l’insegnante guida gradualmente gli studenti nella costruzione sociale della soluzione corretta. L’insegnante insiste molto sul confronto tra rapporti di ingredienti. Alla fine del percorso, gli studenti ricevono una scheda individuale di “ripensamento”: Riguarda quello che avevi scritto. Pensi che la
soluzione sia corretta? Pensi che la risposta da te proposta contenga anche una spiegazione per la soluzione proposta? Se sì, useresti la stessa oggi? Se no, quale spiegazione forniresti oggi?
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E. Levenson, F. Morselli, Lo sviluppo delle competenze argomentativela discussione matematica. Nel percorso a lungo termine, si può osservare una graduale evoluzione dai campi di esperienza extramatematici (la misurazione della neve) a quelli intramatematici (i numeri negativi), con possibili ritorni all’extramatematico (le ricette) letto con gli strumenti della matematica. A livello di attività proposte, alla produzione scritta individuale seguita dalla di- scussione di bilancio si aggiunge, nella secondaria di primo grado, la proposta di schede di “ripensamento”, in un’ottica di valutazione formativa.
L’analisi delle spiegazioni prodotte, effettuata mediante i due strumenti teorici (funzioni della spiegazione e dimensioni di razionalità’), permette in primo luogo di meglio caratterizzare la razionalità dello spiegare, soprattutto per quanto riguarda certe funzioni che si presentano con regolarità.
Relativamente alla funzione 1, la dimensione epistemica riguarda la corret- tezza della procedura dal punto di vista matematico, la dimensione teleologica il riferimento allo scopo finale e la dimensione comunicativa la comunicazione della procedura (descrizione di tutti i passaggi).
Relativamente alla funzione 2, la dimensione epistemica riguarda il riferi- mento alle corrette proprietà matematiche, la dimensione teleologica la scelta delle proprietà adatte in relazione allo scopo e la dimensione comunicativa l’organizzazione di una spiegazione comprensibile.
Relativamente alla funzione 3, la dimensione epistemica riguarda la cor- retta interpretazione dell’affermazione matematica / dell’oggetto nel contesto quotidiano; la dimensione teleologica riguarda la scelta di un contesto quoti- diano adeguato per dare significato al concetto, o l’utilizzo dell’interpretazione quotidiana per sostenere il ragionamento e perseguire lo scopo; la dimensione comunicativa riguarda la chiarezza nell’esporre la relazione tra contesto quoti- diano e contesto matematico.
Lo studio delle spiegazioni prodotte va avanti, allo scopo di caratterizzare in maniera ancora più fine tutte le funzioni della spiegazione.
L’analisi nel dettaglio delle produzioni e interventi di Francesca ci permette di formulare anche alcune riflessioni in termini di “evoluzione” delle com- petenze argomentative nel corso della scolarità. Francesca si mostra sin dalla prima classe di scuola primaria in grado di produrre argomentazioni, ascoltare le argomentazioni prodotte da altri, interagire con i compagni e scegliere gli argomenti più adatti per giungere ad un accordo con loro. Diventa via via in grado di valutare criticamente le proprie argomentazioni e, ove necessario, correggerle.
A livello di funzioni della spiegazione, già dalla classe prima Francesca af- fianca alla funzione 1 (descrizione della procedura) la funzione 5 (giustifi- cazione della procedura) e si possono notare le prime “tracce” di funzione 2
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59(produzione di argomentazioni pro o contro la verità di un’affermazione, con garanzie di tipo teorico). La tendenza a passare dal piano pratico a quello te- orico si osserva già nella scuola primaria. La grande importanza attribuita alla “teoria”, allo strumento matematico si può riscontrare negli estratti di seconda secondaria di primo grado, in cui si cerca di “piegare” lo strumento matema- tico (le proporzioni) per avere conferma di quanto intuito. Interessante che lo stesso strumento sia poi usato in fase di ripensamento, per confutare la prima spiegazione prodotta.
La presenza precoce di spiegazioni con funzione 2 e l’esigenza di “supporto teorico” non caratterizza solo Francesca, ma anzi si riscontra in più di uno studente della classe. Questo dato suggerisce di proseguire con l’analisi fine dei dati, al fine di documentare il graduale ingresso nella “cultura dei teoremi. Risulta inoltre interessante approfondire il ruolo giocato dalle diverse attività proposte, che si affiancano alla richiesta di spiegazione individuale. Le discus- sioni di bilancio (Bartolini Bussi, Boni e Ferri, 1995) appaiono promettenti per fare emergere spiegazioni con funzione 5 (giustificazione della procedura adottata), ma anche per promuovere la dimensione comunicativa dello spie- gare, volta a promuovere non solo il fatto che gli altri capiscano quello che è stato fatto, ma anche che lo approvino e vi aderiscano.
