Nell’Isagoge la costruzione dei luoghi determinati dalle equazioni prese in esame si basa su proprietà note delle curve.
Per esempio, nel caso dell’equazione35 B2 − A2 = E2, Fermat costruisce
una circonferenza di raggio M N = B e centro N . Per dimostrare che è il luogo cercato, si mostra che, preso un punto I sulla circonferenza e tracciata la proiezione Z sulla retta di riferimento, il quadrato del raggio meno il quadrato del segmento dal centro della circonferenza al punto di proiezione è uguale al quadrato del segmento della proiezione, vero per il teorema di Pitagora. In una circonferenza, il raggio è costante, dunque la proprietà è vera per tutti punti sulla circonferenza.
34Paragrafo 4.4.9 35Paragrafo 6.3.5.
6.7. IL LEGAME CON LE CONICHE 123
Nel caso in cui il luogo determinato dall’equazione è una sezione conica, Fermat usa i symptômata forniti dalle Coniche di Apollonio.
La tecnica di Apollonio per determinare i symptômata diventa la base per il sistema uniassiale dell’Isagoge. I Greci esprimevano i symptômata in termini di:
• un segmento variabile ZL misurato lungo una retta fissata ZH da un punto fissato Z;
• un segmento variabile KL tracciato a un angolo arbitrario con ZL; • alcuni segmenti fissati.
Fermat riconosce che ZL e KL sono variabili sconosciute legate da un’equa- zione indeterminata e quindi algebrizza i teoremi di Apollonio, trasformando i symptomata in equazioni.
La proposizione (I,11) delle Coniche recita:
Sia ABG un triangolo assiale del cono circolare il cui vertice è A e la base il cerchio di diametro BG. Se un piano perpendicolare al piano del triangolo ABG e parallelo a uno dei sui lati, diciamo AG, taglia il cono, la curva risultante sulla superficie del cono è, per definzione, una parabola.
Sia il segmento DE l’intersezione del piano secante con la base circolare del cono e il segmento ZH l’intersezione del piano secante con il triangolo assiale. Anche se DE è perpendicolare per costruzione a BG, non lo è necessariamente a ZH, poiché il cono può essere obliquo, caso in cui solo uno degli infiniti triangoli assiali sarebbe perpendicolare alla base.
Consideriamo un piano parallelo alla base che tagli il cono: sia M N il diametro del cerchio risultante dal taglio. Nel piano di
124 CAPITOLO 6. FERMAT E L’ISAGOGE
quest’ultima sezione, sia KL parallelo a DE, che interseca ZH in L.
Dalle proprietà del cerchio è chiaro che KL2 = M L · LN. Per similitudine dei triangoli si ha:
KL2 = ZL · BG
2· ZA
AB · AG.
Mentre KL e ZL sono lunghezze variabili che dipendono dalla posizione del piano secante M N rispetto a un cono dato, il se- condo fattore del membro di destra dell’uguaglianza di sopra è fissato rispetto al cono e alla posizione del piano ZH. Quindi può essere rappresentato da una lunghezza fissata ZT
Dunque la symptoma della parabola è: KL2 = ZL · ZT. Nella forma verbale dei greci risulterebbe:
6.7. IL LEGAME CON LE CONICHE 125
per applicare un’area (KL2) a un segmento (ZT ), ZL è il lato “incognito” del rettangolo il cui altro lato è ZT e la cui area è uguale a KL2.
Fermat traduce i symptômata delle sezioni coniche nell’algebra simbolica, facendole diventare equazioni algebriche in due incognite. Nel caso dell’e- quazione A2 = DE, Fermat costruisce la parabola il cui lato retto (che nella formula precedente è il segmento ZT ) è la costante D e associando a KL l’incognita A e a ZL l’incognita E.
Capitolo 7
Conclusioni
Durante i primi anni Trenta del 1600 Pierre de Fermat è impegnato nello studio di numerosi argomenti.
• Nel 1636 conclude il recupero dei Luoghi piani, un trattato perduto del matematico greco Apollonio che riguardava teoremi di luogo su rette e circonferenze (che sono appunti i luoghi piani). Cosa sia un luogo per i Greci è non è chiaro e probabilmente è proprio la difficoltà di Fermat (e degli altri matematici che, come lui, si imbattono in trattati greci riguardanti i luoghi ) a spingerlo verso l’invenzione della sua nuova geometria.
• Nel 1637 diffonde la Ad locos planos et solidos isagoge, un’opera breve ma di fondamentale importanza, che contiene l’enunciato che pone le basi per una nuova geometria, la geometria analitica. È Fermat stes- so a fornire la fonte da cui nasce il trattato: in più occasioni lega la ricostruzione dei Luoghi piani a questa opera, che, in effetti, è molto vicina temporalmente alla ricostruzione.
• Intorno alla metà degli anni Trenta elabora ed espone un metodo per la determinazione di massimi e minimi, da cui sviluppa un metodo per la determinazione delle tangenti alle curve.
• Sempre nello stesso periodo inizia lo studio di Diofanto, che lo porterà a occuparsi di teoria dei numeri e a enunciare il celebre Ultimo teorema di Fermat.
È possibile che l’intrecciarsi di questi argomenti abbia influito sulle sco- perte fatte da Fermat in quegli anni. Il metodo dei massimi e minimi e so- prattutto la sua applicazione allo studio delle tangenti delle curve è fondato sulle idee dell’Isagoge, in cui sono studiate le sezioni coniche. Dall’altra parte
128 CAPITOLO 7. CONCLUSIONI
lo studio delle equazioni diofantee implica l’uso di equazioni indeterminate in due incognite, le stesse trattate nell’Isagoge.
