Operazioni preliminari alla determinazione dell'azione dell'indicata parte di vòHa sul muro di cui vuolsi verificare la

stabilità. - Trnttanclosi eli una vòlta del secondo piano, non esiate un riempimento eli calcinacci per anelare dal suo estradosso al pa-vimento superiore, ma vi sono invece speroni con porcelle; cosicchè esistono fi'U quello e qut>sto numerosi vani lasciati con proposito di allegg-erire la costruzione. Siccome però sarebbe operazione lung-a e difficile il tener conto dell'esistenza eli tutti que~ti vani e siccome nel genere eli determinazione di cui parliamo convien generalmente operare in favore della stabilità, noi ammetteremo che dall'estra-dosso al pavimento predetti siavi un riempimento murale, e

sup 9 1 sup

-porremo per di più che esista sul secondo un sovraccarico di 100 chilogrammi per ogni metro quadrato.

Assumendo di 2200 chilogrammi il peso rlel metro cubo di mu-ratura, si ha che l'altezza a di un prisma di essa, il quale produr-rebbe lo stesso effetto del sovracearico, è dato da

100 m

a

=

2200

=

O '05 ;

cosicchè portando qUPst'altena (nella scala della figura 3a della ta-vola VI) in A' C'= B' D', si ottiene nella retta C'D,' quella che li-mita la rappresentazione del carico insistente alla parte di vòlta di cui stiamo r11g·ionando.

Fatto qnesto, si conduca la retta E' F' corrispondente al giunto della vòlta passante per quella generatrice della superficie d'estra-dosso rhe trovasi sulla parete del muro, e dividasi l'arco d'intr a-dosso, iE due parti eguali per la porzione di \'6lta grossa metri 0,12, in quattro pnrti eguali per l'altra porzione g-rossa soltanto metri 0,06.

Si traccino i giunti corrispondenti a questi punti eli divisione, e dove que;;ti giunti incontrano la curva cfestrados~o si conducano altrettante verticali. Con queste rette avremo scomposto tanto la sezione trasversale della v6lta, quanto la sezione trasversale del riempimento in sei parti; le prime saranno sei porzioni di corona circolare e le altre saranno trapezi aventi un lato curvilineo.

Dopo l'accennata scomposizione, con uno dei molti metodi grafici noti si determineranno i centri eli superficie delle sei figure in cui trovasi scomposta la sezione del riempimento, considerando queste figure come quadrilateri; e si troveranno i punti l, 3, 5, 7, 9 ed l l per ciascuno dei qnali si coÌJelurrà una verticale. Si determineranno pure i centri eli superficie delle sei fignre, nelle quali si è ~composta la sezione trasver~ale della vòlta; ed anche per questi centri, che con multa approssimazione si potranno fis~are nei punti eli mezzo 2, 4, 6, 8, 10 e 12 deg-li archi merli delle figure stesse, si condur-ranno altrettante verticali.

Considerando ora le pRrti di v6lta e le parti di riempimento pro-iettnte nelle figurt~ di cui si sono trovati i centt·i di superficie, con

approssimazio11e sufTiciente per il genere di determinazione di cui stiamo occupandoci si possono fare i loro volumi moltiplicando le aree delle figure stesse per le lunghezze dei solidi prese in corri-spondenza dei loro centri eli superfir:ie. Q11este lunghezze poi sareb-bero il doppio dei segmenti delle verticali passanti pei punti l, 2,

- '

92-3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, l O, ll e 12 intercetti nei lati AB ed A C del triang·olo AB C.

A questo punto possiflmo prendere sulla figura le dimensioni che ci occorrono per calcolare i detti volumi, e, indicandoli coi numeri stessi che sono apposti ai centri delle loro sezioni rette, possiamo compilare il seguente quadro, in cui l'ultima colonna contiene i pesi COl"rispondenti alle sei porzioni in cui fu divisa la parte di volta

con~iderata

l

"

^{Elementi linenri}

g~ 1•el t·ulcolo Allezze

·~~ ^{delle aree} dei Yolnmi Pesi

.:ç

"""

·Q.)

---

^{Dasi Altezze solidi}

-l 1"',09 0"',37 5"',44 2"'"·,194 4827Cg.

