Umberto Cerrut
4. I DIOSINCRASIE DEI NUMERI PRIM
4.1 Distribuzione dei primi modulo q
Ricordiamo che la funzione p(x) conta il numero dei primi £ x.
Diciamo p(x,a,q) il numero dei primi £ x. che sono congrui ad a modulo q, dove q è un intero > 2 detto modulo, ed a è coprimo con q.
p(x,a,q) conta il numero dei primi nella successione aritmetica
S(a,q) = a, a+q, a+2q,..., a+kq,..
con a+kq £ x.
Dirichlet dimostrò che in S(a,q) ci sono sempre infiniti primi. Inoltre essi si distribuiscono (asintoticamente) in maniera uniforme nelle j(q) classi coprime con
q. Cioè
per ogni a tali che MCD(a,q)=1 p (x,a,q) ~
Con f(x) ~ g(x) intendiamo dire che .
Prendiamo per esempio il modulo q=3. Ci aspettiamo di trovare mediamente, nei primi n numeri primi, circa n/2 primi congrui a 1 modulo 3 e n/2 primi congrui a 2 modulo 3. In effetti è così.
Se consideriamo x0 tale che p (x0) =107 abbiamo
p (x0,1,3) = 4999504 p (x0,2,3) =5000495
(si noti che la somma dà 9999999 perché bisogna levare 3).
Se q=10, abbiamo 4 classi coprime con 10: a=1,3,7,9. Facendo i calcoli otteniamo
p (x0,1,10) = 2499755 p (x0,3,10) = 2500209 p (x0,7,10) = 2500283 p (x0,9,10) = 2499751
(la somma dà 9999998 perché bisogna levare 2 e 5). 4.2 Repulsione tra primi
Nel 2016 Robert J. Lemke Oliver e Kannan Soundararajan pubblicarono un articolo sui Proceedings of the National Academy of Sciences statunitense (Lemke
246
1£
H
6
1£
H
)
(
)
(
q
x
j
p
1 ) ( ) ( = +¥ ® g x x f xlimCon f(x) ~ g(x) intendiamo dire che
8 U.CERRUTI, Le successioni di interi
Venne allora attivato il progetto Polymath8b. Dopo otto mesi di duro lavoro si arrivò a questi risultati:
incondizionatamente
; accettando la congettura di Elliott-Halberstam
.
4. I
DIOSINCRASIE DEI NUMERI PRIMI4.1 Distribuzione dei primi modulo q
Ricordiamo che la funzione p(x) conta il numero dei primi £ x.
Diciamo p(x,a,q) il numero dei primi £ x. che sono congrui ad a modulo q, dove q è un intero > 2 detto modulo, ed a è coprimo con q.
p(x,a,q) conta il numero dei primi nella successione aritmetica
S(a,q) = a, a+q, a+2q,..., a+kq,..
con a+kq £ x.
Dirichlet dimostrò che in S(a,q) ci sono sempre infiniti primi. Inoltre essi si distribuiscono (asintoticamente) in maniera uniforme nelle j(q) classi coprime con
q. Cioè
per ogni a tali che MCD(a,q)=1 p (x,a,q) ~
Con f(x) ~ g(x) intendiamo dire che .
Prendiamo per esempio il modulo q=3. Ci aspettiamo di trovare mediamente, nei primi n numeri primi, circa n/2 primi congrui a 1 modulo 3 e n/2 primi congrui a 2 modulo 3. In effetti è così.
Se consideriamo x0 tale che p (x0) =107 abbiamo
p (x0,1,3) = 4999504 p (x0,2,3) =5000495
(si noti che la somma dà 9999999 perché bisogna levare 3).
Se q=10, abbiamo 4 classi coprime con 10: a=1,3,7,9. Facendo i calcoli otteniamo
p (x0,1,10) = 2499755 p (x0,3,10) = 2500209 p (x0,7,10) = 2500283 p (x0,9,10) = 2499751
(la somma dà 9999998 perché bisogna levare 2 e 5). 4.2 Repulsione tra primi
Nel 2016 Robert J. Lemke Oliver e Kannan Soundararajan pubblicarono un articolo sui Proceedings of the National Academy of Sciences statunitense (Lemke
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)
(
)
(
q
x
j
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1 ) ( ) ( = +¥ ® g x x f xlimPrendiamo per esempio il modulo q=3. Ci aspettiamo di trovare mediamente, nei primi n numeri primi, circa n/2 primi congrui a 1 modulo 3 e n/2 primi congrui a 2 modulo 3. In effetti è così.
