4.4 Analisi delle proposizioni
4.4.1 Libro I, proposizione 1
Per introdurre la Restitutio, Fermat si limita a rimandare il lettore a quanto detto da Pappo.
Loci plani quid sint, notum est satis superque: hac de re scrip- sisse libros duos Apollonium testatur Pappus, eorumque proposi- tiones singulas initio libri septimi tradit, verbis tamen aut obscuris aut sane interpreti minus perspectis (graecum enim codicem videre non licuit)22 . (OF.I, pag. 3)
Fermat tralascia la lunga e oscura dissertazione sulla classificazione dei luoghi23 con cui Pappo introduce l’epitome ai Luoghi piani e passa subito alla dimostrazione della prima delle proposizioni riportate da Pappo.
Si duae linee agantur, vel ab uno puncto, vel a duobus, et vel in rectam lineam, vel parallelae, vel datum continentes angulum, vel inter se datam proportionem habentes, vel datum comprehendentes spatium: contingat autem terminus unius locum planum positione datum, et alterius terminus locum planum continget, interdum qui- dem ejusdem generis, interdum vero diversum, et interdum similter positum ad rectam lineam, interdum contrario modo24 . (OF.I,
pag. 4)
Fermat suddivide la proposizione in casi particolari, secondo le combina- zioni possibili degli elementi citati.
21Lettera I, 26 aprile 1636 (OF.II, pag. 5) all’inizio di questo capitolo.
22È ben noto cosa siano i luoghi piani: Pappo testimonia che Apollonio scrisse due libri
su questo argomento e, all’inizio del suo Libro VII, ne tramanda diverse proposizioni, ma con parole oscure o certamente mal comprese dal traduttore (non mi è stato possibile vedere il codice greco).
23Confronta paragrafo A.1
24Se due rette sono tracciate, o da un punto dato o da due, che siano parallele o che si
incontrino in un angolo dato, o che siano tra loro in rapporto dato o che che comprendano un’area data: se un estremo di una delle due rette tocca un luogo piano dato in posizione, allora anche l’estremo dell’altra linea tocca un luogo piano dato in posizione, qualche volta dello stesso tipo, qualche volta di un altro tipo e qualche volta situato similmente rispetto a una linea retta, qualche volta in modo contrario.
50 CAPITOLO 4. FERMAT E I LUOGHI PIANI
Propositio I. Haec propositio in propositiones octo dividi commode potest, et quaevis ex iis in multiplices casus: obscuri- tatem interpreti praebuisse videtur interpunctionum defectus; imo et Pappus ipse hoc loco propter nimiam brevitatem videtur non vacavisse obscuritate25. (OF.I, pag. 4)
Vediamo la dimostrazione di Fermat del primo caso, come esempio dei metodi usati.
1. Propositio - Si a dato puncto in rectam lineam duae lineae agantur, datam habentes proportionem, et terminus unius contingat locum <planum> positione datum (hoc est: aut rectam, aut circumferentiam circuli positione da- tam), alterius terminus continget rectam aut circuli circumferentia in positione datam26. (OF.I, pag. 4)
La dimostrazione è divisa in due parti: prima il caso in cui luogo è una retta, poi il caso in cui è una circonferenza.
Dimostrazione - Il luogo è una retta. Sia dato il punto A, dal quale sono condotte in linea retta le rette AB, AF , che hanno rapporto uguale a quello dato, e sia, per esempio, il punto B tale che giace sulla retta HCBD data in posizione: allora anche il punto F giace su una retta data in posizione.
Figura 4.2: Proposizione (I,1) - caso della retta
25Questa proposizione può essere divisa senza difficoltà in otto proposizioni, e ognuna di
queste in numerosi casi: sembra che l’enigmaticità dell’interprete sia stata prodotta dalla mancanza di segni di punteggiatura; infatti, anche Pappo stesso sembra che qui non abbia evitato di essere enigmatico per l’estrema brevità.
26Se da un punto dato sono condotte due rette adiacenti, che hanno rapporto dato, e
l’estremo di una tocca un luogo piano dato in posizione (cioè o una retta o la circonferenza di un cerchio data in posizione), allora l’estremo dell’altra [retta] toccherà una retta o la circonferenza di un cerchio dato in posizione.
4.4. ANALISI DELLE PROPOSIZIONI 51
Dal punto A si traccia AC, perpendicolare alla retta HD. Allora è dato il punto C. Si prolunghi CA fino al punto E (dalla parte opposta rispetto a C) in modo che il rapporto tra CA e AE sia uguale a quello dato. Allora anche la retta AE e il punto E sono dati.
