Operazioni preliminari per la determinazione della spinta contro due mezzi contrafforti. - Ammetteremo che per questa

parte del muro di sostegno la parete spinta si trovi nel piano ver-ticale determinato dalla sporgenza massima dei contrafforti, che sia

rappresentata in 0₁a₁ nella fig-ura la della tavola X, e che il piano di natura! declivio corrispondente alla orizzontale più bassa di que-sta stessa parete abbia per profilo la retta 0₁0₁ condotta in modo da fare coll'orizzonte l' ang·olo Q₁ 0₁w₁

=

30°. Immag·inando con-dotte le rette 0₁b, 0₁ctl' 0₁u, 0₁1', 0₁s, 0₁v, ... i cui angoli coll'orizzonte siano magg·iori di 30°, risultano i triangoli a₁ 0₁ b, b0₁

c,

t₁0₁u, tt0₁1', 1'0₁

s,

s0₁v, ... e si dovranno determinare i pesi dei corrispondenti prismi di terra per una lunghezza di ter-rapieno eguale all'unità, non che i pesi che, per l'esistenza dell'in-camiciata, del

ballast

e del sovraccarico, si trovano sulle facce su-periori

a

₁

b, be, t

_1u, u1·, 1'S,

sv, ...

dei prismi stessi.

Indicando perciò ordinatamente coi numeri l~' 21> 3_1, 41' 51' 61> ...

i pesi dei detti prismi, e coi numeri l/ e 2/ i pesi insistenti alle facce rappresentate in a₁ b e b

c,

osservando che i pesi g·ravitanti sulle facce t₁

u, ur, rs, sv, ... ...

sono quelli stessi che nel numero 93 vennero indicati coi numeri 3', 4', 5', 6', ... , e continuando ad assumere per unità di peso quello del metro cubo di muratura, potremo compiìare la seg·uente tabella

ricbi sP s 2, s₃ ed _{s 4} conispondenti alle liste O l, 12, 23 e 34. Il sovrae-earico totale corrispondente alla lista A₅ A₆ s'immaginerà diviso median\e piani verticali determinati dalle orizzontali proiettate nei punti l, 2 e 3; ·.e pet• la celere determinazione dei pesi p converrà dividere in parti eguali tanto la retta A₅A₆ quanto la retta A₆A_{7 ,} giacchè allora risultano eguali fra di loro i quattro pesi p₁₁ p₂^, p₃ e p₄ ed eguali pure fra di loro gli altri quattro pesi p_{5 ,} p_{6 ,} p₇ e p_{8 •} -Dopo questo, sulla verticale MV' ed a partire dal punto P₅ (determinato col prendere nella scala dei pesi la lun-ghezza MP₅ eguale alla somma P_{1 +} (P₂ + S₂₎ + P₃ + P₄ + P₅₎ si indivi-duino i punti p1 + s!J p₂ + _{s 2 ,} p₃ ⁺ s_{3 ,} p₄ + s4 , p_{5 ,} p_{6 ,} p₇ e p₈ in modo che le l·unghezze P₅ p_{1 +} si> p₁ + s₁ p₂ + s2, p₂ + s2 p_{3 +} s₃^, p3 +S3 P₄ + s4, P4 + S4 Ps> PsP6, p6 p₇ e p₇ p₈ rappresentino rispettivamente i pesi t ro-vati p_{1 +} s_{1 ,} p2 + s₂^, p_{3 +} s₃^, p₄ ⁺ s₄^, p₅^, p₆^, p₇ e p_{8 ;} si faccia l'angolo cd'liV' =" a sinistra di M V'; e quindi si costruiscano a dritta gli altri an -goli OMV' = 0A0K = A5 A0K, l MV' = l A0 K, 2MV¹ =2A0 K, 3M V'=

-136

-l'il ELEMENTI LINEARI

z :-§ _{p el} VOLUMI DEI SOLIDI

8 N

o

calcolo delle aree di alte'Lza PESI

<

"'

o _·~

s

^Q) _{eguale ad l'"}

.!i

""

