A I testi: Luoghi piani
A.2 Lemmi ai Luoghi piani
Plane Loci, (Libri) 1, 2.
Per il primo luogo2 del secondo libro.
Teorema CVIII - proposizione 119. Sia il triangolo ABC e si disegni la linea retta AD e, come BD sta a DC, così il quadrato di AB stia al quadrato AC. Dico che il rettangolo contenuto da BD e DC è uguale al quadrato su AD.
Dimostrazione - Si conduca dal punto C la parallela ad AB, CE. Allora come BD sta a DC, allora AB sta a CE e così il quadrato AB sta al rettangolo contenuto da AB per CE.
Inoltre come BD sta a CD, così il quadrato su BA sta al quadrato su AC. Quindi il rettangolo contenuto da AB e CE è uguale al quadrato su AC. Allora i lati intorno agli angoli alternati sono in proporzione3, quindi
l’angolo C ˆAD è uguale all’angolo ˆB4, allora il rettangolo contenuto da BD
per CD è uguale al quadrato AD5. Questo inoltre appare chiaro. Per il secondo luogo6.
Teorema CIX - proposizione 120. Sia il triangolo ABC e sia AD perpendicolare [a CB]. Dico che l’eccesso dei quadrati su BA, AC è uguale all’eccesso dei quadrati su AD, DC, e se BC è diviso in due parti uguali
2In realtà, questo lemma è per la dimostrazione della proposizione 2 del LIbro II (para-
grafo 4.4.8) da cui si può dedurre che in realtà la prima proposizione del trattato originale dei Luoghi piani fosse la seconda del Libro II tramandata da Pappo (confronta con [10] , pag. 544).
3Cioè AB : AC = AC : CE, dove AB, AC sono i lati dell’angolo B ˆAC e AC, CE sono
i lati dell’angolo A ˆCE. Gli angoli B ˆAC e A ˆCE sono alterni interni delle parallele AB e CE.
4Per il primo criterio di similitudine, infatti, gli angoli ABC e ACE sono simili. 5A ˆCE = C ˆAB, D ˆCE = A ˆBC = D ˆAC, quindi:
D ˆCA = D ˆCE + E ˆCA = D ˆAC + C ˆAB = B ˆAD. Quindi i triangoli ABD e CAD sono simili.
A.2. LEMMI AI LUOGHI PIANI 137
nel punto E, l’eccesso dei quadrati su BA, AC sarà uguale a due volte il rettangolo contenuto da BC per ED.
Dimostrazione - Allora l’eccesso dei quadrati su BA e AC è uguale all’accesso dei quadrati su AD e DC, come appare evidente. Infatti senza dubbio il quadrato su AB è uguale ai quadrati su BD e DA e certamente il quadrato su AC è uguale ai quadrati su AD, DC. Quindi il quadrato su AB eccede il quadrato su AC della stessa quantità con cui i quadrati su AD e DB eccedono sui quadrati su AD e DC e si sottrae il quadrato su AD in comune, quindi rimane la quantità con cui il quadrato su BD eccede il quadrato su DC, che è lo stessa con cui il quadrato su AB eccede il quadrato su AC7.
Ma l’ecceddo dei quadrati su BD e DC è uguale a due volte il rettangolo contenuto da BC ed ED. Quindi anche [l’eccesso] dei quadrati su AB, AC. Ma che l’eccesso dei quadrati su BD e DC è uguale a due volte il rettangolo contenuto da BC, ED si dimostra anche in questo modo.
Infatti BE è uguale a EC, allora BD sarà uguale a entrambi CE e ED8e il quadrato su BD è uguale al quadrato su entrambi CE, ED. Ma il quadrato su entrambi CE, ED eccede il quadrato di CD di quattro volte il rettangolo contenuto da CE per ED9, che è due volte il rettangolo contenuto da BC per DE10. Allora l’eccesso dei quadrati su BD, DC è uguale a due volte il
rettangolo contenuto da BC per DE.