Per il punto E sia condotta GEF , parallela alla retta HD; allora anche GEF è data in posizione. Il punto F appartiene alla retta GEF , poiché tutte le rette passanti per un punto dato27 e che tagliano rette parallele, sono divise dal punto in rapporto dato.
Appare dunque chiaro che qualunque retta che passa per il punto A e che tocca rette parallele date in posizione, è tagliata in rapporto dato.
Osservazione 4.4.1. La dimostrazione di questo risultato è fatta da Fermat in uno stile puramente geometrico: non si vede ancora alcun elemento di ordine algebrico, ma una pura applicazione degli strumenti geometrici a lui noti.
Osservazione 4.4.2. Fermat omette l’analisi che lo ha condotto a identifi- care il luogo richiesto dalla proposizione e si limita a esporre la sintesi: prende due segmenti adiacenti, in rapporto dato e tali che uno dei due tocca una retta data in posizione e costruisce una seconda retta, parallela alla prima e dunque data in posizione. L’estremo non comune del secondo segmento tocca tale retta.
Infine, manca la dimostrazione del viceversa: per mostrare che la retta è un luogo, bisogna mostrare che ogni segmento che tocca entrambe le rette e passa per il punto A è diviso da A nel rapporto dato.
Dimostrazione - Il luogo è una circonferenza. Siano poi il punto B dato e il cerchio ICN , di centro A, dato in posizione.
Tracciamo AB, che taglia la circonferenza nel punto I, e prolunghiamo IB fino a BE, in modo che il rapporto di IB a BE sia uguale a quello dato. Prolunghiamo a F , in modo che:
AI : EF = IB : BE,
e costruiamo la circonferenza EDZ, di centro F e raggio EF , la quale, come è chiaro dalla costruzione, è data in posizione.
Dico che tutti i segmenti che passano per il punto B e che terminano da entrambe le parti in circonferenze di cerchi dati in posizione sono tagliati nel rapporto dato.
Per esempio, conduciamo la retta passante per C, B, D e uniamo CA, DF . Si ha:
IB : BE = AI : EF,
52 CAPITOLO 4. FERMAT E I LUOGHI PIANI
Figura 4.3: Proposizione (I,1) - caso della circonferenza
quindi, permutando e componendo
BA : BF = AI : EF = AC : F D;
e gli angoli A ˆBC, F ˆBD sono uguali perché opposti al vertice. È così evidente che i triangoli sono simili28, e così:
CB : BD = BA : BF, che è il rapporto dato.
Se dunque da un punto dato B si conducono due rette in linea retta, come BC e BD, per esempio, in rapporto dato, dei quali BC tocca una circonferenza data in posizione, anche BD toccherà un’altra circonferenza data in posizione.
Se si prolungano i segmenti fino a toccare le circonferenze concave del cerchio, accadrà la stessa cosa.
Osservazione 4.4.3. Fermat chiude questa prima dimostrazione con un avviso per il lettore.
Monemus porro nos minima quaeque in demonstrationibus non docere, quum statim pateant, imo et casus diversos non persequi, quum ex adductis minimo possint negotio derivari29. (OF.I, pag.
6)
Anche noi, prendendo ispirazione dallo stile di Fermat, omettiamo le altre sette proposizioni, le cui dimostrazioni sono nello stesso stile di questa appena vista.
28Proposizione 7 del Libro VI degli Elementi : «Se due triangoli hanno l’angolo di uno
uguale all’angolo dell’altro e gli angoli intorno agli altri due angoli in proporzione, allora, sia che ognuno degli angoli rimanenti sia maggiore di un angolo retto, sia che sia minore o che sia un angolo retto, i triangoli sono equiangolari e hanno uguali gli angoli intorno ai lati in proporzione».
29Avvertiamo che d’ora in poi non mostreremo ogni minima cosa nelle dimostrazioni,
ogni qualvolta appaiano immediatamente chiare, che non esporremo fino in fondo casi diversi, ogni qualvolta possano essere derivati da quelli già affrontati con minimo sforzo.
4.4. ANALISI DELLE PROPOSIZIONI 53
4.4.2
Libro I, proposizioni 2, 3 e 4
Fermat non indugia su queste proposizioni, rimandando per la loro dimostra- zione agli Elementi di Euclide.
Osserviamo soltanto che nella (I,2) è contenuto un errore di traduzione dal greco, di cui Fermat si accorge prontamente e fornisce un’emendazione30 e che alla (I,4) aggiunge la precisazione che la retta su cui giace il vertice del triangolo opposto alla base è parallela alla base stessa31.
