Umberto Cerrut
3. I numeri primi 1 Intervalli tra i prim
Al primo posto tra le successioni core (http://oeis.org/A000040) c’è la se- quenza dei numeri primi:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,……
Si tratta probabilmente della sequenza di interi più studiata, fin dall’antichità. Non tratteremo qui della distribuzione dei primi nella sequenza dei naturali, ma li vedremo come una sequenza a sé stante.
Questa successione ne genera immediatamente un’altra (http://oeis.org/ A001223) quella dei gap, le distanze tra due primi consecutivi.
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, ...
La congettura dei primi gemelli si può esprimere così: “Esistono infiniti gap uguali a 2”.
3.2 Zhang
Moltissimi e profondi studi sono stati fatti sui primi gemelli e sui gap (si vedano per esempio Rezgui, 2017 e Granville, 2015).
Rimangono tante zone oscure, ma notevoli passi avanti sono stati fatti, e ci sono alcune eccitanti novità, che si possono enunciare senza troppi pre- liminari.
Cominciamo da Yitang Zhang. Nato a Shangai nel 1955, attualmente cittadino americano, professore presso l’Università di Santa Barbara (California).
3.3 Il grande Teorema
Poniamo
CONFERENZE E SEMINARI 2018-2019 7 3.3 Il grande Teorema
Poniamo
La congettura dei primi gemelli equivale a H1=2.
Il 17 Aprile del 2013 Zhang enunciò il seguente risultato
Il Teorema di Zhang venne subito pubblicato sulla prestigiosa rivista Annals of
Mathematics (Zhang, 2014).
A prima vista non sembrerebbe così notevole, ma si tratta di un progresso che potremmo dire, senza esagerare, infinito.
Infatti prima, incondizionatamente, ovvero, senza ricorrere a ipotesi non dimostrate, a destra del < si poteva mettere soltanto ¥.
Solo accettando la congettura (non provata) di Elliott-Halberstam si poteva dimostrare che H1 £ 16.
3.4 L'opera collettiva
Nel 2007 Timothy Gowers, un grande matematico inglese (medaglia Field) che lavora a Cambridge, propose un innovativo (per i matematici) metodo di ricerca: mettere insieme pubblicamente i risultati derivanti dalla collaborazione di tanti matematici, su un certo tema proposto.
Il sito che raccoglie proposte e risultati si
chiama Polymath (vedere all’indirizzo
https://polymathprojects.org).
L'idea ebbe successo, tanto che alcune riflessioni di Gowers e Michael Nielsen sull'argomento vennero pubblicate su Nature in una nota dal titolo "Massively
collaborative mathematics".
Quando Gowers vide il risultato di Zhang mise in moto un progetto Polymath (Polymath8) (vedi Granville, 2015).
3.5 I risultati
Il limite superiore cominciò a calare, e dopo tre mesi si sapeva che H1 £ 4680. A
questo punto intervenne James Maynard, che dimostrò, con metodi diversi, che H1
£ 600.
Inoltre Maynard provò che, per ogni m, Hm è limitato superiormente da una quantità finita. Questo significa che se, per esempio, m=10 6, esiste un intero N tale che, se
fabbrichiamo una finestra di lunghezza N, e la facciamo scorrere lungo la sequenza dei primi, infinite volte vedremo 106 (almeno) primi!
)
(
liminf
n m n n mp
p
H
=
+-
¥ ® 7 1<7´10
H
La congettura dei primi gemelli equivale a H1=2. Il 17 Aprile del 2013 Zhang enunciò il seguente risultato
CONFERENZE E SEMINARI 2018-2019 7
3.3 Il grande Teorema Poniamo
La congettura dei primi gemelli equivale a H1=2.
Il 17 Aprile del 2013 Zhang enunciò il seguente risultato
Il Teorema di Zhang venne subito pubblicato sulla prestigiosa rivista Annals of
Mathematics (Zhang, 2014).