^{BASI ALTEZZE}

m m mc

11 1,33 4,98 6,623 4,901

11' 0,80 2, 16 1,728 1,279

21 0,20 7,62 1,524 1,128

~

^{0,40 0,73 0,292 ~}

21' 0,351 0,260

o,

¹³ 0,45 0,059

31 0,48 8,02 3,850 2,849

3' 0,30 0,52 0,156 O,ll5

41 0,23 8,02 1,845 1,365

4' 0,45 0,52 0,234 0,173

51 1,25 8,02 10,025 7,419

5' 2,50 l, 70 4,250 3,145

61 0,23 8,02 1,845 1,365

6' 0,45 0,52 0,234 0,173

3 .4nK, 4MV¹=4AnK=A₆AnK, 5MV'=5AnK, 6MV'=6AnK, 7MV'

=

iAnK ed 8MV¹ = 8AnK = A₇AnK. Dai punti P_{5 ,} p₁ -1-s_{1 ,} p₂ + s_{2 ,} p₃ + s_{3 ,} p₄ + s_{4 ,} p₅, p_{6 ,} p₇ e p₈ si conducano altrettante parallele ai lati non verticali degli ultimi indicati angoli fino ad incontrare la retta M "• e si osservi qual è quell~ di queste parallele che incontra la retta ultima indi-cata alla maggior distanza dal punto M. Stando alla figura, questa retta è quella che parte dal punto p₅ e che incontra nel punto Rm la retta M "•

cosicchè si conchiude: che il piano di distacco è An 5; che la spinta massima è r·appresentata in direzione ed intensità dalla retta MRm.

Volendosi ancora maggior approssimazione, si potrebbero considerare altri piani di distacco fra i due di tracce An 4 ed An 5 e fra i due An 5 ed An 6, e ripetere le operazioni ultime indicate. Non crediamo però che nei casi pratici sia necessaria questa maggior approssimazione e riteniamo più che sufficiente fermarsi alla seconda data dalle costruzioni risultanti dalla figura 21.

Facendo le operazioni di seconda approssimazione per determinare il piano

1 3 7

-97. Spinta contro due mezzi contrafforti. - Questa determi-nazione si può fare seguendo le norme state indicate nel numero 94.

Condotta la verticale

o

V (Tav.· X, Fig. 5a) ed assunta la scala di 5 millimetri per ogni unità dei pesi scritti nell'ultima colonna della tavola del numero precedente, si portino successivamente su essa le lung·hezze o 11+ 1/, 11+ 1/ 21+2/, 2¹+2/ 31+3', 3₁ + 3' 41

+

^4',

⁴

1 + 4' 51+ 5', 51+ 5' 61 + 6', ... rappre-sentanti 1·ispetti vamen te i pesi

li + l/= 6,180 2,964 51 + 5'

=

10,564

21 + 2/

=

^1,388

41 + 4'

=

^1,538

61 + 6'

=

1,538.

Fatto questo, ritenuti i valori stati indicati nel numero 94 per gli angoli

cp ,

cp' e y, si costruisca l'angolo (Fig. }a e 5a) a

o

V= Q1 01a1 ;

e quindi, a dritta di o V, si facciano gli angoli j3₁ o V= b 01 Q1 ,

f3~o V=

t

₁0₁ Q_{1 ,} j3₃o V= u0₁01 , f3,.o V= r 0₁01 , j3₅o V= s01Q₁,

j3₆

o

V= v0₁ 01 , . . . Dai punti 11 + 1/,21 +2/, 31

+

^{3', 41}

+

^4',

5₁

+

^{5', 6}1

+

^{6', ........} si conducano altrettante rette rispettivamente parallele alle of3P oj3~, oj3₃, oj3₄, oj3₅, oj3₆, ... e nelle lunghezze oR₁^, oR~, oR₃^, oR₄^, oR₅^, oR₆, . . . si hanno le direzioni e le in-tensità delle spinte prodotte dal terrapieno contro l'unità di