Proposizione II. Si rectae lineae positione datae unus termi- nus datus sit, et alter circumferentiam concavam positione datam continget32.(OF.I, pag. 19)
Fermat osserva che c’è un errore: affinché il secondo estremo tocchi una circonferenza concava, il segmento deve essere dato in grandezza e non in posizione. Per quanto riguarda la dimostrazione della proposizione, osserva:
Cujus rei veritas quum per se pateat, cur diutius hic immore- mur33? (OF.I, pag. 19)
Proposizione III. Si a duobus punctis datis inflectantur rec- tae lineae datum angulum continentes, commune ipsorum punctum continget circumferentiam concavam positione datam34.
Proposizione IV. Si trianguli spatii, magnitudine dati, ba- sis positione et magnitudine data sit, vertex ipsius rectam lineam positione datam continget35. (OF.I, pag. 19)
4.4.3
Libro I, proposizione 5
Proposizione V. Si rectae lineae, magnitudine datae et cui- piam positioni datae aequdistantis, unus terminus contingat rectam lineam positione datam, et alius terminus rectam lineam positione datam continget36. (OF.I, pag. 20)
30In effetti nel testo greco si trova «in grandezza» e non «in posizione». 31Che si può dedurre dagli Elementi.
32Se è dato un estremo di una retta data in posizione, allora l’altro estremo tocca una
circonferenza concava data in posizione.
33Se la verità di questa cosa è evidente di per sé, per quale motivo vi indugiamo? 34Se da due punti si incontrano segmenti che contengono un angolo dato, il punto in
comune dei segmenti toccherà una circonferenza concava data in posizione.
35Se di un triangolo dato in grandezza, è data la base in posizione e in grandezza, il suo
vertice toccherà una linea retta data in posizione.
36Se un estremo di una retta, data in grandezza ed equidistante a una certa [retta] data
in posizione, tocca una retta data in posizione, l’altro estremo toccherà una retta data in posizione.
54 CAPITOLO 4. FERMAT E I LUOGHI PIANI
Figura 4.4: Proposizione (I,5) - caso della retta
Osservazione 4.4.4. Diversamente da altre proposizioni, in questo caso Fermat estende l’enunciato: dimostra che è vero anche nel caso in cui il luogo sia una circonferenza.
Figura 4.5: Proposizione (I,5) - caso della circonferenza
4.4.4
Libro I, proposizione 6
Propositio VI. Si a puncto quodam ad positione datas duas rectas lineas parallelas, vel inter se convenientes ducantur rectae lineae in dato angulo, vel datam habentes proportionem vel quarum una simul cum ea, ad quam altera proportionem habet datam, data
4.4. ANALISI DELLE PROPOSIZIONI 55
Figura 4.6: Proposizione (I,6)
fuerit, continget punctum rectam lineam positione datam37. (OF.I,
pag. 21)
L’enunciato è un po’ involuto, ma si riconosce che è diviso in quattro casi: sono date in posizione due rette, che possono essere parallele o incidenti; da un punto C, qualunque, si conducono, ad angoli dati, due segmenti che hanno rapporto dato, oppure che sono legati una relazione lineare. Il punto C allora toccherà una linea retta data in posizione.
Analizziamo il caso in cui le rette date in posizione sono incidenti e i segmenti tracciati hanno rapporto dato. Dunque:
• le rette AE, AF , date in posizione si incontrano in A;
• i segmenti CB e CD, tracciate dal punto qualsiasi C, hanno rapporto dato;
• i segmenti CB e CD incontrano le rette AE e AF rispettivamente negli angoli dati C ˆBA e C ˆDA.
37Se da un punto si conducono, a due rette date in posizione, parallele o che si inter-
secano, due segmenti ad angoli dati e in rapporto dato o tali che uno dei due, più un segmento in rapporto dato con l’altro, hanno somma data, il punto sarà su una retta data in posizione.
56 CAPITOLO 4. FERMAT E I LUOGHI PIANI
Osservazione 4.4.5. Dalla dimostrazione di Fermat emerge un sintomo di una retta. Nella proposizione (I,6) si dimostra che la retta AC è un luogo, dunque se da un qualunque punto C0 su AC si tracciano due segmenti C0B0 e C0D0 agli assi, con angoli uguali agli angoli dati C ˆBA e C ˆDA, C0B0 e C0D0 hanno rapporto dato:
CB : CD | {z }
dato
= C0B : C0D,
che è l’equazione di una retta passante per l’origine in un sistema di riferi- mento (non necessariamente ortogonale) dato da due assi che si incontrano, le rette AE e AF . Il punto C giace su una retta data in posizione, AC. A conclusione del caso 1-A Fermat esprime verbalmente questa proprietà.