Per lo stesso luogo11 se il rapporto non è di uguale a uguale.
Teorema CX - proposizione 121. Sia il triangolo ABC e sia il qua- drato su BA maggioredel quadrato su AC in rapporto di una quantità E
7Cioè AB2+ AC2= (AD2+ BC2) − (AD2+ CD2) = BC2− CD2. 8Infatti BD = BE + ED = EC + ED.
9CD = EC −ED, quindi si ha BD2−CD2= (EC +ED)2−(EC −ED)2= 4·EC ·ED. 10Infatti, poiché EC = BE, si ha 4 · EC · ED = 2 · EC · ED + 2 · BE · ED = 2 · BC · ED. 11Questo lemma, insieme alle successive proposizioni 123 e 124 di Pappo, è per la
138 APPENDICE A. I TESTI: LUOGHI PIANI
data e questo rapporto è BD a DC. Dico che il rettangolo DB per BC è più grande dello spazio E.
Dimostrazione - Sia infatti sottratto lo spazio dato, che sia [uguale al rettangolo] AB per BG: è evidente allora che il rettangolo restante BA per AG sta al quadrato su AC nel rapporto dato, dunque nello stesso rapporto di BD a DC. Sia posto il rettanfolo BA per AG uguale al rettangoloF A per AC. A sua volta il rettanfolo restante F A per AC sta al quadrato su AC, cioè le retta F A ad AC sono nello stesso rapporto di BD a DC. Quindi AD è parallela alla retta BF12; allora l’angolo in F è uguale all’angolo C ˆAD.
Ma l’angolo in F è uguale all’angolo A ˆGC, perché l’angolo A ˆGC è uguale all’angolo C ˆAD13. E l’angolo A ˆDH è maggiore dell’angolo C ˆAD. Allora l’angolo A ˆDH è maggiore dell’angolo A ˆGC, quindi il rettangolo DB per BC è maggiore del rettangolo AB per BG dello spazio dato14.
Per il terzo luogo.
12Infatti F A : AC = BD : CD −→ (F C + CA) : AC = (BC + CD) : CD,
e separando: F C : CA = BC : CD, cioè i triangoli BCF e ACD sono simili e hanno C ˆAD = C ˆF B.
13Poiché BA · AG = F A · AC, i punti G, B, F , C sono su una circonferenza.
Poiché il quadrilatero GBF C è su una circonferenza, si ha C ˆGB + C ˆF B = 180◦. Poiché gli angoli A ˆGC e C ˆGB sono supplementari, si ha A ˆGC = C ˆF B = C ˆAD.
14Si costruisca il segmento GK in modo che A ˆGK = A ˆDH. Poiché A ˆGK + A ˆCK =
A ˆDH + A ˆCK = 180◦, il quadrilatero AGKC è inscritto in una circonferenza e AB · BG =
DB · BK.
A.2. LEMMI AI LUOGHI PIANI 139
Teorema CXI - proposizione 122. Sia il triangolo ABC e si conduca una retta AD che divida la retta BC a metà. Dico che i quadrati su BA, AC sono il doppio dei quadrati s4 AD, DC.
Dimostrazione - Sia disegnata la perpendicolare AE. I quadrati su BE, EC sono il doppio dei quadrati su BD, DE15. Inoltre due volte il
quadrato su AE con due volte il quadrato DE è uguale al doppio del quadrato su AD16e i quadrati su BE, EC con due volte il quadrato su AE sono uguali
ai quadrati su BA, AC17. Allora i quadrati su BA, AC sono due volte i
quadrati su AD, DB, cioè due volte i qadrati su AD, DC.
Teorema CXII - proposizione 123 Sia [dato] un rapporto AB a BC e lo spazio contenuto da CA, AD e sia preso BE medio proporzionale di DB, BC, è da dimostrare che il quadrato su AE è maggiore del quadrato su EC del rettangolo CA per AD, in proporzione con AB a BC18.
