Nell’introduzione all’Isagoge Fermat fa un esplicito riferimento agli Antichi e in particolare ai Luoghi piani di Apollonio. Secondo il matematico di Tolosa gli Antichi hanno scritto molte cose sui luoghi, ma devono aver incontrato alcune difficoltà nello studio di questi oggetti: infatti i loro risultati sono enunciati non sufficientemente generali. Lo scopo di Fermat è mostrare che si può arrivare a trovare un metodo generale per affrontare i problemi di luogo. Ma cosa è un luogo?
Il luogo dei greci è un concetto sfuggente che sicuramente non corrisponde al significato moderno. Secondo il matematico greco Proclo, un luogo è «una posizione di una linea o di una superficie che effettua un’unica e medesima proprietà». Un definizione non proprio illuminante.
Quando i matematici del XVII secolo iniziano lo studio dei luoghi, si trovano dunque di fronte a un problema di interpretazione. È proprio da questa difficoltà e dalla necessità di definire un oggetto di cui non era chiara l’identità che parte la ricerca di Fermat (e quella di Descartes) sul Libro VII di Pappo. Da questa ricerca e dalla soluzione dei problemi contenuti nel Libro VII nasce la nuova concezione di luogo, possibile grazie alla rappresentazione algebrica delle curve.
Nella ricostruzione dei Luoghi piani nelle dimostrazioni di Fermat di volta in volta si dimostra che, posti alcuni oggetti «dati», un punto tocca un luogo piano, che può essere una retta o una circonferenza. Cambiando il punto di vista, in ogni teorema si costruisce una retta o una circonferenza i cui punti soddisfano le condizioni date dagli oggetti «dati». Riconosciamo l’idea moderna di luogo geometrico: l’insieme di tutti e soli i punti che soddisfano una certa proprietà. Ci stiamo avviando verso una nuova concezione di luogo.
Nell’Isagoge il concetto di luogo arriva a una definizione precisa. Dice Fermat:
7.2. UN NUOVO CONCETTO DI LUOGO 131
Quoties in ultima aequalitate duae quantitates ignotae repe- riuntur, fit locus loco4 et terminus alterius ex illis describit lineam
rectam aut curvam. Linea recta unica et simplex est, curvae in- finitae: circulus, parabole, hyperbole, ellipsis, etc.5. (OF.I pag.
91)
Abbiamo visto come Mahoney interpreti l’espressione «fit locus loco». Questa è la sua traduzione del brano:
Whenever two unknown quantities are founf in final equality, the- re results a locus [fixed] in place, and the endpoint of one of these [unknown quantities] describes a straight line or a curve6.
Non si può non essere d’accordo con Mahoney quando asserisce che Fer- mat stia dicendo che la «final equality» determini un luogo, ma ci sembra invece che si tratti di una interpretazione eccessiva il sostenere che tale determinazione derivi dall’espressione «fit locus loco». Secondo Mahoney
By the use of ablative loco he means to say that the locus which results is fixed7 in place by the final equality to which it corre- sponds8.
Mahoney ha senz’altro ragione nel criticare le traduzioni precedenti che ignoravano il termine loco. Tuttavia l’espressione «fit locus loco» ci sembra debba avere un altro significato da quello che lui propone e che tutto il passo possa essere piuttosto tradotto in questo modo:
Tutte quante le volte nell’equazione ultima risultano due quan- tità ignote, si faccia luogo al luogo e il termine della seconda descrive a partire da esse una linea retta o curva9. (OF.I, pag. 91)
In altre parole loco deve essere preso come un dativo e Fermat starebbe facendo una sorta di gioco di parole asserendo che questi famosi luoghi di
4Il grassetto è nostro.
5Ogni volta che due quantità ignote si trovano in un’equazione finale, «fit locus loco»
e l’estremo di una di queste [quantità ignote] descrive una linea retta o una curva. La retta è semplice e unica, le [altre] curve [sono] infinite: cerchio, parabola, iperbole, ellisse, etc.
6Confronta [12], pag. 78. 7Corsivo nostro.
8Confronta [12], pag. 78.
9Ringraziamo il prof. Paolo d’Alessandro del Dipartimento di Studi Umanistici,
132 CAPITOLO 7. CONCLUSIONI
cui tanto parla Pappo nel VII libro si possono esprimere tutti attraverso un’equazione una volta che la proprietà che viene proposta sia tradotta in una relazione algebrica e tale relazione, attraverso le regole dell’ars analytica sia ridotta a un’equazione in cui siano eliminati i termini simili (l’«ultima aequalitate»).
In questo passo, dunque, ci sembra si possa vedere l’orgoglio di Fermat che ha finalmente compreso come tutti i vari τὸποι di Pappo possano essere tutti sottoposti
propriae et peculiari analysi [. . . ] ut deinceps generalis ad locos via patet. (OF.I, pag. 91)
Dall’indagine di Fermat sui Luoghi piani di Apollonio quindi nascono due importanti innovazioni. Da una parte l’idea di legare le equazioni in due incognite alle curve del piano, secondo un sistema di riferimento fatto da rette inclinate secondo un angolo fissato. Dall’altra il concetto che un’equazione, rappresentando una curva nel piano, generi un luogo, cioè un insieme di punti con una data proprietà rispetto alle rette del riferimento.
Il lavoro di Fermat avrà un eco minore a causa delle note vicende dei suoi scritti. L’importanza delle sue scoperte sono oscurata dalla sua reticenza a pubblicare gli scritti, che cadranno presto nell’oblio. Sarà l’impostazione di Descartes a prendere piede e a creare quella che è la matematica moderna, le cui basi sono poste in quegli anni del secolo XVII. Non per questo, tutta- via, le scoperte di Fermat sono di minore rilievo: lo studio del pensiero del matematico francese è di grande importanza per la ricerca sulle origini della matematica moderna.
Appendice A
I testi: Luoghi piani, Libro VII
della Collezione
Riportiamo qui la traduzione in italiano dei Luoghi piani nella traduzione della Collezione fatta da Commandino1.
A.1
Epitome dei Luoghi piani
Dei luoghi in generale, alcuni sono fissati, come anche Apollonio dice nella prefazione ai suoi Elementi : il luogo di un punto essendo un punto, una linea il luogo di una linea, una superficie di una superficie, un solido di un solido; altri sono path loci : come una linea di un punto, una superficie di una linea, un solido di una superficie; altri sono domain loci : come una superficie di un punto, un solido di una linea.
Tra i loci nel Dominio dell’Analisi, quelli delle cose date in posizione sono fissati, mentre quelli cosiddetti luoghi "piani", "solidi" e "curvilinei" sono path loci di punti, e i luoghi su superifici sono domain loci i punti, ma path loci di linee.
Comunque i (luoghi) curvilinei sono dimostrati sulla base dei (luoghi) su superfici.
I luoghi di cui stiamo insegnando, e generalmente tutti quelli che sono linee rette o cerchi, sono chiamati "plani"; tutti quelli che sono sezioni di coni, parabole o ellissi o iperboli sono chiamati "solidi"; e tutti quei luoghi sono chiamati "curvilinei" che non sono né linee rette, né cerchi né alcuna delle coniche menzionate sopra.
1Confronta [6].