[...] datur igitur positione recta AC, et in ea sumpto quovis puncto et ab eo demissis, in datis angulis, rectis in rectas datas, probabitur semper demissas esse in data proportione38. (OF.I, pag.
22)
4.4.5
Libro I, proposizione 7
Propositio VII. Si sint quotcumque rectae lineae postione datae, atque ad ipsas a quodam puncto ducantur rectae lineae in datis angulis, sia autem quod data linea et ducta continetur, unà cum contento data linea et altera ducta, aequale ei quod data et alia ducta et reliquis continetur, punctum rectam lineam positione datam continget39. (OF.I, pag. 24)
Osservazione 4.4.6. In una nota alla parola «reliquis», Tannery osser- va un’ambiguità nella traduzione: le parole «et reliquis» della versione di Commandino sono incomprensibili. Hultsch40 e Jones41 nelle loro edizioni
nell’opera Pappi Alexandrini Collectionis quae supersunt leggono questo:
38[...] allora è data in posizione la retta AC, e in essa, scelto un qualunque punto e
tracciate da esso, ad angoli dati, segmenti alle rette [AE, AF ] date, si dimostra che i segmenti tracciati sono sempre in rapporto dato.
39Se ci sono un numero qualunque di rette date in posizione, e a queste da un punto
qualsiasi sono condotte delle rette ad angoli dati, e il rettangolo contenuto da una retta data e da una retta costruita, più il rettangolo che è contenuto da una retta data e un’altra costruita è uguale al rettangolo contenuto dalla retta data e un’altra costruita, allora il punto toccherà una linea retta data in posizione.
40Friedrich Hultsch (1833-1906), storico della matematica, è autore di un’edizione critica
della Collezione in tre volumi, Pappi Alexandrini Collectionis quae supersunt, uscita nel 1878.
4.4. ANALISI DELLE PROPOSIZIONI 57
και τῶν λοιπῶν ομοίως
che significa «succeda la stessa cosa per tutte le altre rette»42.
Haec propositio est ampliatio precedentis et quod de duabus lineis est superius demonstratum in prima parte propositionis VI, hîc in quotcumque locum habere proponitur43. (OF.I pag. 24)
In verità, la vera generalizzazione della proposizione VI è che il luogo del punto è una retta tutte le volte che c’è una relazione lineare qualunque tra le distanze (oblique) di questo punto a un numero qualunque di rette date. Si può dare questo senso alla proposizione di Pappo, ma a leggere il testo letteralmente, sembra che, da una parte, in questa relazione lineare, non si supponga alcun termine costante e, dall’altra, si uguagli la somma di due dei termini alla somma di tutti gli altri. Fermat ha seguito sicuramente la prima ipotesi, ma, al posto della seconda, ha supposto un termine uguale alla somma di tutti gli altri.
Figura 4.7: Proposizione (I,7)
Dimostrazione - Siano AB, BC, CA tre rette date in posizione che formano un triangolo. Dobbiamo trovare la retta EK tale che, scelto in essa un punto [qualunque] M dal quale si conducono i segmenti M R, M O, M I ad angoli dati M ˆRA, M ˆOB, M ˆIA, sia dato il rapporto della somma dei due segmenti, OM e M I, con il terzo, M R44.
42Jones traduce con «and the rest similarly» ([10], pagina 108).
43Questa proposizione è un ampliamento della precedente e ciò che è stato dimostrato
in precedenza, nella prima parte della proposizione VI, per due linee qui si propone che abbia luogo per un numero qualunque [di punti].
44Se (OM + M I) : M R = k : r, allora r · OM + r · M I = k · M R Fermat suppone che
58 CAPITOLO 4. FERMAT E I LUOGHI PIANI
Grazie alla prima parte della proposizione precedente (I,6) si trova la retta con la seguente proprietà: scegliendo un punto qualsiasi in essa e conducendo da esso segmenti alle rette AB, BC, i segmenti condotti siano in rapporto dato: la retta trovata sarà data in posizione. Allora sarà dato il punto E in cui questa retta incontra AC.
Da E conduciamo EV , ED ad angoli dati45: dunque, dalla costruzione, EV ed ED avranno rapporto dato.
Con il medesimo metodo, scelte le rette AB, AC, si trova il punto K, dal quale conduciamo KL, KZ ad angoli dati, paralleli a M R, M I. Allora, allo stesso modo, KZ è in rapporto dato con KL.
Tracciamo la retta EK: qualunque punto scelto in esso soddisferà la proposizione.
