La luce come un’onda: la risoluzione

Per la discussione che segue non `e pi`u sufficiente impiegare l’approssimazione a rag- gi impiegata finora. Quando infatti bisogna indagare propriet`a quali, ad esempio, la risoluzione di un microscopio, o gli effetti di una fenditura, bisogna necessaria- mente considerare la natura ondulatoria del campo elettromagnetico. Per questa trattazione consideriamo inizialmente un’onda piana monocromatica, un’onda cio`e in cui il campo ha un’esatta e definita lunghezza d’onda e frequenza, che `e soluzione dell’equazione d’onda ottenuta considerando la sorgente a distanza infinita rispetto al punto in cui si osserva, in questa rappresentazione supponiamo di esprimere il campo come:

~

A(~r, t) = ~A0sin[~k · ~r − ωt + φ] (2.8)

Dove il termine ~A0 , che rappresenta l’ampiezza dell’onda, `e in generale un vettore

orientato in una direzione normale alla direzione di propagazione dell’onda.

Per i nostri scopi, si vuole indagare cosa avviene quando un’onda avente forma del- l’eq 2.8 investe un’apertura, avente dimensioni pi`u o meno rilevanti (come potrebbe essere la pupilla di un obbiettivo, o un’apertura circolare detta anche pin hole). Il problema fu affrontato e risolto da Huygens, e il proposito da cui egli part`ı fu quel- lo di riuscire ad isolare un singolo raggio luminoso. Per farlo tent`o di collimare il pi`u possibile della luce prodotta da una lampada e la invi`o su una fenditura raccogliendo l’immagine ottenuta su uno schermo opaco. Quanto scopr`ı fu ci`o che comunemente chiamiamo come principio di Huygens, cio`e il principio che si pu`o ritenere alla base delle leggi della diffrazione.

Il principio di Huygens stabilisce che, quando un’onda piana incide su un’apertura, la luce emerge come onde sferiche propaganti e il fronte d’onda `e l’inviluppo di queste onde, e ci`o che in ottica geometrica viene chiamato “raggio” pu`o essere interpretato come la direzione di propagazione di questi fronti d’onda.

Anticipando quanto sar`a discusso nel seguito, quando l’apertura ha dimensioni pic- cole rispetto alla lunghezza d’onda i raggi che ne emergono sono contenuti in un cono con un ampio semiangolo. La capacit`a di un componente ottico, come una lente, di raccogliere raggi sparpagliati rispetto alla direzione parassiale si indica con l’aper- tura numerica (N.A), che quindi rappresenta l’accettanza angolare del componente. La relazione tra risoluzione spaziale e apertura, fu descritta da E. Abbe [32] in un modello in cui il campione veniva considerato come un reticolo di diffrazione planare, fig.2.4. Il reticolo viene supposto immerso in un mezzo avente indice di rifrazione n, per cui la lunghezza d’onda della luce incidente `e vista dal reticolo come λ0/n.

Se il reticolo `e illuminato da un fascio omogeneo di onde piane monocromatiche, la luce trasmessa `e un set di ordini (o modi) di diffrazione che viaggiano ad angoli ben definiti rispetto alla direzione della luce incidente.

Per un reticolo composto da una serie di fenditure aventi periodo p e luce avente lunghezza d’onda λ0/n, gli ordini di diffrazione si presentano ad angoli θN tali per

cui la differenza di cammino ottico `e un multiplo intero della lunghezza d’onda, condizione che garantisce interferenza costruttiva.

Nel caso in cui l’onda piana arrivi sul reticolo con incidenza normale si ha:

32 CAPITOLO 2. LA MICROSCOPIA PER LA PTT dove Nmax viene definito dalla condizione per cui: |sinθN| ≤ 1.

Nella trattazione di Abbe, l’obbiettivo ha la funzione di catturare e direzionare gli ordini di diffrazione in modo che essi interferiscano producendo l’immagine magni- ficata.

L’eq. 2.9 indica chiaramente che gli ordini di diffrazione diventano sempre pi`u di- vergenti per reticoli aventi una spaziatura tra le fenditure pi`u fine.

Infatti:

θN = arcsin[N λ0/np] (2.10)

Il reticolo pi`u fine che potrebbe produrre un’immagine `e quello per cui solo i tre ordini centrali (N = −1, 0, 1) possono essere raccolti dall’obbiettivo, fig.2.4c.

L’idea di Abbe fu proprio quella di capire che la periodicit`a nell’immagine del reticolo era prodotta dall’interferenza tra l’ordine zero e gli ordini N = ±1.