7.1
La ricostruzione dei Luoghi piani e l’in-
venzione di una nuova geometria
La ricostruzione dei Luoghi piani di Apollonio impegna Fermat dal 1629, per alcuni anni: in particolare la proposizione (II,5) tarda a essere dimostra- ta. Quando finalmente Fermat riesce a dimostrare questa proposizione e a concludere la ricostruzione dell’opera è il 1636.
L’anno dopo, nel 1637, Fermat invia a padre Mersenne il suo trattato Ad locos planos et solidos isagoge, in cui mostra che i luoghi piani (retta, circonferenza) e solidi (parabola, iperbole, ellisse) sono la rappresentazione grafica di particolari equazioni algebriche: le equazioni di secondo grado in due incognite.
Già la vicinanza temporale delle due opere suggerisce un collegamento tra esse. Un altro indizio è la presenza della parola luogo nei titoli di entrambe. La ricostruzione dei Luoghi piani è un ponte verso l’Isagoge: studiando i luoghi del trattato di Apollonio, Fermat si scontra con il concetto di luogo, di cui è difficile dare un’interpretazione, e riesce a venire a capo delle difficoltà usando una tecnica dimostrativa costruita ad hoc.
Che ci sia un legame tra la ricostruzione dei Luoghi piani e l’Isagoge è indubbio: è Fermat stesso a scriverlo, in diverse occasioni.
Nella lettera del 12 settembre 1636 a Roberval1 Fermat sostiene sostiene
che l’«utilizzo principale del suo metodo è per trovare i luoghi piani e solidi»: il nuovo metodo sarebbe servito a «trovare quel luogo piano che avevo in precedenza trovato molto difficile, vale a dire la proposizione (II,5), di cui Fermat cita di seguito l’enunciato.
Anche nell’Isagoge stessa Fermat cita più volte i Luoghi piani . L’in- troduzione chiarisce da subito qual è la fonte di ispirazione del trattato di Fermat: le opere greche sui luoghi. Lo studio degli Antichi non ha soddisfat- to il matematico: i teoremi mancano della completa che Fermat si aspettava. Nell’Isagoge Fermat promette di scandagliare tutto ciò che è rimasto di oscu- ro sui luoghi piani e solidi di Apollonio e di arrivare a una «via generale per i luoghi». E infatti dopo la dimostrazione del luogo della retta Fermat cita la proposizione (I,7) dei Luoghi piani : grazie a quella equazione si possono tro- vare «tutit i luoghi di linee rette», tra cui proprio la (I,7) e un’altra «bellissima
7.1. I LUOGHI PIANI E UNA NUOVA GEOMETRIA 129
proposizione» di cui la (I,7) è conseguenza2. Allo stesso modo, l’equazione
della circonferenza permette di risolvere tutte le proposizioni del Libro 2 dei Luoghi piani.
Dai passi citati finora appare dunque chiaro che la sua ricostruzione dei Luoghi piani e l’Isagoge si parlano. Ma è stato lo studio Luoghi piani di Apollonio a ispirare a Fermat l’invenzione del principio della nuova geometria e la stesura dell’Isagoge o è stata l’intuizione della possibilità di rappresentare le curve tramite equazioni algebriche a dare a Fermat l’ultima spinta per concludere la ricostruzione del trattato apolloniaco?
Nella tesi abbiamo analizzato passaggi significativi di entrambe le opere, cercando indizi del processo mentale seguito da Fermat. Abbiamo seguito le ipotesi di due storici della matematica che, prima di noi, sono andati alla ricerca di tali tracce, Paul Tannery e Michael Sean Mahoney.
Paul Tannery sostiene che sia la proposizione (I,7)3 la chiave della svolta
nel ragionamento di Fermat. La sua tesi si basa su una lettera di Fermat del 1637 in cui sembra che il matematico affermi che il secondo libro dei Luoghi piani è stato composto prima del primo.
Inoltre nell’Isagoge, alla fine della dimostrazione del primo luogo, Fermat cita la proposizione (I,7) come primo esempio di luogo risolto con una delle nuove uguaglianze.
Tuttavia nella dimostrazione della proposizione (I,7) non emergono tec- niche algebriche, ma solo l’applicazione di tecniche geometriche legate a proprietà di rette parallele e a teoria delle proporzioni.
Michael Sean Mahoney individua nella proposizione (II,5) il passaggio a un nuovo approccio geometrico. Le ragioni della sua tesi sono diverse: la complessità del ragionamento dimostrativo, che non ha uguali nella ricostru- zione dei Luoghi piani, il fatto che Fermat citi con evidente orgoglio questa proposizione in una lettera a Roberval del 1637. Inoltre, abbiamo visto che nella dimostrazione emergono elementi di ars analytica che fanno pensare a un cambiamento di prospettiva nell’approccio di Fermat. Infine, nel trattare il caso di uno o due punti non allineati, si vede come uno dei punti allineati e la retta su cui giace funzionino da riferimento per gli altri punti, una strut- tura che fa intravedere l’approccio dell’Isagoge di riportare il problema a un riferimento assiale.
2Confronta paragrafo 5.2. 3Paragrafo 4.4.5.
130 CAPITOLO 7. CONCLUSIONI
Anche se non ci sono evidenze esplicite di quando avvenga in Fermat l’intuizione di legare equazioni in due incognite a curve piane, né di quali siano gli elementi che gli hanno fornito ispirazione per questo passaggio, tuttavia ci sono ragionevoli motivi per ritenere che la ricostruzione dei Luoghi piani di Apollonio abbia giocato un ruolo di non poco conto nella nascita dell’Isagoge.