Come abbiamo detto più volte, Fermat non ha mai pubblicato i suoi risul- tati. Alla sua morte, la maggior parte dei suoi scritti e delle sue lettere è sparpagliata per l’Europa, di cui spesso Fermat non ha tenuto gli originali.
Molto materiale era in possesso di Carcavi, il quale plausibilmente mette a disposizione del figlio di Fermat, Clément-Samuel de Fermat, gli scritti. Clément-Samuel nel 1670 pubblica un’edizione dell’Aritmetica di Diofanto, arricchita delle note del padre e aggiungendovi un saggio (Doctrinae analy- ticae inventum novum), composto dal gesuita Jacques de Billy, basandosi su alcune lettere di Fermat, descrivendo le tecniche del matematico per la risoluzione delle equazioni diofantee.
Nel 1679 Clèment-Samuel fa stampare il volume Varia opera mathema- tica, che raccoglie alcuni scritti del padre su algebra, geometria, calcolo delle aree e dei volumi,... e una selezione dell’epistolario. Questa edizione offre un quadro estremamente limitato dell’opera di Fermat (per esempio mancano le lettere più importanti riguardanti la teoria dei numeri), inoltre il testo presenta correzioni e integrazioni che spesso ne alterano il senso.
Solo nell’Ottocento gli scritti di Fermat tornano disponibili al pubblico: nel 1839 Guglielmo Libri, un matematico (e truffatore) italiano, annuncia di aver trovato una collezione di scritti matematici di Fermat, ai quali dedicò diversi articoli sul Journal des Sçavants. Questa scoperta fa emergere i
3.4. L’EDIZIONE DELLE OPERE DI FERMAT 39
limiti dell’edizione del 1679. Libri riesce a ottenere l’incarico di prepararne una nuova dall’allora Ministro dell’Istruzione, Villemain, il quale nel 1843 presenta un disegno che stanzia i fondi necessari alle spese. Il progetto però finisce nel nulla a causa dei ritardi di Libri: il Ministero gli revoca l’incarico. Libri viene accusato di appropriarsi di volumi e manoscritti per interesse personale e viene convocato in tribunale. Trova il modo di fuggire in Italia e porta con sé 18 casse di materiale edito e non, tra cui materiale fermatiano. Nel 1879 Charles Henry20pubblica nel Bullettino di bibliografia e di storia
delle scienze matematiche e fisiche (XII, 1879) i risultati delle sue ricerche sui manoscritti di Fermat nelle più importanti biblioteche europee. La ricerca desta l’interesse di Baldassare Boncompagni, un principe romano proprietario di una ricca collezione di inediti, tra cui alcuni scritti di Fermat, il quale offre a Henry il proprio materiale.
Inizia così il lavoro di pubblicazione delle opere di Fermat, Oeuvres de Fermat, che uscirà in quattro volumi tra il 1891 e il 1912, più un supplemento nel 1922, curate da Henry e Paul Tannery21.
In questa tesi abbiamo analizzato i testi pubblicati in questa edizione22,
in particolare parti del volume 1 (che indicheremo sempre con “OF.I”) e del volume II (“OF.II”).
20Charles Henry (1859-1926, matematico, bibliotecario ed editore francese.) 21Paul Tannery (1843-1904) è un matematico, storico e divulgatore francese. 22Confronta [7].
Capitolo 4
Fermat e i Luoghi piani
Intorno al 1629 Fermat comincia la “ricostruzione razionale” (divinatio è il termine usato all’epoca) di un’opera greca risalente al III secolo a.C. e andata perduta, i Luoghi piani di Apollonio, della quale restano solamente i cenni contenuti nel Libro VII della Collezione matematica di Pappo. Nel 1636 l’Apollonii Pergaei libri duo de locis planis restituti (da qui, Restitutio) è conclusa. Questo è quello che Fermat scrive a Mersenne nell’aprile 1636.