Se consideriamo x0 tale che p (x0) =107 abbiamo 8 U.CERRUTI, Le successioni di interi
Venne allora attivato il progetto Polymath8b. Dopo otto mesi di duro lavoro si arrivò a questi risultati:
incondizionatamente
; accettando la congettura di Elliott-Halberstam
.
4. I
DIOSINCRASIE DEI NUMERI PRIMI4.1 Distribuzione dei primi modulo q
Ricordiamo che la funzione p(x) conta il numero dei primi £ x.
Diciamo p(x,a,q) il numero dei primi £ x. che sono congrui ad a modulo q, dove q è un intero > 2 detto modulo, ed a è coprimo con q.
p(x,a,q) conta il numero dei primi nella successione aritmetica
S(a,q) = a, a+q, a+2q,..., a+kq,..
con a+kq £ x.
Dirichlet dimostrò che in S(a,q) ci sono sempre infiniti primi. Inoltre essi si distribuiscono (asintoticamente) in maniera uniforme nelle j(q) classi coprime con
q. Cioè
per ogni a tali che MCD(a,q)=1 p (x,a,q) ~
Con f(x) ~ g(x) intendiamo dire che .
Prendiamo per esempio il modulo q=3. Ci aspettiamo di trovare mediamente, nei primi n numeri primi, circa n/2 primi congrui a 1 modulo 3 e n/2 primi congrui a 2 modulo 3. In effetti è così.
Se consideriamo x0 tale che p (x0) =107 abbiamo
p (x0,1,3) = 4999504 p (x0,2,3) =5000495
(si noti che la somma dà 9999999 perché bisogna levare 3).
Se q=10, abbiamo 4 classi coprime con 10: a=1,3,7,9. Facendo i calcoli otteniamo
p (x0,1,10) = 2499755 p (x0,3,10) = 2500209 p (x0,7,10) = 2500283 p (x0,9,10) = 2499751
(la somma dà 9999998 perché bisogna levare 2 e 5). 4.2 Repulsione tra primi
Nel 2016 Robert J. Lemke Oliver e Kannan Soundararajan pubblicarono un articolo sui Proceedings of the National Academy of Sciences statunitense (Lemke
246
1£
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6
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)
(
)
(
q
x
j
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1 ) ( ) ( = +¥ ® g x x f xlim(si noti che la somma dà 9999999 perché bisogna levare 3).
Se q=10, abbiamo 4 classi coprime con 10: a=1,3,7,9. Facendo i calcoli otte- niamo
p (x0,1,10) = 2499755 p (x0,3,10) = 2500209
p (x0,7,10) = 2500283 p (x0,9,10) = 2499751
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U. Cerruti, Le successioni di interi4.2 Repulsione tra primi
Nel 2016 Robert J. Lemke Oliver e Kannan Soundararajan pubblicarono un articolo sui Proceedings of the National Academy of Sciences statunitense (Lemke Oliver & Soundararajan, 2016), nel quale osservavano una inattesa distorsione nella distribuzione delle coppie di primi consecutivi.
I due autori considerarono coppie di classi. Per esempio se q=3 ci sono 4 coppie di classi (1,1), (1,2), (2,1), (2,2). In generale ci saranno j(q)2 coppie di classi
(consideriamo soltanto le coppie ammissibili, cioè quelle formate da due interi coprimi con q).
Diciamo p (x,q, (a,b)) il numero delle coppie di primi consecutivi (pn, pn+1) con p n ≤ x tali che
p n ~ a mod q, pn+1 ~ b mod q.
Ci aspetteremmo che, per ogni coppia ammissibile (a,b)
CONFERENZE E SEMINARI 2018-2019 9 Oliver & Soundararajan, 2016), nel quale osservavano una inattesa distorsione nella distribuzione delle coppie di primi consecutivi.
I due autori considerarono coppie di classi. Per esempio se q=3 ci sono 4 coppie di classi (1,1), (1,2), (2,1), (2,2). In generale ci saranno j(q)2 coppie di classi
(consideriamo soltanto le coppie ammissibili, cioè quelle formate da due interi coprimi con q).
Diciamo p (x,q, (a,b)) il numero delle coppie di primi consecutivi (pn, pn+1) con p n
≤ x tali che
p n ~ a mod q, pn+1 ~ b mod q.
