Determinazione della risultante delle forze operanti sulla parte di muro compresa fra i piani verticali passanti pei mezzi

di due contrafforti successivi. - Queste forze sono: il peso del muro continuo; il peso della parte d'incamiciata sovrastante a questo muro; il peso di due mezzi contrafforti; il peso della parte d'incamiciata insistente alla faccia superiore dei contrafforti stessi;

il peso del terreno esistente sulle loro riseghe; il peso

dell'incarni-prossimazione: se il sovraccarico agisce sulla faccia superiore del t erra-pieno come se fosse costituito da materie sciolte e divisibili secondo piani verticali; o se invece questo sovraccarico, per non essere formato da ma-terie sciolte, agisce sulla detta faccia in modo da non potersi dire qual parte di esso conisponda ad una determinata larghezza della lista sovrac-caricata, come quando fosse un muro, un fabbricato, un binario di strada ferrata stabilito su traversine, ecc. Nel primo caso servono le operazioni già state descritte col sussidio delle figure 21 e 22 per approssimarsi alla determinazione del piano di distacco e della spinta massima; nel secondo caso basta limitare queste operazioni alla sola lista senza sovraccarico adia-cente al piano ottenuto colle operazioni di prima approssimazione. Così pel terrapieno rappresentato nella figura 20, se il sovraccarico operante sulla lista A₅ A₆ non fosse costituito da materie sciolte, basterebbe limitare le operazioni di seconda approssimazione a piani di distacco compresi fra i due definiti dalle rette An A₆ ed An A_{7 ;} e, se si trovasse che le spinte cor-rispondenti a questi piani vanno successivamente decrescendo, si conchiu-derebbe che il piani) di distacco è quello determinato dalla retta An A_{6 ,} già stato trovato colle operazioni di prima approssimazione.

-141-ciata che sovrasta a questo terreno; le due componenti

Q

e V della spinta R stata trovata nel numero 94; e finalmente le due compo-nenti Q₁ e V₁ della spinta R₁ stata determinata nel numero 97.

Nella figura 7" della tavola X si è rappresentato, alla scala di metri 0,02 per ogni metro, il profilo del muro continuo con quello di un contrafforte, e la linea e b c cl si è definita in modo da corri-spondere: nella parte e b al profilo della faccia superiore dell'inca-miciata; nella parte ccl allo stesso profilo, supposta però l'incami-ciata ridotta ad un volume equipollente di terra col prendere

- 2300

-!te=

17oo

^!t b.

Dopo questo si è fatta la seg·uente scomposizione. Il muro conti-nuo colla parte d'incamiciata ad esso sovrastante si è diviso nei tre prismi, le cui sezioni rette sono il triangolo l, il trapezio 2 ed il trapezio 3; i due mezzi contrafforti colla parte d'incamiciata insi -stente alla loro faccia superiore si sono scomposti nei cinque prismi aventi per sezioni rette i trapezi 4, 5, 7, 9 ed ll; ed il terreno che si trova sulle riseghe colla parte d'incamiciata che lo copre consta dei quattro prismi le cui sezioni rette sono i trapezi 6, 8, 10 e 12.

Nella tavola che seg·ue si hanno le dimensioni lineari, i volumi ed i pesi dei detti prismi assumendo sempre per unità di peso quello del metro cubo di rnuratura.

Componenti orizzontale e verticale della spinta. - Trovata la spinta massima Rm (Tav. 3•, Fig. 21), nulla di più facile quanto il determinare le sue componenti ot·izzontale e verticale. Basta perciò condurre la oriz-gontale passante per M, e fare il rettangolo delle forze MQRm V. Il lato M Q =V [{m rappresenta la componente orizzontale Q₁ ed il lato M V = Q Rm rappresenta la componente verticale V.