Per esempio scegliamo M , tra quelli già costruiti. Siano dati M F parallelo a BA e M H parallelo a BC. Dobbiamo provare che la somma dei due OM , M I sta a M R come V E a ED, cioè nel rapporto dato. Sia inoltre KG parallelo a BA.
Fermat procede per analisi, supponendo vera la tesi e procedendo verso qualcosa di vero per assunzione.
Supponiamo dunque che sia vero ciò che vogliamo dimostrare46, allora
permutando avremo:
M R : ED = (M I + M O) : EV,
e, dividendo:
M R − DE : DE = (OM + M I) − EV : EV.
Ma, essendo M F parallelo a BA, EF sarà la differenza tra M R e DE. E poiché M H è parallelo a BC, EH è la differenza tra V E e M O. Dunque la differenza tra IM ed EH è uguale all’eccesso con cui M O, M I superano la retta EV47. Da quanto dimostrato, allora vale:
EF : DE = (IM − EH) : EV,
45Fermat dice «ipsis M O, M R parallelae», perché EV , ED sono parallele alle rette M O,
M R che si tracceranno dal punto M sulla retta cercata.
46Ciò che è da dimostrare è:
M R : (M I + M O) = ED : EV.
4.4. ANALISI DELLE PROPOSIZIONI 59
e quindi:
EF : (IM − EH) = DE : EV. Invertendo, si ha:
(IM − EH) : EF = EV : ED, dove il rapporto EV : ED è dato.
Tuttavia, dalla costruzione, se prendiamo i segmenti EH, EF , M I, vale:
EV : EH = EK : EM ;
e anche:
KZ : M I = EK : EM ; e anche, poiché KG è parallelo a BA:
GE : EF = EK : EM.
Dunque i tre segmenti V E, KZ, EG sono in rapporto con i tre EH, M I, EF48: allora:
(EV − KZ) : EG = (M I − EH) : EF.
Ma abbiamo dimostrato che la differenza tra M I ed EH ha con EF rapporto dato EV : ED: allora la differenza tra EV e KZ avrà con EG rapporto dato EV : ED e, permutando:
(EV − KZ) : EV = EG : ED,
e componendo:
KZ : EV = GD : ED.
Ma, poiché KG e BA sono parallele, KL = GD, allora permutando sarà:
KZ : EV = KL : ED,
che era già stato ottenuto dalla costruzione.
48Cioé
EV : EK = KZ : M I = GE : EF, da cui:
EV : KZ = EH : M I −→ (EV − KZ) : KZ = (EH − M I) : M I e infine:
60 CAPITOLO 4. FERMAT E I LUOGHI PIANI
Quindi l’analisi di Fermat ha condotto a uno dei dati iniziali. Fermat non dà alcun cenno della sintesi che è tuttavia facile da ricavare, percorrendo in senso inverso i passi dell’analisi, dal dato iniziale alla supposizione dell’analisi. A conclusione della dimostrazione, Fermat ci indica il modo per procedere alla dimostrazione per un numero qualsiasi di punti.
Constat itaque veritas pulcherrimae propositionis, nes est diffi- cilis aut absimilis ad ulteriores casus et quotlibet lineas porrigenda constructio et demonstratio. Semper enim, beneficio constructio- nis in duabus lineis, espedietur problema in tribus lineis: beneficio constructionis in tribus lineis, expedietur problema in quatuor lineis: beneficio constructionis in quatuor, expedietur problema in quin- que: et simili omnino ac uniformi in infinitum methodo49. (OF.I
pag. 26)
4.4.6
Libro I, proposizione 8
Proposizione VIII. Si ab aliquo puncto ad positione datas parallelas ducantur rectae lineae in datis angulis, quae ad puncta in ipsis data abscintant rectas lineas, vel proportionem habentes, vel spatium continentes datum, vel ita ut species ab ipsis ductis, vel excessus specierum aequalis sit spatio dato, punctum continget postione datas rectas lineas50. (OF.I, pag. 27)
La traduzione di Commandino non è chiara e porta Fermat a un’errata interpretazione delle ipotesi, che rende la proposizione non vera per tutti i casi. Fermat propone dunque il teorema così emendato:
Si ab liquo puncto ad positione datas parallelas ducantur rec- tae lineae in datis angulis, quae ad puncta in ipsis data abscindant
49È chiara dunque la verità di questa bellissima proposizione, e non è difficile o diverso
estendere la costruzione e la dimostrazione a ulteriori casi e a un numero qualsiasi di rette. Infatti sarà risolto sempre il problema in tre linee, con l’aiuto della costruzione con due linee: con l’aiuto della costruzione in tre linee, sarà risolto il problema in quattro linee: