4.4 Analisi delle proposizioni
5.1.2 La tesi di Michael Sean Mahoney
Secondo l’interpretazione di Mahoney, la questione più bella e difficile è il teorema (II,5), per diverse ragioni.
1. Il trattamento di questo teorema costituisce il ragionamento matema- tico più complicato e sofisticato dell’intero trattato: la dimostrazione è molto lunga e articolata in più passi e si fa uso di diversi lemmi dimostrati ad hoc.
2. Nella lettera a Roberval del febbraio 1637, Fermat presenta con orgoglio il teorema (II,5)7.
Je trouve assez de loisir pour vous envoyer encore la con- struction du lieu plan: Si a quotcumque etc., que je tiens une des plus belles propositiones de la Géométrie, et je crois que vous serez de mon avis.
Sint data quotlibet puncta quinque verbi gratia, A, G, F, H, E (nam propositio est generalis), quaeritur circulus ad cujus circumferentiam in quolibet puncto inflectendo rectas a datis punctis, quadrata omnium sint aequalia spatio dato8.
7Confronta Lettera XIX, febbraio 1637, paragrafo 1 (OF.II, pag. 100).
8Ho trovato il tempo necessario per inviarvi ancora la costruzione di un luogo piano:
Si a quotcumque etc., che ritengo una delle più belle proposizioni della Geometria, e credo che sarete del mio stesso parere.
5.1. DUE IPOTESI A CONFRONTO 93
3. L’iniziale incapacità di applicare l’ars analytica al suo compito, avreb- be portato Fermat ad affrontare prima le proposizioni più dirette e più euclidee, cioè le proposizioni 2, 3 e 4 del Libro I. In effetti, in queste proposizioni Fermat non espone le dimostrazioni, ma rimanda diretta- mente a Euclide. Anche le prime proposizioni del Libro II sono di una difficoltà comparabile.
5.1.2.1 Commento alla proposizione (II,5)
La dimostrazione della proposizione si trova nel paragrafo 4.4.9.
Questa dimostrazione è particolarmente complessa. Nel paragrafo 4.4.9 l’abbiamo divisa in più parti; riprendiamo quella suddivisione per analizzare alcune particolarità del ragionamento usato da Fermat.
1. (paragrafo 4.4.9.1) Fermat sembra impostare dapprima un’induzione sul numero di punti dati: dopo aver risolto il caso di due punti, passa al caso di tre punti allineati.
• Presi i due punti dati A e B, dimostra che la somma dei quadrati di segmenti da un punto O su una circonferenza qualunque a due punti A, B dati sul diametro ha somma costante, che non dipende da O. Dunque, dati A ed B, basta costruire un cerchio di raggio tale che tale somma costante sia uguale allo spazio dato.
• Fermat prosegue con il caso di tre punti allineati, mostrando anche anche in questo caso la somma dei quadrati dei segmenti da un punto della circonferenza a tre punti dati sul diametro non dipende dal punto preso.
Sembra che Fermat voglia dimostrare che per ogni cerchio la somma dei quadrati dei segmenti ottenuti unendo un punto sulla circonferenza con un numero qualunque di punti sul diametro è costante: in questo modo il caso di punti dati allineati sarebbe dimostrato, salvo trovare una regola per ricavare il raggio e il centro del cerchio che renda tale costante uguale all’area data. Dopo questi due casi particolari, Fermat cambia strada.
2. (paragrafo 4.4.9.2) Torna al caso di due punti.
3. (paragrafo 4.4.9.3) Espone due lemmi «ad generalem methodum». 4. (pagina 4.4.9.4) Affronta il caso di un numero qualunque di punti
94 CAPITOLO 5. LA «QUESTIONE PIÙ BELLA E DIFFICILE»
5. (paragrafo 4.4.9.5) Affronta il caso in cui uno o due punti non siano sulla stessa retta degli altri.
6. (paragrafo 4.4.9.6) Arriva alla proposizione nella sua forma generale, cioè un numero qualunque di punti, non necessariamente allineati.
Leggendo con attenzione i passi della dimostrazione, si distinguono due parti: nella prima parte della dimostrazione di Fermat prova a seguire una strada induttiva in cui il caso di n + 1 punti si costruisce sfruttando il caso di n punti, Deve però essersi trovato di fronte a un vicolo cieco, perché dopo il caso di 2 punti e quello di 3 punti, la dimostrazione segue una strada diversa. Nella seconda parte Fermat sembra ricominciare da capo, seguendo un ra- gionamento del tutto slegato da quello precedente. Divide la proposizione in casi via via più generali, ciascuno dei quali serve per dimostrare il successivo, e in lemmi utili alle dimostrazioni.