Punto d'applicazione della spinta. - Abbiasi un terrapieno terminato superiormente da una superficie cilindrica a generatrici orizzontali ed avente per sezione retta una curva qualunque A₀An-l B (Tav. 4", Fig. 23). Questo terrapieno sia appoggiato ad un ritegno in modo da essere la parete spinta rappresentata nella retta An r\₀; suppongasi che, colle opet·azioni già state indicate, siasi determinato il piano di distacco An An-l; e vogliasi trovare il punto d'applicazione della spinta delle terre sulla. parete An A_{0 •} S'imm a-gini perciò diviso il prisma A₀ An An-t mediante un'infinità eli piani paral-leli al piano eli distacco AnAn-1> e si ammetta l'ipotesi che le spinte pro-dotte dagli infiniti prismi che così risultano siano proporzionali ai loro pesi.

Considerando degli indicati piani i cl ue vicinissimi definiti dalle rette M L ed l\1' U parallele ad An An-l, e chiamando

-

142-""

^{ELE!~ENT! LINEARI ALTEZZE}

l

z~ p el

8;.:::

l

N O

calcolo delle AREE dei VOLUMI PESI

~ r./1 aree

"'

-]~

-BASI ALTEZZE solidi

-

-Il

m m mq m mc

Il

l 2,41 0,93 2,24 4,50 10,080 10,080

2

l

^{4,87 0,50 2,43 4,50 10,935 10,935}

3 5,09 0,38 l, 93 4,50 8,685 8,685

4 5,51 0,60 3,31 1,50 4,965 4,965

5 4,17 0,25 l, 04 l, 50 1,560 1,560

6 2,02 0,25 0,50 1,50 0,750 0,555

7 3,:22 0,25 0,80 1,50 1,200 1,200

8 3,20 0,25 0,80 l, 50 1,200 0,888

9 2,25 0,25 0,56 1,50 0,840 0,840

lO 4,38 0,25 l, 09 1,50 1,635 1,210

l l 1,30 0,25 0,32 ì, 50 0,480 0,480

12 5,52 0,25 1,38 1,50 2,070

l

^1,532

I pesi dei solidi 6, 8, 10 e 12, rife1·endosi u prismi di terra, si sono

tJ. p il peso del prisma piccolissimo L MM' L', z la distanza MM₁ della retta ML dalla AnAn-P

P il peso dell'intiero prisma A₀ An-I An coi suoi sovraccarichi,

Z la distanza O 0₁ del punto d'applicazione O della S],inta dalla An An-P

a

l'angolo che la di1·ezione della spinta fa colla retta An An-P

K quel coefficiente di propor·;r.ionalità per cui bisogna moltiplicare il peso di ciascuno dei piccolissimi prismi per ottener·e la corrispondente spinta,

~una somma estesa a tutti i prismi componenti il solido totale A₀ An-I An si ha: che la spinta prodotta dal prisma L M M' U è data da

KD.p;

che la sua componente parallela ad An An-I vale

K ^CO$ 6 D.]J;

che il suo momento rispetto al piano proiettato nella retta An An-I è

z K cos ò D. p;

1 4 3

-1700 dedotti moltiplicando i volumi corrispondenti pel rapporto

2300 0,74 del peso del metro cubo di terra al peso del metro eu bo di muratura.

La forza V= 8,94, che indicheremo col numero 13, opera r. el senso della verticale

Oa;

e lo forza V₁

=

^{6,15, che indicheremo col}

numero 14, agisce nel senso della verticale 0₁a_{1 •} Le forze Q₁

=

10,65 e

Q=

15,48, che indicheremo rispettivamente coi numeri 15 e 16, agiscono secondo le orizzontali A₁ A₁ ed A A passar.ti al di sopra dei punti 0₁ ed O della quantità 0₁A₁ ed OA già state determi-nate sulla figura l ^a della tavola X.

Dopo questo, adottando la scala di metri 0,00:?.5 per ogni unità di peso e portando successivamente le forze l, 2, 3, 13, 4, 5

+

^6,

7

+

^{8, 9}

+

10, ll

+

12, 14, 15 e 16 si è costrutto il poligono delle forze rappresentato nella figura

sa ,

ed il lato

o

16 che chiude questo poligono dà in direzione ed intensità la risultante doman-data il cui valore risulta 63,68.