2

o,

46

o,

12 5, 34

o,

295 649

3 O, 82

o,

40 4, 72 l, 548 3406 4 O, 46 O, 12 4, 64 O, 256 563 5

o,

58 O, 57 3, 84 l, 270 2794 6 O, 59 O, 06 3, 74

o,

132 290 7

o,

38

o,

58 2, 78

o ,

613 1349

8

o,

59

o,

06 2, 72

o,

096 211

9

o,

23 O, 59 l, 70

o,

231 508 lO

o,

59

o,

06 l, 65 O, 058 128 l l

o,

15 O, 60

o,

60

o,

054 119 12

o ,

59

o ,

06

o,

56

o,

020 44

Sommando tutti i numeri dell'ultima colonna, si ottiene che i peso totale della porzione di volta considerata col peso del riempi-mento e del sovraccarico ascende a chilog-rammi 14888; e questa cifra si deve considerare come un massimq, il quale difficilmente si potrà realizzare, perché la somma dei pesi degli speroni, delle parcelle e del superiore pavimento fa assai meno del peso del riem-pimento conti_nuo di muratura quale venne da noi supposto.

Bisogna ora determinare la linea d'a7.ione del peso or ora stato indicato, e faremo questo traendo partito della relazione esistente fra il poligono delle forze ed il poligono funicolare. Portate perciò sulla verticale O 12 (Tav. VI, Fig. 4•) le lunghezze

OT,

l :2, :G3, 34, 45, 56, 67, 78, 89,910, lO lÌ ed 1112 successivamente rappre-sentanti, nella scala di metri 0,01 per tonellata, i pesi contenuti nell'ultima colonna della tavola stata riportata, scelgasi un punto

9 3

-qualunque P come polo e !'li conducano i tredici raggi cor'rispon-denti ai vertici del poligono costituito dalle forze accennate. Si co-struisca il poligono funicolare corrispondente (Tav. VI. Fig·. 3a e 4a) I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII e si determini il punto d'intersezione XIII del lato di questo poligono parallelo al raggio PO col lato dello stesso poligono parallelo al ragg·io P 12. La verticale passante pel punto XIII è la linea d'azione domandata.

65. Azione dell'indicata parte di vòlta sul muro di cui vuolsi verificare la stabilità. - Siccome la vòlta intiera cui appartiene la porzione da noi stata considerata è simmetrica intol'llo alla ver-ticale passante pel suo vertice, e siccome oltre la simmetria di forma si può anche ammettere la simmetria di carichi, ne deriva che le mutue azioni alla chiave fra le quattro parti eli cui la vòlta si com-pone possono essere ritenute come orizzontali. Di più, essendo pic-cole le grossezze alla chiave ed all'imposta, non si può andar !ungi dal vero supponendo che i punti d'applicazione delle azioni sui giunti di chiave e d'imposta siano nel mezzo dei giuuti stessi. Pre-messo questo, per essere l'azione sul giunto d'imposta E' F' (Tav.

VI, Fig. 3a) la risultante della spinta orizzontale e del pt:su rife-rentesi alla parte di volta di cui si tratta, ecco come si può trovare l'!lzione ultima indicata: si conduca ptl punto di mezzo L' del giunto di chiave l'orizzontale L'H'; si determini l'incontro I' di questa orizzontale colla verticale passante pel punto XIII; si unisca il punto l' col punto di mezzo G' del giunto d'imposta; si porti sulla verticale I' XIII, nella scala di metri 0,01 per ogni tonellata, il totale peso di chilogrammi 14888 in I' M'; e si conduca per M' la orizzontale M'N' fino ad incontrare in N' la retta I' G'. La retta I' N' rappresenta in direzione ed intensi:à l'azione della parte di vòlta stata considerata sul giunto d'imposta E' F', ossia l'azione cercata sul muro di cui vogliamo verificare la stabilità; e le lun-g·hezze I' 1lf' ed M'N' sono le rappresentative delle intensità delle componenti verticale ed orizzontale dell'azione stessa. Misurando l'ultima lung·hezza travasi che la forza corrispondente è di chilo-grammi 9200, cosicchè si può ritenere che la parte di vòlta stata considerata opera nel punto G' e sul muro di cui vuolsi verificare la stabilità come due forze, una verticale e diretta dal basso all'alto coll'intensità di chilogrammi 14888, l'altra orizzontale e diretta da destra a sinistra coll'intensità di chilogrammi 9200.

66. Determinazione della risultante delle forze verticali ope-ranti sul muro di cui vuolsi verificare la stabilità. - Per questa

9 4

-determinazione si sono fatti (nella figura 5• della tavola V I ed alla scala di metri 0,025 per ogni metro, ossia nella ~cala

4

l

0)

i disegni della sezione trasversale e della sezione ori<\zontale del muro, :1g·-giungendovi altri particolari di cui in seguito si parlerà.

