Fermat lavora alla ricostruzione delle sedici proposizioni dei Luoghi piani usando la traduzione in latino delle Collezioni fatta da Federico Commandino nel 1588. Per questo motivo quindi riportiamo la traduzione italiana di quel testo11 nell’appendice A.
L’interesse di Fermat verso una delle opere che Pappo colloca nel dominio dell’analisi si inquadra nella tradizione avviata da Viète, secondo la quale lo sviluppo dell’ars analytica deve passare attraverso il recupero e la traduzione in veste algebrica dei testi della geometria classica riguardanti l’analisi. Fer- mat intende contribuire alla restituzione delle opere perdute dell’analisi greca, unendosi al lavoro svolto da altri matematici durante i decenni precedenti:
• nel 1600 Viète pubblica l’Apollonius Gallus12, la restitutio dei Contatti
di Apollonio;
• Marino Ghetaldi13 completa l’opera pubblicando nel 1607 il Supple-
mentum Apollonii Galli (Apollonio Illirico); pubblica anche, in due momenti, una ricostruzione delle Inclinazioni di Apollonio14(Apollonio
redivivo);
• infine Willebrord Snel15 si dedica al recupero di Sezione di rapporto,
Sezione di area e Sezione determinata, stampandone i risultati nel 1607 e nel 1608 (Apollonius Batavus).
Fermat è perfettamente consapevole di continuare una tradizione; ne sono testimonianza le frasi introduttive della Restitutio a proposito dei Luoghi piani di Apollonio.
11Nei passaggi più difficili della traduzione di Commandino ci siamo aiutati con la
traduzione in inglese dal greco fatta da Jones ([10]).
12Francisci Vietae Apollonius Gallus, Seu, Exsuscitata Apollonii Pergaci peri epagon
Geometria
13Marino Ghetaldi (1568-1626), matematico dalmata, è famoso soprattutto per i suoi
studi sulla geometria.
14Apollonius redivivus seu restituta Apollonii Pergaei inclinationum geometria nel 1607,
Apollonius redivivus. Seu Restituta Apollonii Pergaei De inclinationibus geometriae liber secundusnel 1613.
15Willebrord Snel (1580-1626) è un matematico, astronomo e fisico olandese. A lui si
4.3. LA RICOSTRUZIONE DEI LUOGHI PIANI 47
Hanc scientiam, totius, ut videtur, Geometriae pulcherrimam, ab oblivione vindicamus et Apollonium de locis planis disseren- tem Apolloniis Gallis, Batavis et Ellyricis audacter opponimus, cer- tam gerentes fiduciam non alibi praeclarius quam hoc in opere, Geometriae miracula elucere16. (OF.I, pag. 3)
Secondo Mahoney, Fermat sceglie i Luoghi piani per diverse ragioni. 1. Questo testo tratta i luoghi più elementari, quelli piani (cioè rette e
cerchi).
2. La natura dei teoremi appare simile al materiale degli Elementi (Pap- po scrive che gli antichi li insegnavano come appendice al lavoro di Euclide).
3. Il trattato riceve una particolare attenzione da Pappo: mentre spesso il matematico non cita altro che un enunciato del problema generale a cui ogni trattato del campo dell’analisi era indirizzato, per i luoghi piani espone sedici proposizioni rappresentative della classe dei problemi di luogo affrontati da Apollonio.
Soprattutto, il motivo più evidente per cui Fermat sceglie i luoghi pia- ni è perché gli altri trattati apolloniaci citati nel Libro VII sono già stati recuperati da Viète, Ghetaldi, Snell.
Proprio Ghetaldi si è imbattuto in alcune proposizioni dei Luoghi piani, non riuscendo però capirci granché. Ecco quello che scrive in proposito a Cristoforo Clavio17 nell’estate del 1602.
sono alcune propositioni delle quali fa mentione il Pappo in quel suo discorso che fa innanzi il settimo libro, che io quanto più cerco d’intenderle tanto meno l’intendo. però prego V. R. a espli- carmele [...]
De locis planis
Si duae lineae a dato puncto agantur datum angulum conti- nentes, contingat autem terminus unius locum planum positione
16Proteggiamo dall’oblio questa conoscenza, la più bella, come si vede, di tutta la Geome-
tria e opponiamo audacemente Apollonio che disserta sui luoghi piani all’Apollonio Gallo, Batavo e Illirico, riponendo fiducia certa che in questa opera risplendano le meraviglie della geometria, che in nessun altro posto è più splendida che in quest’opera.
17Cristoforo Clavio (1538-1612) è un gesuita, matematico e astronomo tedesco. Diventa
il matematico più importante dei gesuiti ed è a lui che si deve l’organizzazione dell’inse- gnamento della matematica nell’ordine. Nel 1574 pubblica una versione degli Elementi di Euclide che è tra le più autorevoli dell’epoca.
48 CAPITOLO 4. FERMAT E I LUOGHI PIANI
datum, et alterius terminus locum planum positione datum contin- get18.
Vel: Si trianguli spacii magnitudine dati, basis positione et ma- gnitudine data sit, vertex ipsius rectam lineam positione datam continget19.20
Insomma, nessuno ha ancora provato a ricostruire i Luoghi piani di Apol- lonio, forse anche perché l’interpretazione del concetto di luogo piano risulta particolarmente ostica ai matematici del XVII secolo.
Anche per Fermat i Luoghi piani rappresentano una nuova sfida: le so- luzioni dei teoremi non richiedono l’individuazione di punti (cioè la determi- nazione di lunghezze e aree), come nei Contatti e nelle Sezioni di Apollonio. Nei Luoghi piani invece si richiede di individuare i loci, che sono rette e cerchi. Per questo il modo in cui applicare l’ars analytica a questi problemi non è immediatamente chiaro a Fermat. Inizialmente, quindi, segue la strada della tradizionale analisi geometrica.
L’obiettivo dei matematici della scuola di Viète è migliorare la compren- sione delle opere di Pappo, e in particolare del Libro VII. Questo obiettivo non comporta la scoperta di nuovi risultati, ma di nuove tecniche: l’algebra permette di analizzare problemi in modo più generale rispetto a quello che poteva ottenere Pappo.
È per questo motivo probabilmente che Fermat non cerca di andare oltre i risultati dei sedici teoremi citati da Pappo. La restituzione dei Luoghi piani è un vero e proprio recupero per Fermat, ma non in senso filologico: Fermat non intende arrivare a una fedele riproduzione del lavoro originale di Apollonio, ma, come matematico, cerca di scoprire le tecniche analitiche che ritiene siano state usate da Apollonio per arrivare ai risultati e da lui successivamente nascoste nella forma finale del trattato.