Riferimenti bibliografici
Balacheff, N. (1982). Preuve et démonstration en mathématiques au college. Recher- ches En Didactiques Des Mathématiques, 3(3), 261-304.
Bartolini Bussi M., Boni M., Ferri F. (1995). Interazione sociale e conoscenza a scuola. Rapporto tecnico n. 10, Centro di Documentazione Educativa, Modena. Boero, P. (2007). Theorems in school: from history, epistemology and cognition to classro-
om practice. Sense Publishers, Rotterdam.
Boero, P. E Douek, N. (2008). La didactique des domaines d’expérience dans le ca- dre de la théorie des champs conceptuels et de la dialectique concepts scientifiques – concepts communs. Carrefours de l’éducation 26, 99-114.
Boero, P. E Morselli, F. (2009). Towards a comprehensive frame for the use of algebraic language in mathematical modelling and proving. roceedings of the 33rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 2, pp. 185-192. Thessaloniki, Greece: PME.
Boero, P., Douek, N., Morselli, F. E Pedemonte, B. (2010). Argumentation and proof: a contribution to theoretical perspectives and their classroom implementa- tion. Proceedings of the 34th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 1, pp. 179-209. Belo Horizonte, Brazil: PME.
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E. Levenson, F. Morselli, Lo sviluppo delle competenze argomentativeBonanini, A. (2015). I numeri negativi nella scuola primaria e secondaria di primo gra- do. Analisi di un percorso ad alto contenuto argomentativo. Tesi di Laurea Magistrale, Università degli Studi di Genova.
Habermas, J. (2003). Truth and justification. Cambridge (MA): MIT Press.
Levenson, E. (2013). Exploring one student’s explanations at different ages: the case of Sharon. Educational Studies in Mathematics, 83(2), 181-203.
Levenson, E., Barkai, R., e Larsson, K. (2013). Functions of explanations: Israeli and Swedish elementary school curriculum documents. SEMT ‘13 – International Symposium Elementary Mathematics Teaching, 188-195. Prague, Czech Repulic. Morselli, F. e Boero, P. (2011). Using Habermas’ theory of rationality to gain in-
sight into students’ understanding of algebraic language. In Cai, J. & Knuth, E. (Eds.), Early algebraization. A global dialogue from multiple perspectives, pp. 453- 481. Springer.
Morselli, F. (2013). The “Language and argumentation” project: researchers and teachers collaborating in task design. In C. Margolinas (Ed.), Proceedings of ICMI Study 22 – Task design in mathematics education, 481-490. Reperibile al sito: http:// hal.archives-ouvertes.fr/hal-00834054.
Morselli, F. e Levenson, E. (2014). Functions of explanations and dimensions of rationality : combining frameworks. Proceedings of the 38th Conference of the Inter- national Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 4, pp. 250-257. Vancouver, Canada: PME.
Morselli F. e Testera M. (2010). L’argomentazione in matematica. Scuola italiana moderna, n. 2, 35-36.
Morselli, F. e Testera, M. (2015). One task, five stories: comparing teaching se- quences in lower secondary schools. Quaderni di Ricerca in Didattica (Mathema- tics), n. 25, Supplemento n. 2. GRIM (Dipartimento di Matematica e Informati- ca, University of Palermo). 419-426.
Morselli F., Sibilla A. e Testera M. (2015). Lo sviluppo delle competenze argo- mentative nella scuola secondaria di primo e secondo grado. L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, 38, 548-565.
Sunto. Questo lavoro presenta un esperimento di didattica laboratoriale re- alizzato in una quarta Liceo Scientifico, ispirato alla storia degli indivisibili di Cavalieri e alla loro applicazione per il calcolo del volume della sfera. Il progetto ha avuto un duplice obiettivo: da un lato si voleva valutare l’efficacia di un’atti- vità basata sulla storia della disciplina per umanizzare la relazione degli studenti con la matematica e stimolare riflessioni metamatematiche, e dall’altro osservare l’adeguatezza di un approccio laboratoriale come incentivo a superare gli ostacoli tipicamente collegati al ragionamento geometrico nello spazio.