Et vous dirai cependant que j’ai rétabli entièrmente le Traité d’Apollonius: De locis planis. Il y a six ans que je donnai à M. Pra- des1, que peut-être vous connoisez, la seule copie que j’en avois,
écrite de ma main. Il est vrai que la question la plus difficile et la plus belle, que je n’avois pas encore trouvée, y manquoit. Mainte- nant le Traité est de tous points accompli, et je vous puis assurere qu’en toute la Géométrie, il n’y a rien de comparable à ces propo- sitions. J’en ai fait voir quelqu’une à M. de Beaugrand2.3 (OF.II,
pag. 5)
È probabile che che Fermat abbia cominciato a sviluppare le idee alla base dell’Isagoge durante questo lavoro di recupero. La «questione più difficile e più bella» è una delle proposizioni per Fermat più impegnative da ricostruire e, secondo alcune interpretazioni storiografiche, è possibile che sia stata la
1Non abbiamo notizie certe sulla persona citata. 2Di cui abbiamo parlato nel paragrafo 3.2.1.
3E vi dirò tuttavia che ho recuperato interamente il Trattato di Apollonio De locis
planis. Sei anni fa ho inviato al Sig. Prades, che forse Voi conoscete, la sola copia che possedevo, scritta di mio pugno. È vero che vi mancava la questione più difficile e più bella, che ancora non avevo risolto. Adesso il Trattato è completo in ogni punto e posso assicurarVi che in tutta la Geometria non c’è nulla di paragonabile a tali teoremi. Ne ho fatta vedere qualcuna al Sig. de Beaugrand.
42 CAPITOLO 4. FERMAT E I LUOGHI PIANI
risoluzione di questa proposizione a spingerlo a elaborare il nuovo sistema di riferimento di punti e lunghezze esposto nell’Isagoge.
Non c’è accordo tra gli storici della matematica su quale sia la proposi- zione che blocca Fermat. Nel capitolo 5 analizzeremo le due ipotesi principa- li: una elaborata dal curatore delle opere di Fermat, Paul Tannery4, l’altra dallo storico della matematica Michael Sean Mahoney5, analizzando alcune
proposizioni della ricostruzione di Fermat, soffermandoci in particolare sulle proposizioni a sostegno di ciascuna ipotesi.
4.1
Il luogo dei Greci
I Luoghi piani di Apollonio sono citati nel Libro VII della Collezione dove sono citati da Pappo nel Libro VII un buon numero di libri che concernono i luoghi. Infatti, i luoghi sono utili nell’analisi dei problemi: ogni teorema di luogo prova che un certo oggetto (di solito un punto) che soddisfa certe con- dizioni che coinvolgono degli oggetti «dati» giace su un altro oggetto «dato» (in genere una linea retta o curvilinea, o una superficie). Dunque se lo stesso punto manifesta simultaneamente due indipendenti proprietà di luogo, esso giace sull’intersezione di due linee date e così sarà esso stesso «dato».
Non è facile definire cosa sia il luogo per i Greci. Il concetto moderno di luogo nasce proprio dall’interpretazioneda parte di Fermat e Descartes di ciò che i Greci scrivono , i quali, privi degli strumenti per capire a fondo cosa sia un luogo per i Greci, creano qualcosa di nuovo.
La ricerca dei Greci sui luoghi in genere non stata tramandata a noi in modo completo. Grazie a quanto citato da Pappo nella Collezione, sappiamo dell’esistenza di quattro trattati dedicati ai luoghi: i Luoghi piani di Apollo- nio, i Luoghi solidi di Aristeo (che riguarda le sezioni coniche), Sulla media di Eratostene (di cui non sappiamo nulla) e i Luoghi su superfici di Euclide (probabilmente superfici di sfere, cilindri, coni). Potrebbero esserci altri la- vori di cui non siamo a conoscenza; inoltre sicuramente i luoghi sono discussi in numerose applicazioni specifiche dal IV sec. d.C. in poi. Non essendoci pervenuti molti testi originali greci sui luoghi, la nostra conoscenza su questa parte della geometria greca dipende interamente da risorse di seconda mano, tra le quali Pappo è la più importante.
41843-1904, matematico, storico e divulgatore scientifico. Insieme a Charles Henry,
curò l’edizione delle opere di Fermat, Oevres de Fermat ([7]), in 5 volumi.
51939-2008, autore di The mathematical career of Pierre de Fermat ([12]), che è uno
4.1. IL LUOGO DEI GRECI 43
Secondo Jones, un teorema di luogo è una proposizione in cui si asserisce che tutti gli oggetti di un certo tipo (che possono essere punti, linee rette o curve) solidi, che soddisfano certe condizioni giacciono o sono parte di un oggetto determinato: il luogo, appunto.
Proclo6, nel suo commento al Libro I degli Elementi di Euclide, dà la
seguente definizione di luogo.
E chiamo «[teoremi] di luogo» quelli ai quali capita di ave- re la stessa proprietà in un intero luogo; e chiamo «luogo» una posizione di una linea o di una superficie che effettua un’unica e medesima proprietà. Poiché fra i problemi di luogo alcuni costituiti in riferimento a linee, altri a superfici. E poiché fra le linee alcune sono piane, altre solide - e sono piane quelle la cui generazione nel piano è semplice come quella della retta, e solide sono quelle la cui generazione è resa manifesta da una sezione di una figura solida, come quelle dell’elica cilindrica e delle linee coniche - direi che fra i teoremi di luogo riferiti alle linee alcuni hanno un luogo piano, altri un luogo solido. ([4], pag. 314)
Secondo questa definizione c’è una distinzione netta tra la proprietà posse- duta dalla curva e la curva stessa e, quindi, la sua origine geometrica. Di conseguenza, la proprietà non può essere intesa come generante la curva7 o
in qualche modo definente la curva. Quindi Proclo dice che la posizione della linea produce la proprietà e non il contrario8.
La discussione sui luoghi è indotta da quello che Proclo dice essere il primo teorema di luogo negli Elementi di Euclide, vale a dire I.35:
Parallelogrammi che sono sulla stessa base e tra le stesse parallele sono uguali fra loro.
Euclide non considera questo teorema come una definizione di rette paralle- le. Allo stesso modo un’ellisse, una parabola, un’iperbole sono definite come sezioni di un cono, sebbene allo stesso tempo abbiano la proprietà fonda- mentale che, se da un punto qualsiasi su essa sono prese distanze ad angoli fissati su linee fissate, il rettangolo i cui lati sono due delle distanze sostiene un rapporto fissato con il quadrato il cui lato è la terza distanza.
6Proclo di Alessandria (410-485), filosofo neoplatonico e matematico, commenta diverse
opere della matematica greca, tra cui il Libro I degli Elementi di Euclide.
7Per i Greci la curva non è l’insieme dei punti che la compongono, ma un oggetto che
si genera tramite una certa procedura.
44 CAPITOLO 4. FERMAT E I LUOGHI PIANI
Figura 4.1: La sezione conica EP D è una parabola.
Esempio 4.1.1. Apollonio definisce le curve coniche come sezioni di un cono tramite un piano. La parabola è ottenuta tramite un piano parallelo a uno dei lati del triangolo assiale9 (vedi figura 4.1).
La parabola possiede la seguente proprietà:
QV2 = P L × P V,
ma questa proprietà non definisce la parabola, bensì è una conseguenza del modo in cui è costruita.
Pappo non definisce mai cosa sia un luogo. Sembra piuttosto che si trat- ti di studiare una curva, costruita con una certa procedure, trovarne una proprietà e capire se appartiene univocamente a quell’oggetto.
Esempio 4.1.2. La circonferenza è definita come una sezione di un cono. Essa possiede la proprietà per cui due corde AB e CD che si intersecano in E, si dividono in segmenti che hanno lo stesso prodotto:
AE · EB = CE · ED.
Questa proprietà fa sì che la circonferenza sia il luogo della proprietà.
9Il triangolo assiale è ottenuto tagliando il cono con un piano passante per l’asse del