A prima vista non sembrerebbe così notevole, ma si tratta di un progresso che potremmo dire, senza esagerare, infinito.
Infatti prima, incondizionatamente, ovvero, senza ricorrere a ipotesi non dimostrate, a destra del < si poteva mettere soltanto ¥.
Solo accettando la congettura (non provata) di Elliott-Halberstam si poteva dimostrare che H1 £ 16.
3.4 L'opera collettiva
Nel 2007 Timothy Gowers, un grande matematico inglese (medaglia Field) che lavora a Cambridge, propose un innovativo (per i matematici) metodo di ricerca: mettere insieme pubblicamente i risultati derivanti dalla collaborazione di tanti matematici, su un certo tema proposto.
Il sito che raccoglie proposte e risultati si chiama Polymath (vedere all’indirizzo
https://polymathprojects.org).
L'idea ebbe successo, tanto che alcune riflessioni di Gowers e Michael Nielsen sull'argomento vennero pubblicate su Nature in una nota dal titolo "Massively
collaborative mathematics".
Quando Gowers vide il risultato di Zhang mise in moto un progetto Polymath (Polymath8) (vedi Granville, 2015).
3.5 I risultati
Il limite superiore cominciò a calare, e dopo tre mesi si sapeva che H1 £ 4680. A
questo punto intervenne James Maynard, che dimostrò, con metodi diversi, che H1
£ 600.
Inoltre Maynard provò che, per ogni m, Hm è limitato superiormente da una quantità
finita. Questo significa che se, per esempio, m=10 6, esiste un intero N tale che, se
fabbrichiamo una finestra di lunghezza N, e la facciamo scorrere lungo la sequenza dei primi, infinite volte vedremo 106 (almeno) primi!
) ( liminfn n m n m p p H = + - ¥ ® 7 1<7´10 H
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U. Cerruti, Le successioni di interiIl Teorema di Zhang venne subito pubblicato sulla prestigiosa rivista Annals of
Mathematics (Zhang, 2014).
A prima vista non sembrerebbe così notevole, ma si tratta di un progresso che potremmo dire, senza esagerare, infinito.
Infatti prima, incondizionatamente, ovvero, senza ricorrere a ipotesi non di- mostrate, a destra del < si poteva mettere soltanto ∞.
Solo accettando la congettura (non provata) di Elliott-Halberstam si poteva dimostrare che H1 ≤ 16.
3.4 L’opera collettiva
Nel 2007 Timothy Gowers, un grande mate- matico inglese (medaglia Field) che lavora a Cam- bridge, propose un innovativo (per i matematici) metodo di ricerca: mettere insieme pubblicamente i risultati derivanti dalla collaborazione di tanti matematici, su un certo tema proposto.
Il sito che raccoglie proposte e risultati si chia- ma Polymath (vedere all’indirizzo https://poly-
mathprojects.org).
L’idea ebbe successo, tanto che alcune riflessioni di Gowers e Michael Nielsen sull’argomento vennero pubblicate su Nature in una nota dal titolo “Massively
collaborative mathematics”.
Quando Gowers vide il risultato di Zhang mise in moto un progetto Poly- math (Polymath8) (vedi Granville, 2015).
3.5 I risultati
Il limite superiore cominciò a calare, e dopo tre mesi si sapeva che H1 ≤ 4680. A questo punto intervenne James Maynard, che dimostrò, con metodi diversi, che H1 ≤ 600.
Inoltre Maynard provò che, per ogni m, Hm è limitato superiormente da una quantità finita. Questo significa che se, per esempio, m=10 6, esiste un intero N tale che, se fabbrichiamo una finestra di lunghezza N, e la facciamo scorrere
lungo la sequenza dei primi, infinite volte vedremo 106 (almeno) primi!
Venne allora attivato il progetto Polymath8b. Dopo otto mesi di duro lavoro si arrivò a questi risultati:
Conferenze e Seminari 2018-2019
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135H1 ≤ 246; ettando la congettura di Elliott-Halberstam
H1 ≤ 6