Per trovare la retta secondo la quale questa risultante agisce, sì è scelto il punto P come polo, e si sono condotti i raggi corri-spondenti ai tredici vertici del poligono stesso, e quindi si è co·

che la totale spinta del terrapieno contro la parete An A₀ si può esprimere con

KP;

che la sua componente parallela a An An-l è KP cos ò;

e che il suo momento rispetto al piano ultimo indicato risulta

ZKP cos

a.

Ponendo ora che il momento della risultante dev'essere eguale alla somma algebrica dei momenti delle componenti, si ha l'equazione

};zK cos òap

=

^{ZKP cos ~.}

d'onde, per essere K e ò costanti, si dedu<le

~zt.p

z-

_-

-

_p

- ·

-

144-strutto il relativo polig-ono fnnicolare sulla figura 7a. II punto XVII, in cui la retta I XVII parallela al primo ragg·io P O incontra la retta XV I XVII parallela all'ultimo raggio Pl6, appartiene alla ri-sultante domandata, la qnale agisce perciò secondo la retta BC passante per l'accennato punto XVII. Misurando poi la distanza

JC

^{nella scala} della figura 7a, si trova che essa è di metri 0,94.

100. Verificazione della Gtabilità del muro di sostegno. -Questa verificazione dev'essere fatta sotto il punto di vista ùella resistenza allo scorrimento, e sotto il punto di vista della resistenza allo schiacci amento; ed osser·vasi perciò che, scomponendo la forza r·appresentata dalla retta O 16 (Fig·. 8") in due 2'16 e O T, una parallela e l'altra perpendicolare alla base 0₁^/ (Fig·. 7a), la prima provoca la resistenza allo scorrimento e la seconda la resistenza allo schiacciamento sulla base stessa. Misurando poi mediante la scala della figura

sa,

^le due lunghezze T 16 e O T si ha, che i va-lori delle forze da esse rappresentate sono rispetti v amen te 13,65 e 62,20.

Per accertarci se il muro è stabile per rapporto allo scorrimento lungo la base

OJ

(Fig. 7"), serve l'equazione di stabilità

T= vfN (l)

'f_,!ip

-Ma il quoziente

T

espr·ime la distanza G G₁ del centro di gravità G del prisma A₀ An-l An dal piano di distacco An An-l; cosicchè, immaginando condotta per questo centro la retta G X parallela ad AnAn-1> dovrà questa retta passare pel punto O. E qnindi la regola semplicissima che, per trovare il punto d'applicazione della spinta sulla parete piana che impedisce lo sco-scendimento di un terrapieno, basta tracciare la retta passante pel centro di gravità del prisma di massima spinta la q~wle è parallela al piano di distacco, e trovare l'incontro di questa retta colla parete spinta.

Allorquando sulla super·ficie superiore del prisma di massima spinta esistono dei sovraccarichi, si determinano i punti in cui le verticali passanti pei centri di gravità di ciascuno di essi inc0ntrano il profilo della superficie predetta;

a questi punti si suppongono applicati i pesi dei corrispondenti sovraccarichi;

e, nel determinare la parallela al piano di distacco il cui incontro colla parete spinta dà il centro di pressione, si ha anche riguardo a questi pesi.

Opera.zioni per determinare il punto d'applicazione della spinta. -Su p pongasi d'avere il terrapieno rappresentato nella figura 24 della tavola 4•; siano An A₀ la parete spinta, An A il piano di distacco. Sulla faccia supe-rior·e del prisma spingente si abbiano due liste sovraccaricate, una in A₁ A₂ e l'altra in A₅ A₆; e vogli asi trovare il punto d'applicazione della spinta sulla parete An A0•

1 4 5

-nella quale T ed N sono rispettivamente la componente tangenziale e la componente norn:ale dell'azione sulla base stessa, fil coeffi-ciente d'attrito fra il muro ed il terreno sul quale esso è stabilito, e v il coefficiente di stabilità. Nel caso concreto abbiamo

T= 13,65 N= 62,20

e possiamo assumere

f=

0,67;

cosicchè il valore di v risulta eguale a 0,33. Essendo questo valore al di sotto della frazione

~ =

0,4, si conchiude che il muro pre-senta sufficienti garanzie di stabilità per rapporto alla resistenza allo scorrimento.