Koi considereremo la risultante domandata come cornposht: del peso della parte di camicione che travasi al di sopra dei modiglioni, il qual peso, potendosi approssimativamente ritenere siccome quello di un prisma retto. di muratura avente metri 6,23 di lunghezza ed avente per sezione retta un trapezio colle basi di metri 0,80 e di metri 0,64 e coll'altezza di metri 0,28, è dato da

0·80

t

^0·64

^x

^0,28

^x

^6,23

^x

²²⁰⁰

⁼

^2763C:g.;

della pressione verticale che i panconcelli appoggianti sul muretto rn (Tav. VI, Fig. 1n) esercitano sul n1uretto stesso, la qual pressioue, tenendo conto che le tegole sporg·ono dai panconcelli di circa metri 0,10 e che la neve s'arresta anche sulle grondaie, è cosl formata per ogni uuità di luughezza dr.l muro

Peso delle tegole dei listelli .

0,05

X

40

=

22Cg.

0,45

0,33

x

^0,03

x

^0,04

x

⁵⁰⁰

⁼

^l

dei pauconcelli

O,~O ^X

^0,45

><

^0,08

X

0,10

X

500

=

⁴

)) della neve . • 0,65

X

176

=

114 Totale 141, cosicchè per la lunghezza di metri 6,23 risulta di chilogTammi 878;

del peso dei modiglioui del coruieione i quali, essendo in numero di nove nella parte di muro cousiderata e polendosi approssimati-vamente ritenere come prismi triaugol!ìri colle dimensioni di metri 0,50, di metri O, 54 e di metri 0,18, ammettono il peso dato da

0,50

9

X

2

X

0,54

X

0,18

X

2200

=

481Cg.;

delle pressioni verticali esercitate dai puntoui e g·ià state trovate nel numero 62, le quali pressioni ammettono una risultante data da

9 5

-dal peso del ITJUt'O di cui vuolsi verificare la stabilità, il qual muro, trascurando per ora i vani iu esso praticati, è un pri~ma retto di muratura lungo metri 6,23 ed avente per sezione retta un trapezio colle basi di metri 6,51 e di metri 5,81 e coll'altezza di metri 0,58, cosicchè questo peso è dato da

G,fil

t

^5·81

^X

^0,58

^X

^6,23

^X

^{2200 = 48969Cg.;}

dtllla pressione verticale che la parte di v6lta portata dal muro di cui vuolsi ~·et·ificare la stabilità esercita sul n,iJro stesso, la qual pressione venne trovata nel pt·ecedente numero di 14888 chilo-grammi.

Ma non bisogna dimenticare che nel muro, della cui stabilità ci occupiamo, esistono due finestre non che le rientranze motivate dalle paraste e dag·li archivolti. Queste fìnef'tre e queste rieutranze corrispondono a deduzioni da farsi nel volume del muro stesso e quindi anche nel peso ultimo trovato. Queste deuuzioni di peso ri-sultano:

Per la rientranza fra le paraste ed il cornicione 2

X

2,85

X

0,10

X

4,GO

X

2200

=

5768Cg;

Per le rientranze sotto g·li archirolti. ciascuna delle quali consta di due parti, una prismatica e l'altra semi-cilindrica

[ 2

X

2,17

X

0,10

X

3,19

+ ~

^3,14

(2, 17)~ X

0,10

J

²²⁰⁰

⁼

^iì859Cg.;

Per i vani corrispondenti alle rnazzette delle finestre

2

x

l ,20

x

O,i2

x

2,87

x

2200 = 1818Cg.; Per i vani corrispondenti allo squarcio delle finestre stesse

(1,40

+

1,54) 0,'26

x

^3,04

x

^{2200 = 5ll:l.}

Determinate le forze verticali operanti sul m:.1ro di cui vuolsi v e-rificare la stabilità, bisogna segnare sul profilo trasversale del muro stesso le tracce vet·ticali dei piani di profilo in cui queste forze si trovano. Per le forze positive rappresentanti i pesi della cot·nice di coronameuto, dei modiglioni, del muro supposto senza 1·ani e senza