Quando la luce incidente sul campione `e obliqua (angolo di incidenza θi) la condizione

per l’interferenza costruttiva cambia leggermente rispetto a eq. 2.9:

p(sin θN − sin θi) = N λ0/n (2.11)

Chiamando θmax l’angolo massimo per l’ingresso della luce nell’obbiettivo, si ha che

quando θi = −θmax, l’ordine zero che esce dal campione entra nell’obbiettivo a −θmax

e l’ordine 1 entra nell’obbiettivo con un angolo +θmax fig.2.4d.

In questo caso l’equazione precedente definisce la minima spaziatura (pmin) possibile

del reticolo che pu`o essere risolta:

pmin(sin θmax− sin(−θmax) = pmin(2 sin θmax) = λ0/n

ottenendo infine la formula:

pmin = λ0/(2n sin θmax) (2.12)

La quantit`a n sin θmax definisce l’apertura numerica.

Il potere risolutivo dell’obbiettivo, cio`e la minima distanza alla quale possono essere posti due oggetti affinch`e risultano distinti nell’immagine, a questo punto viene indicata come:

pmin =

λ0

2N A (2.13)

In quanto illustrato, per semplicit`a abbiamo supposto che illuminazione e obbiettivo avessero la stessa apertura numerica, nel caso non dovesse valere questa ipotesi avremmo:

pmin = λ0/(N Aobj+ N Acond)

L’equazione 2.13, in realt`a, rappresenta un limite massimo, sarebbe pi`u corretto scrivere pmin ≥ λ0/2N A, dove l’uguaglianza si ottiene nell’ipotesi in cui l’obbiettivo

minimizzi del tutto le aberrazioni, non possiede difetti, o imperfezioni di qualsiasi tipo. Questo tipo di sistemi ottici vengono chiamati anche “diffraction limited”. Per concludere `e bene citare anche un altri due criteri per il potere risolutivo che esistono in letteratura, e che conducono a risultati simili: il criterio di Rayleigh e il criterio di Sparrow. Essi sono ricavati considerando non pi`u l’immagine prodotta

2.1. PRINCIPI DEL MICROSCOPIO OTTICO 33 dalle fenditure di un reticolo, ma quella prodotta da due sorgenti puntiformi su uno schermo opaco: anche in questo caso l’immagine sar`a una figura di diffrazione, nota come pattern di Airy.

Tale figura (fig.2.5) ha l’ aspetto caratteristico delle frange di interferenza ed `e costituita da un disco centrale di massima intensit`a, ad orli sfumati (“disco di Airy”), circondato da un anello scuro, seguito da un anello chiaro e cos`ı via.

Il limite di risoluzione di Rayleigh viene raggiunto quando le due sorgenti sono separate dal raggio del primo intevallo scuro del disco di Airy, e si ottiene:

pRayleigh =

0.61λ0

N A (2.14)

Il criterio di Sparrow `e un po’ pi`u stringente e viene spesso utilizzato in astronomia: in questo caso il limite di risoluzione si raggiunge quando la luce sovrapposta di due dischi di Airy aventi la stessa luminosit`a `e costante lungo una linea che congiunge i due picchi di massima luminosit`a:

pSparrow =

0.41λ0

N A (2.15)

Si pu`o notare come, a parte una piccola differenza nel fattore numerico, la dipen- denza dalla lunghezza d’onda e dall’apertura `e identica per i tre criteri.

Anticipiamo che nell’esperimento effettuato in questo lavoro di tesi viene utilizzato un obbiettivo Nikon e-plan (M=10X, N.A.= 0.25) corretto all’infinito: per luce avente lunghezza d’onda nel verde (561nm) otteniamo un limite alla risoluzione del nostro sistema di: p = _2×0.25561 nm= 1122nm, quindi dell’ordine del µm, pienamente sufficiente per gli scopi del nostro lavoro.

34 CAPITOLO 2. LA MICROSCOPIA PER LA PTT

Figura 2.4: a) formazione di onde sferiche da aperture secondo il principio di Huy- gens (i semicerchi rappresentano fronti d’onda semisferici; b) un’onda piana incide su un reticolo di diffrazione e viene scatterata come un set di ordini di diffrazione. c) Visione schematica di illuminatore (in basso), oggetto (costituito da un reticolo di diffrazione) e obbiettivo (in alto), nel caso di illuminazione lungo l’asse. So- no rappresentati i modi diffratti -1, 0, +1 che vengono raccolti dall’obbiettivo; d) analogo nel caso di illuminazione obliqua: solo gli ordini 0 e 1 vengono accettati dall’obbiettivo.

2.1. PRINCIPI DEL MICROSCOPIO OTTICO 35

Figura 2.5: a sinistra i tre criteri per il limite di risoluzione, a destra la figura tipica del pattern di Airy