Ci aspetteremmo che, per ogni coppia ammissibile (a,b)
p (x,q, (a,b)) ~
Se però poniamo q=3, consideriamo come sopra i primi 107 numeri primi e
calcoliamo, troviamo
p (x0,3,(1,1)) = 2203295 p (x0,3,(1,2)) = 2796209 p (x0,3,(2,1)) = 2796210 p (x0,3,(2,2)) = 2204284.
Questa gigantesca distorsione si manifesta anche per gli altri moduli. Questa è una tavola mostrata nell'articolo, per q=10.
4.3 L'origine della ricerca
E' una forma di repulsione, i numeri primi che terminano con una certa cifra preferiscono essere seguiti da un compagno con diversa ultima cifra!
La notizia di questo strano fenomeno si diffuse rapidamente. Le prime reazioni degli esperti furono di stupore e addirittura, di incredulità (Klarreich, 2016).
Andrew Granville: "Da tanto tempo studiamo i numeri primi, e non ce ne siamo
mai accorti, è pazzesco! "
Ken Ono: "Quando me lo dissero, pensai che certamente c'era un errore nel
programma che utilizzavano."
Ma come è venuta in mente ai due autori l'idea di cercare questa distorsione? Si tratta di una storia veramente interessante.
Qualche tempo prima Soundararajan fu colpito da una particolare "anomalia" probabilistica, descritta in una conferenza di Tadashi Tokieda.
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)
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Se però poniamo q=3, consideriamo come sopra i primi 107 numeri primi e
calcoliamo, troviamo
p (x0,3,(1,1)) = 2203295 p (x0,3,(1,2)) = 2796209 p (x0,3,(2,1)) = 2796210 p (x0,3,(2,2)) = 2204284.
Questa gigantesca distorsione si manifesta anche per gli altri moduli. Questa è una tavola mostrata nell’articolo, per q=10.
4.3 L’origine della ricerca
È una forma di repulsione, i numeri primi che terminano con una certa cifra preferiscono essere seguiti da un compagno con diversa ultima cifra!
Conferenze e Seminari 2018-2019
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137La notizia di questo strano fenomeno si diffuse rapidamente. Le prime reazioni degli esperti furono di stupore e addirittura, di incredulità (Klarreich, 2016). Andrew Granville: “Da tanto tempo studiamo i numeri primi, e non ce ne siamo
mai accorti, è pazzesco!”
Ken Ono: “Quando me lo dissero, pensai che certamente c’era un errore nel pro-
gramma che utilizzavano.”
Ma come è venuta in mente ai due autori l’idea di cercare questa distorsione? Si tratta di una storia veramente interessante.
Qualche tempo prima Soundararajan fu colpito da una particolare “anomalia” probabilistica, descritta in una conferenza di Tadashi Tokieda.
Molti risultati, veri e dimostrati, nella teoria della probabilità sono contro in- tuitivi, e sembrano falsi. Nella sua conferenza, tra le altre cose, Tokieda parlò di questo gioco tra Alice e Bob.
Alice e Bob lanciano una moneta. Identifichiamo le due facce con 0 e 1. Per Alice la regola è questa: vince appena escono, in due tiri consecutivi, 01. Bob vince quando escono 11.
Se facessero soltanto due tiri a testa avrebbero la stessa probabilità di vincere. Invece il gioco consiste nel continuare a lanciare la moneta fino a che si verifica l’evento atteso.
Per esempio Alice lancia la moneta e dopo 6 tiri ottiene 111001, e si ferma. Ha vinto il suo premio. Bob dopo 5 tiri ottiene 01011 e vince.
Intuitivamente viene da pensare che la media dei tiri da fare per arrivare a una vincita sia la stessa per Alice e Bob. Invece Alice vincerà in media ogni 4 tiri e Bob ogni 6.
Questa apparente anomalia colpì l’immaginazione di Soundararajan, che si chiese se un fenomeno simile potesse avere luogo considerando la sequenza dei numeri primi invece dei lanci di moneta.
Consideriamo la successione dei primi >3 modulo 3. Essi finiscono con 1 o 2. Viene scelto un punto iniziale a caso n e si percorre la sequenza
p n mod 3, pn+1 mod 3, pn+2 mod 3.
Alice vince non appena apparirà la coppia 12 e Bob vince al comparire di 22. È un gioco alla pari?
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U. Cerruti, Le successioni di interiAlcuni esperimenti convinsero Soundararajan che la distorsione esisteva vera- mente, e ne parlò con il suo allievo post doc Oliver, che ne fu entusiasta. La ricerca iniziò e ne abbiamo visto i risultati.