Per avere un'idea del grado di stabilità che pi·esenta il muro per rapporto alla resistenza allo schiacciamento, chiamiamo

a

^{la lun}ghezza della retta Of, b quella della retta O O~'

c la larghezza di un contrafforte,

L la distanza fra mezzo e mezzo di due cont1·afforti successivi,

Tirate dal punto An le rette, ~ome A₃ ed A_{4 ,} le quali vanno ai vertici del profilo della superficie superiore del prisma di massima spinta, si tro-vino i centri di gravità gl' g₂ e g₃ delle fignre triangolari A₀A₃An, A3^A4^A~, A₁ A An, ed i centri di g1·avità a₁ ed a₃ delle figure che rappresentano le sezioni rette di prismi di tel'l·a equipollenti ai sovraccarichi. Si proiettino, mediante verticali, i punti a₁ ed a₃ in 1₁ e 1₃ sul profilo della superficie su-periore del terrapieno, e quindi dai punti gJ> g₂, g₃, 7₁ e y₃ si conducano altrettante pRrallele al piano di distacco An A. Fatto questo, si determinino i pesi F₁₁ F₂ ed F₃ dei tre prismi proiettati nelle figure triangolari predette, non che i pesi {₁ ed {₃ insistenti alle due liste sovraccaricate A₁ A₂ ed A₅A₆• Da un punto qualunque O si conduca una retta OX parallela alla An A per fare su essa, coll'origine in O, un poligono delle forze coi suoi lati rappresentanti i pesi ultimi indicati, e per costruire in seguito il re-lati v o poligono funicolare destinato a dare la retta parallela al piano di distacco passante pel centro di gravità dei pesi stessi. Pe1· ottenere la mag-gior cÌ1iarezza possibile nella costruzione del poligono funicolare si osserva che le parallele al piano di distacco condotte pei punti d'applicazione dei pesi si presentano coll'ordine seguente: prima quella passante pel punto 7₁ e quindi q nelle determinate dai punti gl' g_2, 7₃ e g₃; cosicchè nel fare il poligono delle forze sulla retta O X conve!'l'à portare successivamente i pesi

APPENDICE ALL'ARTE DI FADDRICARE Vol. IV. - IO.

1 4 6 -N la totale pressione sulla base 0₁/ ,

K' la pressione riferita all'unità di superficie in

f

e K'' la· pressione riferita all'unità di superticie in 0₁,

A, B e Citre coeffìc:ienti dipendenti dalle lunghezze

a,

b,

c

ed L, ed incominciamo a determinare K' e K'' col metodo stato accen-nato ed applicato nel secondo volume dell'Appendice all'Arte di jabòrica?·e, alle pagine 395, 396, 397 e 398. Perciò calcoleremo prima i coefìicienti A, B e C colle formole

A=La+cb

B ⁼ ~ [L a~ +

^{c (a+}

b ) ~ -

^ca2

J

l ^{r ·]}

C=

3

^{[_L a3 +c (a+ b)3- ca3}

)

\ (2),

e quindi dedurremo K' e K" dalle due equazioni del primo grado

AK' --

____!__

(K' - K") =N a+b

AK' --

_ c_

(K' - K") = N d a+b

{ 1, FI> F_{2 , { 3,} ed F_{3 •} Costrutto questo poligono, ~i sceglierà un punto qua-lunque P come polo, si condunanno i raggi PO, P(p PF_{1 ,} PF₂, P(₃ e PF_{3 ,} e, tirando colle note regole altrettante parallele a questi raggi, si farà il poligono funicolare I II III IV V VI. Pel punto d'incontro VI di quel lato di questo poligono che è parallelo al primo raggio P O con quel Jato che è parallelo all' lfltimo raggio P F ₃ deve passare la retta parallela al piano di distacco contenente il centro di g1·avità di tutti i pesi stati con-siderati e quindi quella retta che, nel suo incontro O colla parete AnA₀,

dà il domandato punto d'applicazione della spinta.

Non è necessario, nel fare il poligono delle forze, di portare i pesi pre-cisamente coll'ordine stato indicato; e, senza compromettere il risultato dell'operazione, si possono, per esempio, portare prima i pesi dei prismi triangolari in cui si è scomposto il terrapieno e quindi quelli dei sovr ac-carichi, od anche seguire un altro ordine qualunque.