!un-di distacco e la spinta massima, presentasi generalmente il caso di diffe-renze cosl piccole fra le spinte corrispondenti ai piani compresi fra quelli di tracce AnA₅ ed AnA_7, da aversi incertezze e dubbi sui risultati delle oostruzioni grafiche; e, per eliminare almeno in parte quest'inconveniente, conviene adottare per la rappresentazione dei pesi nella figura 21 una scala multi!Jia di quella adoperata per la figura 20. Siccome però la figura a-cquisterebbe allora tale altezza da non potersi generalmente contenere nel foglio, conviene !imitarla a quella sola parte in cui devono trovarsi le li-nee che conducono alla voluta determinazione, ed operare come risulta dalla figura 22 della tavola 3", in cui si è fatta la valutazione dei pesi con una scala doppia di quella stata impiegata per la figura 20. Condotta la ver-ticale N V' e cost1·utti gli angoli (Fig. 21 e 22) O N V'= O A n K = A₅ An K,

l N V'= l AnK, 2NV' = 2AnK, 3 NV'= 3AnK, 4NV' = 4AnK = A₆AnK, 5NV'=5AnK, 6NV'= 6AnK, 7NV'=7AnK ed 8NV¹=8AnK=A₇AnK, s'innalzi in N una perpendicolare e si porti su questa la l un ghezza N R₅ che sia il doppio della lunghezza indicata colle ste~se lettere nella figura 20. Prl punto R₅ (Fig. 22) si tiri la verticale R₅ U e si faccia l'angolo M R₅ U =et. prolungando il suo lato MR₅ in R₅ et.. Sulla verticale N V¹ si

-

138-ghezza della parete 0₁

a

₁ nell'ipotesi che i piani di distacco siano quelli definiti dalle rette 0₁ò, 0₁ct₁^, Ou, Or, Os, Ov, ... .

Le spinte trovate, come è messo in evideur.a dalla fig·ura 5a, vanno crescendo dalla prima alla quinta e decrescendo dopo quest'ultima;

cosicchè, fra i prismi spingenti stati considerati, produce la mas-sima spinta quello cui corrisponde il piano di distacco O,s. Siccome poi valgono anche per la spinta contro i contrafforti le osservazioni state fatte nel n urnero 94 sul modo di comportarsi del sovraccarico esistente sulla faccia ^?'S, si deduce che nel caso concreto la spinta massima per una lunghezza di terrapieno eguale all'unità è data in direzione ed intensità dalla lunghezza oR₅^, la quale, misurata nella scala stata adottata per valuta1·e le forze nella costruzione della figura 5a, vale 8,20.

Tirando da R₅ l'orizzontale R₅A, si ottengono nei cateti R R ed

- - 5

A o del triangolo rettangolo o A R₅ le componenti orizzontale e ver-ticale della detta spinta, le quali si t1·ovano rispettivamente eguali a 7,10 e a 4,10.

Considerando ora due mezzi contrafforti i quali abbracciano una lunghezza di terrapieno eguale a metri 1,50, e chiamando

R1 la corrispondente spinta,

Q, la sua componente orizzontale, e V₁ la sua componente verticale, si deduce

prenda la lunghezza N P₅ anche doppia della lunghez~a indicata colle stesse lettere nella figura 20, e, prendendo come punto di partenza il punto P ^&

(Fig. 22), si individuino sulla verticale NV' i punti p_{1 +Sp} p₂ +s₂, p₃ + s3 ,

p₄ + s₄, p_5, p_{6 ,} p₇ e p₈• Da questi punti si conducano successivamente le parallele alle rette che passano per N e che si trovano a dritta della N V', e si otterranno così sulla M" altrettanti punti aventi distanze doppie di quelle che i punti stessi avevano nella figura 21 e quindi assai più facili a distinguersi. Il punto Rm, che è il più distante dal punto R₅ e che si trova sulla retta RmPs parallela alla N 5, porta a conchiudere: che il piano di distacco è An5 (Fig. 21); e che la Rpinta massima è rappresentat~, nella scala della figura 20, d:o1lla l un ghezza i\'1 R₅ aumentata dalla metà della lunghezza R5Rm (Fig. 22).

Nel caso generale di un terrapieno avente pel' profilo della sua superficie superiore una linea poligonale qualunque, può avvenire che, dopo un de-erescimento della spinta, si verifichino nuovi accrescimenti e decrescimenti in modo da esservi due o più valori massimi; e quindi, per ben accertare qual è il vero piano di distacco e la vera spinta massima, conviene consi-derare tutti i piani, determinati dalla orizzontale proiettata nel punto An

-

139-R₁

=

^1,50

^X

^8,20

=

^12,30

Ql

=

^1,50

x

^7,10

=

^10,65

V1

=

1,50

x

^4,10

=

6,15,

quando per unità di forza si assuma il peso del metro cubo dì mu-ratura, ossia il peso dì 2300 chilogrammi.