Dimostrazione - Sia fatto come AB sta a BC, così F E sta a CE. Dividendo, AC sta a CB come F C sta a CE19. E quindi l’intera AF sta
15Infatti:
BE2+EC2= (BD+DE)2+(DC −ED)2= BD2+·BD·DE +DC2−2·DC ·ED+2·ED2.
Poiché BD = DC, si ha BE2+ EC2= 2 · BD2+ 2 · ED2.
16Infatti: 2 · AE2+ 2 · DE2= AD2.
17Infatti: 2 · AE2+ BE2+ EC2= AE2+ BE2+ AE2+ EC2= AB2+ AC2. 18Cioè (AE2− CA · AD) : EC2= AB : BC.
19Infatti AB = AC + CB e F E = F C + CE, quindi:
140 APPENDICE A. I TESTI: LUOGHI PIANI
all’intera BE come AC sta a BC20 e permutando come F A sta ad AC, così BE sta a BC; inoltre come BE sta a BC, così DE sta a EC, poiché BE è medio proporzionale21. Allora F A sta ad AC come DE sta a EC, e lo spazio
è uguale allo spazio, quindi il rettangolo contenuto da AF per EC è uguale al rettangolo contenuto da AC per DE.
Ma la quantità con cui il rettangolo AF per EC supera il rettangolo AE per EC è uguale al rettangolo EF per EC22. E la quantità con cui il rettangolo su AF , EC supere il rettangolo AE per EC è la stessa quantità con cui il rettangolo AF per CE supera il rettangolo AE per CE. Quindi il rettangolo contenuto da AC per DE è più grande del rettangolo contenuto da AE, EC del rettangolo contenuto da EF , EC.
Ma la quantità con cui il rettangolo contenuto da AC, DE supera il rettan- golo contenuto da AE, EC è uguale alla quantità con cui il quadrato su AE supera il rettangolo contenuto da DA; AC.
Quindi il quadrato su AE è più grande del quadrato contenuto da CA, AD del rettangolo contenuto da F E, EC. Ma il rettangolo contenuto da F E, EC con il quadrato su EC rapporto uguale al rapporto di AB con BC23.
Allora il quadrato su AE è maggiore del quadrato su EC del rettangolo CA per AD, in proporzione con AB a BC24.
Teorema CXIII - proposizione 124. Sia [dato] un rapporto AB a BC e uno spazio contenuto da CA, AD . e sia preso BE medio proporzionale di DB, BC. Dico che il quadrato su AE è maggiore del quadrato su EC del rettangolo CA per AD in proporzione con AB a BC25.
Dimostrazione - Infatti come AB sta a BC così sia F E a BE, allora dividendo e mettendo in rapporto i restanti si ha che come F A sta a BE, così AC sta a CB. Permutando si ha che come F A sta ad AC, così EB
20Infatti:
AC : F C = CB : CE −→ (AC + F C) : F C = (CB + CE) : CE −→ AF : F C = EB : CE −→ AF : BE = F C : CE = AC : CB.
21Infatti: DB : BE = BE : BC −→ (DE + EB) : BE = (EC + BC) : BC,
quindi:
DE : BE = EC : BC −→ ED : EC = BE : BC.
22Infatti AF · CE = (AE + EF ) · CE.
23Infatti AE2− DA · AC = F E · EC e inoltre F E · EC : EC2= F E : EC = AB : BC. 24In conclusione (AE2− CA · AD) : CE2= F E · EC : EC2= AB : BC, che è la tesi. 25Cioè (AE2− AC · AD) : EC2= AB : BC.
A.2. LEMMI AI LUOGHI PIANI 141
sta a BC. Quindi, come EB sta a BC, così DE sta a EC. Dunque come F A sta ad AC, così DE sta a EC. E allora lo spazio è uguale allo spazio. Allora lo spazio contenuto da F A per CE è uguale allo spazio contenuto dal rettangolo AC per DE. Si sommi il rettangolo AE per EC al rettangolo CA per AD, allora è evidente che il quadrato su AE è uguale all’intero rettangolo F E per EC insieme al rettangolo CA per AD26. Allora il quadrato su AE è
maggiore del quadrato su EC del rettangolo AC per AD, cioè del rettangolo F E per EC27. Infatti il rettangolo F E per EC ha questo rapporto con il
quadrato su EC28.