9 6

-rientranze, e per quelle negative rappresentanti le deduzioni di pesi pei vani fra. le paraste ed il cornicione, pei vani corrispondenti agli archivolti e per quelli delle mazzette e degli squarci delle finestre, si determinano i centri di superficie l, 3, 9, 4, 5, 8 e 10 delle se-zioni rette dei solidi corrispondenti, e le verticali passanti per questi centri dànno le tracce volute. Si è supposto che la pressione ver-ticale dei panconcelli sulla cornice di coronamento operi nel piano di profilo la cui traccia è la verticale passante pel punto 2; e quasto punto si è portato piuttosto verso la grondaia onde tener qualche conto della posizione del peso della neve che può caricare la g·rondaia stessa e che si è computato assieme alla pressione predetta. Dove gli assi dei puntoni intersecano la loro base d'appog·gio sul muro di cui vuolsi verificare la stabilità si sono presi i punti 6 e 7; questi punti coincidono in proiezione verticale; e la retta verticale da essi determinata rappresenta la traccia del piano di profilo in cui ope·

rano le pressioni verticali esercitate dai pnntoni stessi sull'indicato muro. Finalmente si è già supposto che la pressione verticale pro-dotta dalla volta agisca nel mezzo del giunto d'impo~ta, cosicché la verticale 11 condotta per questo punto dà la traccia del piano di profilo in cui questa pressione è contenuta.

Riepilogando e considerando come positive le forze di1·ette dal basso all'alto, e come negative le forze dirette dall'alto al basso, possiamo stabilire che le forze verticali agenti sul muro di cui vo-gliamo verificare la stabilità sono le seguenti:

+

^2763Cg. operante nel piano di profilo di traccia verticale l,

+

^{878 ) ~ 2,}

+

^{481 B 3,}

5768 »

_ ,

_4,

3859 5,

+

^{8510 6 e 7,}

1818 8,

+

48969 9,

5112 lO,

+

^{14888 » l l.}

Giunti a questo punto, possiamo costruire il pé>lig·ono delle forze portando (Tav. VI, Fig·. 6a) le lunghezze

01, 12, 23, 34, 45 ,

5 6+ 7, 6+7 8, 8 9, 9 lO e lO l l ordinatamente rappresentanti, nella scala di metri 0,003 per tonellatn, le forze ultime indicate, e

9 7

-nel lato di chiusura O l l di questo poligono si ottiene la lunghezza rappresentativa della risultante ùi tutte le forze verticali operanti sul muro di cui vuolsi verificare la stabilità, la qual risultante è in cifra rotonda di 59900 chilogrammi.

Bisogna ora trovare la traccia verticale del piano di profilo in cui la risultante trovasi contenuta, e per raggiungere lo scopo può servire il polig·ono funicolare. Preso perciò il punto P come polo e condotti gli undici ragg·i corrispoudenti ai vertici del poligono delle forze, colla regola nota si faccia il poligono funicolare i cui vertici maggiormente marcati sono I e XI (Tav. VI, Fig. 5n e 6n); si de-termini il punto d'intersezione XII del lato di questo poligono pa-r-allelo al raggio PO col lato dello stesso polig·ono parallelo al rag·-gio P 11 ; e la verticale passante pel detto punto d'intersezione ra p-presenta la traccia domandata.

N o n basta conoscere il piano di profilo, ossia il piano verticale parallelo alla ·fronte, nel quale opera la risultante delle forze verti-cali sollecitanti il muro di cui vuolsi verificare la stabilità; ma im-porta anche di determinare il piano parallelo al piano verticale di proiezione, ossia il piano perpendicolare alla fronte del muro, nel quale la stessa risultante si trova. Nell'intersezione di questi due piani ortog·onali si avrà allora la risultante domandata.

Per determinare la traccia orizzontale del piano perpendicolare alla fronte, nel quale si trova la risultante di tutte le forze verti-cali operanti sul muro di cui vuolsi verificare la stabilità, si osserva:

che le forze, colle loro linee d'azione proiettantisi verticalmente nelle rette verticali l, 2, 3, 9 ed 11, sono tutte contenute nel piano verti-cale avente per traccia orizzontale la l'etta ab parallela ed equi-distante dag·li assi orizzontali c d ed ej dei due muri trasversali che limitano la parte di muro di fronte da noi considerata; che le forze, colle lot·o linee d'azione proiettantisi verticalmente nelle rette ver-ticali 4, 5, 8 e 10, sono tutte contenute nel piano verticale avente per traccia orizzontale la retta g h perpendicolare e dividente per mezzo la retta i k; e che le due forze, le cui linee d'azione si pr o-iettano verticalmente nella stessa verticale 6 e 7, sono rispettiv a-mente contenute nei piani verticali le cui traccie orizzontali sono le rette l m ed n o ossia nei piani verticali determinati dagli assi dei puntoni. Siccome poi non varia la posizione del punto d'applica-zione della risultante di un sistema di forze parallele comunque si faccia variare la loro direzione, purchè esse si conservino sempre parallele, supporremo che queste forze di l'entino tutte orizzontali

APPENDICE ALL'ARTE DI FAUllRICARB Vol. IV. - 7.