Nella seconda parte, Fermat riprende la dimostrazione nel caso di 2 punti e afferma che il cerchio cercato ha centro nel punto medio dei due punti A ed E e il raggio BC è tale che:
1
2[Z − (AC + CE)] = BC
2.
Lo stesso risultato era già stato esposto nella prima parte della dimostrazione, ma stavolta Fermat aggiunge che la dimostrazione è già stata fatta da Pappo9:
Quod, tanquam a Pappo demonstratum et ab aliis et proclive nimis, omittemus, ne in facilibus diutius immoremur10. (OF.I, pag.
39)
Si può immaginare che ciò che c’è prima della seconda dimostrazione del caso di due punti rappresenti lo stato della proposizione nel 1630, quando Fermat invia il testo a Prades: è possibile che Fermat voglia dimostrare che, per ogni cerchio, la somma dei quadrati dei segmenti che uniscono un punto sulla circonferenza a un numero qualsiasi di punti sul diametro è costante. Aggiungendo punti e segmenti aumenta solamente la costante. Per risolvere il caso di punti allineati (in numero qualsiasi), tuttavia, deve trovare una regola per determinare il raggio e il centro del cerchio che dovrebbe rendere tale costante uguale all’area data.
9Tannery lo indica come il quarto lemma di Pappo sul terzo luogo, la proposizione 122
(confronta paragrafo A.2).
10Omettiamo la dimostrazione, poiché è troppo facile ed è già stata fatta da Pappo.
5.1. DUE IPOTESI A CONFRONTO 95
Improvvisamente, Fermat inizia un’altra strada: probabilmente ha trova- to una soluzione alternativa e aggiunge questa nuova trattazione direttamente a quello che aveva già fatto.
In questa seconda parte, a parte il primo caso di due punti, ogni lemma e ogni caso sono enunciati per un numero qualsiasi di punti. Fermat poi fornisce le rispettive dimostrazioni per un particolare numero di punti, ma poiché la dimostrazione non dipende dal particolare numero scelto, allora vale per ogni numero scelto. Questo tipo di dimostrazione ricorre in diversi passi della prova della proposizione (II,5), per esempio, nella dimostrazione dei due lemmi «ad generalem methodum». Nel primo lemma:
Si darentur quinque puncta, AD quinquies esset conferenda cum quatuor rectis, punctis datis et puncto A terminatis: denique uniformi procedentur in infinitum methodo11. (OF.I, pag. 40)
Nel secondo lemma:
Varios casus non moramur. - Si sint quinque puncta, quadrata, punctis datis et puncto N terminata, supearbunt quadrata, punctis datis et puncto D terminata, quintuplo quadrati DN : nec differt a tradito casu ulterior demonstratio.
Inde patet summam quadratorum, puncto D terminatorum, esse minimam12. (OF.I pag. 41)
La natura di questo modo di procedere è algebrica: la dimostrazione è fatta per un particolare numero n di punti, ma la prova vale a prescindere dal particolare n, quindi vale per tutti gli n.
L’evidente complessità della dimostrazione e la suddivisione in casi via via più generali mostra una riflessione profonda ed è indizio che sia il risultato di studio che Fermat avrebbe condotto nell’arco di un tempo piuttosto lungo. Probabilmente la tesi di Mahoney sulla «questione bella e difficile» è la più credibile tra le due.
11Se sono dati cinque punti, AD deve essere preso cinque volte la somma dei quattro
segmenti i cui estremi sono A e gli altri punti dati: e poi si procede allo stesso modo all’infinito. [...] Il metodo è lo stesso per qualunque quantità di punti ad infinitum; si conclude la stessa cosa comunque varino i casi.
12Non indugeremo sui vari casi. Se sono cinque punti, i quadrati [dei segmenti] dai punti
dati e che terminano nel punto N supereranno i quadrati [dei segmenti] dai punti dati e che terminano nel punto D di cinque volte il quadrato DN : e la dimostrazione non è differente dal caso riportato. Quindi appare chiaro che la somma dei quadrati, che terminano nel punto D è minima.
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