Nel determinare il piano di distacco e la spinta massima si scompone il terrapieno in prismi mediante piani concorrenti nella orizzontale proiettata in An e passanti per le orizzontali determinate dai vertici del profilo della superficie superiore del tetTapieno ste~so non che dai limiti delle liste so-vraccaricate; e di tutti questi prismi si determinano i pesi. Volendosi, si può anche adottare la stessa scomposizione nel fare la ricerca del punto d'applicazione della spinta, giacchè non si devono allora calcolare dei nuovi

- 147-Nel caso concreto si ha

c=

l ,50 L= 4 ,50, valori di A, B e C risultano quinJi

e, siccome

si deduce

A= 10,455 B

=

^13,4737

c =

2;),4657;

N= 62,20

K'

=

^6,35

K''

=

5,29.

pesi; ma pe1' contro si ha lo svantaggio di dove1· trovare un maggior nu-mero di centri di superficie di figure triangolari, e di far crescere più dello strettamente necessario il numero dei lati del poligono delle forze e del corrispondente poligono funicolare.

Te1·rapieno terminato sttperio1·rnente da ttn piano inclina!o al!'o1·izzonte di ttn angolo differente dall'angolo di natw·al declivio. - È questo uno dei casi più frequenti della p1·atica, e contemporaneamente è quello per cui la determinazione completa della spinta riesce più facile e più spedita.

Essendo A₂ A₀ (Tav. 4", Fig. 25) la parete spinta ed Az A1 il piano di natura! declivio determinato dalla orizzontale passante pel punto Az, si di-vida la A₀ A₁ in un ce1·to numero di parli eguali, si conducano le rette che dal punto Az vanno ai punti di divisione, e si calcolino i pesi dei pri-smi triangolari corrisponrlenti. Questi pesi, per essersi divisa la A₀A₁ in parti eguali, sono evidentemente quelli di prismi triangolari equivalenti e quindi sono tutti eguali fl·a di loro.

Fatto questo, si passi alla costruzione stata indicata ragionando sulla figura 20 dl}lla tavola Ja col considerare le rette A₂1, A₂2, Az :3 ed A₂4 come le tracce di altrettanti piani di distacco, e sia .!:.₂3 quella cui coni-sponde la spinta ms.ggiore.

Dopo quest'operazione di prima, si faccia quella di seconda approssima-zione. Si dividano pet·ciò le due lunghezze 3 i e 3 4 in un egual numel'o

-

148-I tro\·ati valori eli K' e eli K'' mettono in evidenza come la mas-sima pressione riferita all'unità di superficie abbia luogo sulla oriz-zontale proiettata in f; cosicchè l'equazione di stabilità da appli-carsi risulta

K' = n'' R" (4l,

dove R'' rappresenta il coefficiente di rottura della muratura rela-tivo alla pt·essione ed n'' il corrispondente coefficiente di stabilità.

Supponendo che il detto coefficiente di rottura riferito al mett·o qnaclrato sia soltanto di 500000 chilog·rammi, quando si assuma per unità di peso quello clel mett·o cubo di muratura (la quale unità dì peso è quella con cui trovasi espresso il valore eli K') si riduce a

500000

=

217 39

2300 ' '

di modo che il valore di n" risulta eg·uale a 0,03, ossia assai mt·

nore c!ella frazione

~,

ciò che indi.ca esservi nel muro più cbe sufficiente stabilità per rapporto alla resistenza allo schiacciamento.

di parti eguali e, seguendo il metod0 stato indicato nelle fìgur·e 21 e 22 della tavola 3", si trovi che il piano di distacco di spinta maggiore è quello determinato dalla retta A₂ A. ·

Per determinare il punto d'applicazione della spinta contro la parete A₂A₀, bisogna trovare il centro di superficie g del triangolo A₀A A_{2 ,} il

l

-qual centro è sulla mediana A₀ l\1 in modo da essere lllg

= :3

M A₀• Si con·

duce per· g la retta gX parallela ad A₂ A, e nel punto d'intersezione O di questa retta colla A₂A₀ si ha il punto domandato. Evidentemente, per la si-mili tudine dei due triangoli A₀g O ed A₀ ì\1 A_2, si ha A₂ O