9 8

-e p-erp-endicolari alla front-e d-el muro, ed allora avremo le forze:

4300 cg. nel senso della retta l m ;

- 5768- 3859-1818-5112 = -16557 • (}!t;

2763+878+481

t

48969+14888=67979 ,

a

ò;

4210 ,

n o.

Trovate queste quatt1·o forze, si costruisce il relativo poligono portando (Tav. VI, Fig·. ?a) le lung·hezze 06, 6 4

+

⁵

+

⁸

⁺

^10,

4 + 5 + 8

+

^{lO l + 2 + 3}

+

^{9 + 11 e l + 2}

+

^{3 + 9 + 11 7}

rispetti v amen te rappresentanti, nella scala di metri 0,003 per tonel-lata, le forze di 4300, 16557, 67979 e 4210 chilogrammi; scelto dopo un punto P come polo, si tirano i cinque raggi ai vertici e si fa il relativo poligono funicolare (Tav. VI, Fig. 5a e ?a). Nell' inter·

sezione V del lato di questo poligono parallelo al raggio PO col Jato dello stesso poligono parallelo al raggio P 7, si ottiene quel punto il quale determina la traccia orizzontale di quel piano verti-cale perpendicolare alla fronte nel muro nel quale opera la risultante domandata; cosicchè questa risultante, la cui intensità è, come già si è detto, di 59900 chilogrammi , si proietta verticalmente nella direzione della retta XII A' ed orizzontalmente nell'incontro di questa retta colla V B.

67. Determinazione della risultante delle forze orizzontali o-peranti sul muro di cui vuolsi verificare la stabilità. - Ser-vono per questa determinazione le fig·ure 5n ed 8" della tavola VI.

Tre sono le componenti della risultante che ci proponiamo di de-terminare: la spinta orizzontale del primo puntone avente l'inten-sità di 1430 chilogTammi ed operante secondo la orizzontale (l m, l'm'); la spinta ori;.:zontale dell'altro puntone, aveute l'intensità di 1400 chilogrammi ed operante secondo la orizzontale (n o, l'm');

la spinta orizzontale della v<'>lta, coll'intensità di 9200 chilogrammi ed operante secondo l" orizzontale (a ò, a' b').

Per trovare la proiezione verticale della risultante domandata, si è costrutto il poligono delle forze portando (Tav. VI, Fig·. Sa) le lunghezze O 12, 1213 e

T3i4

rispettivamente rappresentanti, nella

·scala di metri 0,003 per ogni tonellata, le forze di 1430, 1400 e 9200 chilogrammi. Osservando che le due prime forze si proiettano verticalmente sulla stessa orizzontale, si sono condotti dal polo P i soli rag·gi P O, P 13 e P 14; e su !la fig-ura 5a si è costrutto il po-ligono funicolare coi suoi tre lati paralleli ai rag·gi ora accennati.

9 9

-Il lato parallelo al rag·gio P O è incontrato dal lato parallelo al raggio P 14 nel punto (X V)' e la orizzontale (X V)' C' dà la pro-iezione verticale della direzione della risultante cercata. L'intensità tli questa risultante è la somma delle sue tre componenti, ossia di chilogrammi 12030.

Per trovare la proiezione orizzontale della stessa risultante, non dimenticando che le direzioni delle tre componenti sono proiettate orizwntalmente in l rn, n o ed ab, si è costrutto il poligono funicolare coi suoi lati paralleli (Tav. VI, Fig. 5a ed Sa) ai raggi PO, P 12, P 13 e P 14. Nell'intersezione X V del lato di questo poligono parallelo al raggio P O col lato parallelo al raggio P 14 si ha un punto della proiezione orizzontale voluta, la quale è diretta secondo la retta X V C perpendicolare alla fronte del muro.

68. Determinazione delle tensioni delle chiavi e della reazione

Nel documento FABBRICARE COR (pagine 96-105)