Teorema CXIV - proposizione 125. [Data] una retta AB e due punti C, D. Dico che se il quadrato su AD è sommato a ciò che ha con il quadrato su DB la stessa proporzione di AC a CB, allora risulta che il quadrato au AC e ciò che ha con il quadrato su CB la stessa proporzione di AC a CB, e che inoltre ha con il quadrato su CD la stessa proporzione di AB a BC.
Dimostrazione - Infatti sia AC a CB come F D a DB, quindi compo- nendo (e sarà ciò che resta a ciò che resta), AF a CD [come AB sta a BC], cioè il rettangolo contenuto da AF per CD sta al quadrato su CD come AB sta a BC. Allora il rettangolo contenuto da F D per DB sta al quadrato su DB con la stessa proporzione di AC con CB.
E ciò che ha rapporto con il quadrato su CB come tra AC e CB è il rettan- golo AC per CB. Ma cioè che ha con il quadrato su CD rapporto come tra AB e BC è il rettangolo contenuto da AF per CD.
Dunque dico che il quadrato su AD con il rettangolo F D per DB è uguale al rettangolo BA per AC con il rettangolo AF per CD. Sottraiamo a entrambi il rettangolo CA per AD. Dico che ciò che rimane, il rettangolo AD per CD con il rettangolo F D per DB è uguale al rettangolo AC per DB con il rettangolo AF per CD. Inoltre se si sottrae a entrambi il rettangolo AF per CD, dico che il rettangolo F D per DC con il rettangolo F D per DB, che
26Infatti AE · EC + CA · AD = AE · EC + F A · EC = (AE + F A) · EC
27Infatti F E · EC + AC · AD = (F A + AE) · EC + AC · AD. Poiché F A · CE = DE · AC,
allora: DE · AC + AE · EC + AC · AD = AC · (DE + AD) + AE · EC = AC · AE + AE · EC = AE2. Dunque AE2− CA · AD = F C · CE. 28Infatti (F E · CE) : CE2= F E : CE = AB : BC. In conclusione AE2− CA · AD = CE2·AB BC, che è la tesi.
142 APPENDICE A. I TESTI: LUOGHI PIANI
è il rettangolo F D per CB, è uguale al rettangolo AC per BD. Infatti le quattro retta AC, CB, F D, DB sono in proporzione.
Teorema CXV - proposizione 126. [Data] una retta AB e nella stessa retta AB il punto C qualsiasi. Dico che il quadrato su AC insieme a ciò che ha con il quadrato su CB rapporto dato è uguale a un dato e ciò che ha rapporto dato con la retta individuata da un punto dato e C.
Dimostrazione - Infatti sia AD a DB uguale al rapporto dato, quindi il rapporto AD a DB è dato e anche il punto D è dato. E poiché la retta AB è data e i due punti C e D sono su essa, il quadrato su AC più ciò che ha con il quadrato su CB lo stesso rapporto di AD con BD è uguale al quadrato su AD più ciò che ha con il quadrato su DB lo stesso rapporto di AD a DB, inoltre con ciò che ha con il quadrato su DC lo stesso rapporto di AB a BD. Allora il quadrato su AC più ciò che ha con il quadrato CB lo stesso rapporto di AD a DB, che è dato, è uguale al quadrato su AD e ciò che ha con il quadrato su DB lo stesso rapporto di AD a DB, cioè uguale al rettangolo BA per AD che, come è evidente, è dato, e uguale a ciò che ha con il quadrato DC lo stesso rapporto di AB a BD, senza dubbio dato.
Analogamente, se il punto dato C è fuori dalla retta AB, impiegheremo la stessa dimostrazione.
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