= k

^A2 A₀•

,)

Osservazioni. - Nel r·isolvel'e i problemi relativi alla determina7.ione della spinta delle tene conviene generalmente assumere come unità di fnr·za un peso piuttosto considerevole, per esempio, la tonnellata, o il peso del metro cubo di terr·a, od anche il peso del metro cubo di mur·atura se que·

sta determinazione deve essere seguìta dalla verificazione della stabilità eli un muro di sostegno o dalla ricerca di qualche dimensione incognita del muro stesso.

Due elementi, di cui bisogna servirsi per· l'indicata determimzione, sono

149

I trovati valori dei coefficienti di stabilità 1 ed

n"

dimostrano:

come, tenendo conto della sola azione delle terre contro il muro rappresentato nella figura 4a della tavola VIII, si potrebbero r i-durre di qualche poco le sue dimensioni orizzontali; e come )a co-struzione si trovi in condizioni meno buone sotto il punto di vista della resistenza allo scorrimento anzichè sotto il punto di vista della resistenza allo schiaeciamento.

Muro rappresentato nella jiguta 5a della tavola VIII.

101. Indicazione del metodo che verrà seguito nel verificare la stabilità di questo muro, e dati del problema. - Analoga-mente a quanto già venne fatto pel caso del muro di sostegno rap-presentato nella figHra 4a della tavola VIII, si considererà quella parte del muro in quistione che travasi compresa fra i piani ver -ticali dividenti per mezzo le larghezze di due contrafforti successivi e perpendicolari alle larghezze medesime.

Siccome poi le facce verso terra dei contrafforti e degli archi di scarico sono in un sol piano verticale, si determinerà l'azione del terrapieno contro il muro ritenendo ehe in questo piano stesso si

il peso dell'unità di volume e l'angolo di natura! declivio delle terre, i quali si possono assumere come risulta dalla seguente tabella

PESO llt ANGOLI 11

NATURA DELLE TERRE del metro cubo di natura l declivio·

di terra f

~ sabbie ed arene da 1800C~ a l 900Cs da 32" a 36•

Ter-re legg·iere (

terre sabbiose ⁾⁾ 1700 )) 1800 ^•)) 35 ^{}) 40}

\ sciolte asciutte ⁾⁾ 1500 )) 1600 ⁾⁾ 36 )) 42 Terra ordinarie

( vegetali ⁾⁾ 1400 )) 1500 ~ 42 D 48

~ argillose asciutte ^}) 1500 )) ì800 ⁾⁾ 50 }) 55 Terre forti . .

arg·illose umide . ^)l 1600 )) 1900

'

^{25 » 32}

Terre pantanose allo st&to di fan"'O e terre argillose soggette a

c"o-lare quasi come liquidi . . . ⁾⁾ 1500 )) 2200 ⁾⁾

o

^» lO

-

150-trovi la parete spinta. Quest'm~ione poi verrà determinata in int. en-sità, direzione e punto d'applicazione.

Conosciuta l'indicata azione per la definita parte del muro eli sostegno ed il peso del muro stesso unitamente a quello della terra portata dai corrispondenti archi di scarico e dai contrafforti, si det er-minerà la risultante eli tutte queste forze ed il suo punto d'incontro col piano orizzontale corrispondente alla risega eli fondazione, onde poter procedere all'accertamento del grado di stabitità del:tJopera.

I dati del problema poi sono: l'ang·olo d'attrito ^<P della tena che supporremo eli 25°; il peso del · metro cubo della medesima ed il peso del metro cubo di muratura che fisseremo ancora in 1700 chi -logTammi per la prima ed in 2300 per la seconda; il profilo del

I dati del problema poi sono: l'ang·olo d'attrito ^<P della tena che supporremo eli 25°; il peso del · metro cubo della medesima ed il peso del metro cubo di muratura che fisseremo ancora in 1700 chi -logTammi per la prima ed in 2300 per la seconda; il profilo del

Nel documento FABBRICARE COR (pagine 146-169)