6.3 Le equazioni in forma canonica
6.3.1 La retta
Fermat comincia con il caso più semplice: la retta. Questa dimostrazione introduce il modello seguito anche negli altri casi.
Recta data positione sit N ZM , cujus punctum datum N ; N Z aequetur quantitati ignotae A, et ad angulum datum N ZI elevata recta ZI sit aequalis alteri quantitati ignotae E.
D in A aequetur B in E :
punctum I erit ad lineam rectam postione datam11. (OF.I pag.
92)
Osservazione 6.3.1. In questo primo teorema, Fermat usa la retta N ZM come riferimento su cui varia l’incognita A anche nei casi successivi.
Fermat rappresenta geometricamente le due incognite: N Z è la prima incognita, A, e ZI la seconda, E. In questo contesto, se vale l’equazione AD = BE, allora il luogo del punto I è una retta.
Dimostrazione - Se AD = BE vale che: B : D
| {z }
costante
= A : E.
11Sia data in posizione la retta N ZM , il cui punto N [è] dato; N Z è uguale alla quantità
ignota A e la retta ZI, eretta ad angolo dato N ZI, sia uguale alla quantità ignota E. [Se] DA = BE: il punto I sarà su una retta data in posizione.
6.3. LE EQUAZIONI IN FORMA CANONICA 107
I valori D, B sono costanti, dunque il rapporto A : E è dato. Poiché è dato anche l’angolo in Z, possiamo dedurre che il triangolo N IZ è dato in specie, cioè è completamente determinato, e così anche l’angolo I ˆN Z. Inoltre, per ipotesi sono dati il punto N e la retta N Z in posizione. Dunque possiamo concludere anche la retta N I sarà data in posizione.
Al lettore è lasciato il compito di costruire il segmento N I: posti N Z1 = B e Z1N1 = D, con Z1N1 k ZN,
si può disegnare N I1, che è la retta cercata.
Osservazione 6.3.2. La dimostrazione è un esempio di analisi riduttiva che usa i Dati di Euclide: se è dato l’angolo in Z e il rapporto tra i lati N Z e IZ, anche il triangolo IN Z è dato in specie12. Fermat non cita esplicitamente né l’opera di Euclide, né tantomeno la proposizione utilizzata e, ancora una volta, fa affidamento sulla capacità del lettore di cogliere il riferimento, senza indugiare in ulteriori dettagli.
Osservazione 6.3.3. Fermat conclude la dimostrazione con un laconico «et facilis est compositio13». La dimostrazione si limita alla sola analisi: la costruzione della retta cercata, in base ai parametri dell’equazione.
L’analisi parte dall’equazione data (la proprietà del luogo) e arriva a una costruzione nota. La sintesi dovrebbe mostrare che ogni punto I, corrispon- dente a una qualunque coppia valori di A ed E che soddisfano l’equazione, cade sulla retta N I costruita. In altre parole, bisognerebbe dimostrare che se una coppia di valori A, E si adatta al requisito, quei valori devono essere legati in modo che A : E = B : D, cioè devono condurre a un triangolo sul grafico come N ZI, simile a quello costruito nell’analisi.
Quindi la sintesi muove dalla costruzione del triangolo al rapporto dato all’inizio, B : D.
Osservazione 6.3.4. Boyer14 osserva che lo schema di Fermat è più una geometria “ordinata” che “coordinata”, dunque la costruzione di Fermat è meglio descritta dal termine uniassiale. Il riferimento su cui si costruisce la curva è dato dalla retta N ZM : su tale retta è preso il segmento N Z di lunghezza A e con uno dei due estremi, N , fissato. Dal secondo estremo, Z, di N Z si traccia un secondo segmento, ZI, di lunghezza E. L’angolo tra i
12Confronta con la proposizione XLIV dei Dati di Euclide ([? ]):
Se uno degli angoli di un triangolo è dato e se i lati a esso adiacenti hanno fra loro rapporto dato, allora il triangolo è dato in specie.
13e la sintesi è facile 14Confronta [2], pag. 76
108 CAPITOLO 6. FERMAT E L’ISAGOGE
due segmenti è fissato, ma non le rispettive lunghezze: a mano a mano che il punto Z si sposta lungo la retta N ZM , cioè varia la variabile A, il segmento ZI trasla. Anche il punto I si può muovere lungo la retta su cui giace ZI, cioè varia la variabile E. Le curve sono come disegnate dalle diverse posizioni occupate dal punto I mano a mano che le lunghezza di N Z e ZI variano. È una concezione “dinamica” del concetto di curva: la curva è disegnata da un movimento di un oggetto geometrico, ove invece nella geometria analitica moderna la curva è composta da punti che, rappresentati da coppie ordinate da numeri, soddisfano una particolare equazione che descrive la curva.
Oltre alla mancanza di un secondo asse fissato, il sistema differisce dal moderno sistema di coordinate anche perché include solo il primo quadrante del sistema moderno: le uniche vere soluzioni di un’equazione algebrica sono quelle positive.
6.3.1.1 Un altro caso di retta: riduzione in forma canonica Anche l’equazione:
Zpl. − D · A = B · E rappresenta una retta.
Osservazione 6.3.5. Il termine noto dell’equazione, Zpl, è contraddistinto dalla sigla «pl.», abbreviazione di «piano». Per la legge di omogeneità15 di
Viète, poiché gli altri termini dell’equazione sono piani (prodotto di due segmenti), anche il terzo, Z, deve essere piano. Dunque la lettera Z indica uno spazio piano, non una lunghezza.
Per ridurre l’equazione Z pl.−D·A = B·E alla forma canonica precedente si pone:
D · R = Z pl. e si sostituisce. Allora sarà:
D · R − D · A = B · E −→ B : D = (R − A) : E.
15Nel capitolo 3 di In artem analyticen Isagoge Viète scrive «Gli omogenei devono essere
confrontati con gli omogenei». Di conseguenza, un’equazione algebrica va scritta seguendo questo principio (che ha origine nell’interpretazione geometrica delle equazioni algebriche). Per esempio, l’equazione nella forma moderna:
x3+ px = q, va scritta:
6.3. LE EQUAZIONI IN FORMA CANONICA 109
Se poniamo M N = R sulla retta N Z, il punto M sarà dato e M Z = R − A. Vale che:
M Z : IZ = (R − A) : E = B : D;
quindi il rapporto M Z : IZ è dato. L’angolo in Z è dato e dunque anche il triangolo IZM è dato «in specie». In conclusione, M I è dato in posizione e il punto I giace su una retta data in posizione.
Osservazione 6.3.6. La tecnica di riduzione applicata da Fermat non è altro che un cambio di variabile:
A0 = R − A,
che riduce l’equazione alla forma canonica:
D · A0 |{z}
=R−A
= B · E.
Idemque nullo negotio concludetur in qualibet aequalitate cujus homogenea quaedam afficientur ab A vel E16. (OF.I pag. 93)
Dopo aver analizzato il primo caso, la retta, Fermat cita il lavoro di restituzione dei Luoghi piani : grazie a questa prima uguaglianza di luoghi, si possono dimostrare la proposizione (I,7) e anche una sua forma generalizzata. Abbiamo visto questo passaggio nel paragrafo 5.2.
Fermat conclude il caso della retta alludendo alle possibilità fornite dal- l’applicazione del metodo per i luoghi a linee rette.
Infinitas omittimus, quae Apollonianis merito possent opponi17.
(OF.I pag. 93)