98. Punto d'applicazione della spinta contro due mezzi con-trafforti. -- Essendo 0₁

s

il piano di distacco (Fig. l"), si sono determinati i centri di superficie ll' 2_1, 31' 4₁ e 5₁ dei triangoli a₁0₁b, b0₁c,

t

10₁u, uO,r ed ?'0₁s, e quindi quelli delle figure a₁bb'a'" bct₁dc'b', iuk, 16rnk ed ?'Sqo, non che i punti d'inter -sezione l/, ·2/, 3', 4' e 5' delle verticali passanti pei centri stessi col profìlo

a

1 b

c

d

e

del terreno. Per trovare il punto 2/ si è seg·uìto il metodo stato indicato nel numero 93 per la ricerca del punto 2', ma si tndasciò di segnare le costruzioni corrispondenti onde non complicare troppo la figura.

Pei punti 1₁, 2_1, 31' 41' 51' l/, 2/, 3', 4' e 5' si sono condotte altrettante parallele alla retta 0₁

s

rappresentante la traccia del piano di distacco, le quali parallele, partendo dalla più alta, si presentano coll'ordine che segue. Frima quella che passa pel punto l/ e quindi successivamente quelle tirate pei punti 2/, 3', lp 4', 2t> 311 41 , 5' e 51•

Per trovare la parallela al piano di distacco, la quale passa pel

e dalle ot·izzontali corrispondenti a tutti i vertici del profilo della super-ficie superiot·e del terrapieno ed ai limiti delle liste sovraccaricate, compresi ft•a la parete spinta An A₀ ed il piano di natura] declivi o An K. Applicando pet· tutti questi piani il metodo stato indicato nella figura 20, riesce facile trovare a quale eli essi conisponde la spinta maggiore. E, applicando dopo il metodo stato descritto coll'aiuto delle figure 21 e 22, si arriva a meglio precisare il vero piano di distacco e la spinta massima.

l'ìei casi di terrapieni per cui il profilo della superficie superiore è un<t linea poligonale non molto irregolare, si trova quasi sempre che la spint&

cresce, e che quindi decresce continuamente fino a diventare zero quando si consider·a come piano di distacco il piano di natura] declivio; cosicchè nei casi più frequenti della pratica basta generalmente arrestare le costru-zioni grafiche in corrispondenza di quel piano per cui si manifesta la prima diminuzione della spinta.

Quando le operazioni di pt·ima approssimazione per determinare il piano di distacco portano a conchiudere, come avvenne per la figura 20, che questo piano passa per una delle orizzontali che limitano le liste sovracca-ricate, convien distinguere due casi nel fare le operazioni di seconda

ap-140

centro di tutti i pesi applicati nei dieci punti ultimi indicati, si e costrutto il poligono delle forze rappresentato nella retta 05₁ della flg·ura 6n, poligono che si è ottenuto col portare successivamente i pesi (Num. 96) 1,279, 0,260, 0,115, 4,901, 0.173, 1,128, 2,849, 1,365, 3,145 e 7,419 sull'accennata retta parallela alla traccia 0₁

s

(Fig. la e 6a) del piano di dista()CO. Si è scelto il punto P1 come polo, si sono condotti g·li undici raggi ai vertici del definito poli-gono delle forze, e quindi si è costrutto il corrispondente poligono funicolare col quale si è determinato il punto d'intersezione (Xl)₁ Jel lato (1)₁ (X

n

^parallelo al rag·gio P₁

o

coi ragg·io (X)₁ (X

n

pa-rallelo al rag·gio P₁5₁• Conducendo parallelamente ad 0₁

s

la retta (XI)₁ An si è ottenuta in quest'ultima !a parallela al piano di di-stacco passante pel centro di tutte le forze sollecitanti; ed il punto d'incontro A₁ della retta (Xl)₁ A ₁ colla parete 0₁

a

₁ dà quel punto che si può ritenere come il cercato punto d'applicazione della spinta

contro due mez~,i contrafforti.

99. Determinazione della risultante delle forze operanti sulla

Nel documento FABBRICARE COR (pagine 141-146)