Figura 5.10: Spettro dei Crs elettronici misurato dal Fermi-Lat, per un anno di osservazioni [134]. Gli errori sistematici sono mostrati mediante la banda grigia. Le frecce riportate in alto a destra del grafico indicano la dimensione e direzione dello spostamento rigido dello spettro, come conseguenza della calibrazione nella scala delle energie, pari a +5%−10%. Per confrontato sono riportati i risulatati di precedenti esperimenti (Kobayashi et al. 1999 [112]; Heat: Du Vernois et al. 2001 [73];
Bets: Torii et al. 2001 [163]; Ams-01: Aguilar et al. 2001 [8]; Atic: Chang et
al. 2008 [53]; Ppb-bets: Torii et al. 2008 [164]; H.e.s.s.: Aharonian et al. 2008 [11]; H.e.s.s.: Aharonian et al. 2009 [12]). La linea tratteggiata in blue indica il modello diffusivo convenzionale pre-Fermi [159], discusso nel capitolo 5.
rale intepretazione dell’irripidimento dello spettro di elettroni e positroni registrato da H.e.s.s., così come la risalita nel rapporto dei positroni osservata da Pamela.
In Sezione 5.2, abbiamo infatti mostrato che per riprodurre i dati di altissima energia, sia del Fermi-Lat che di H.e.s.s., era necessario assegnare alla componente addizionale uno spettro di iniezione di e± primari con: (i) indice più duro (Γ
e± ∼
1.7) rispetto a quello indicato per la componente diffusa galattica, che usava invece un indice di iniezione Γe
inj = 2.54, ed (ii) un cutoff esponenziale ad energie dell’ordine
Ee± ≃ 1 TeV. Uno scenario del genere, nell’ipotesi che un flusso di elettroni e
positroni di egual misura fosse iniettato dalla sorgente locale extra, consentiva di interpretare con successo anche la risalita del rapporto di positroni misurato da Pamela. Tuttavia, persisteva ancora una certa inconsistenza, seppur minima, con i dati sperimentali che interessavano le basse energie (Ee± .10 GeV), divenuta però
110 Interpretazione dello spettro di elettroni
Figura 5.11: Questo modello assume la presenza di una componente extra di elet-
troni e positroni primari (simmetria di carica) con indice spettrale Γ = 1.5 e cutoff esponenziale Ecut ≃ 1.2, provenienti da una distribuzione continua di sorgenti nel
disco galattico (mostrata come linea nera continua). La componente di elettroni convenzionale ha un indice spettrale di iniezione Γeinj = 2.70 (δ = 0.33 spettro di turbolenza alla Kolmogorov) (mostrata come linea punteggiata nera). Entram- be le componenti sono consistentemente propagate con GALPROP. Le linee conti- nua sono modulate nell’approssimazione di force-field con potenziale di modulazione
Φ = 550 MV.
la prima volta, presentato pubblicamente i dati di bassa energia [134]¶.
Il nuovo spettro del Fermi-Lat, riportato in Figura 5.10, è frutto di un anno intero di osservazione, e si estende questa volta in un più ampio intervallo di energia, compreso tra i 7 GeV ed 1 TeV, presentando una risalita nella pendenza al di sotto dei ≃ 20 GeV, che ben si sovrappone con i precedenti dati di Ams-01.
Questi dati rappresentano un risultato molto importante, in quanto possono essere considerati un’ulteriore, indipendente indicazione della presenza di una sor- gente di e+e− primari, rafforzando l’idea sviluppata in Sezione 5.2, ossia riprodurre
lo spettro di Cre considerando sia il contributo galattico (Gcre), dominante al- le basse energie, che quello locale (Lcre), responsabile soprattutto della forma spettrale ad energie Ee± &100 GeV.
I nuovi flussi misurati dal Fermi-Lat alle basse energie, suggeriscono una forma spettrale più ripida per quanto riguarda l’iniezione di e− primari da parte del-
5.4 I nuovi dati del Fermi-LAT alle basse energie. 111
Figura 5.12: Lo spettro e+e− da pulsar (linee grigie in basso) più la componente
convenzionale (linea tratteggiata) è confrontata con i dati speriementali. Ogni linea grigia in alto rappresenta la somma di tutte le pulsars per una particolare combina- zione di parametri della pulsar. Le linee blue, trattaggiate (solo pulsar) e continua (pulsar + componente Gcre), corrispondono ad una scelta rappresentativa tra il set di possibili realizzazioni. La linea punto-tratteggiata (magenta) rappresenta il contributo della pulsar Monogem per quella particolare realizzazione. Nota che per motivi puramente grafici, in questo plot gli errori sistematici e statistici dei dati di Fermi-Lat sono sommati in quadratura. Nell’inserto la frazione dei positroni per gli stessi modelli è confrontata con i dati sperimentali. La modulazione solare è trattata come in Figura 5.11.
la componente convenzionale galattica, a cui dovranno sommarsi le coppie di e±
provenienti da una componente extra.
Per valutare quantitativamente una tale possibilità, abbiamo proceduto sostan- zialmente in due modi, ottenendo in entrambi i casi ottimi risultati. Dapprima abbiamo implementato nel codice GALPROP una sorgente addizionale distribuita in modo continuo come le pulsar sul piano galattico, che rilasciasse nell’Ism elettroni e positroni primari, con uno spettro di iniezione del tipo
Je± ∝Ee−Γ±e±× exp −Ee± Ecut . (5.25)
Come mostrato in Figura 5.11, un contributo galattico con indice spettrale Γe
inj =
2.70, modulato in approssimazione di force-free field con potenziale Φ = 550MV, ed una componente extra di elettroni e positroni con indice spettrale Γe± = 1.5 e
112 Interpretazione dello spettro di elettroni
cutoff esponenziale Ecut = 1.2 TeV, fornisce un eccelente fit dell’intero spettro di
Cre misurato dal Fermi-LAT, così come quelli di bassa energia di Ams-01 ed i dati di H.e.s.s. sopra il TeV. Anche la frazione dei positroni di Pamela è ben riprodatta sopra i 10 GeV. Notare che entrambi le componenti sono state consi- stentemente propagate con il codice numerico GALPROP. Inoltre abbiamo verificato che sia i dati del Fermi-Lat che di Pamela possono essere ben riprodotti con una sorgente distribuita come ci si aspetta nel caso di annichilazione di Dark Matter. Come specifica realizzazione di tale scenario, abbiamo considerato un modello in cui la componente extra di elettroni e positroni venisse prodotta da pulsar locali, osser- vate entro 3 kpc dalla Terra, selezionate dal catalogo di radio-pulsar Atnf. Usando il valore della spin-down luminosity riportato in questo catalogo, abbiamo variato in modo random i parametri rilevanti nel seguente range: 1.0 . Ecut . 1.8 TeV,
10 . fe± .40%, 5 . (∆t/104)yr . 10 e 1.5 . Γe± .2.0. I risultati sono mostrati
Capitolo 6
Discussione dei Risultati
Indice6.1 Il nostro modello e l’anisotropia dei CRE . . . 113
6.1 Confronto tra il nostro modello e l’anisotropia dei CRE
La distribuzione delle direzioni di arrivo (o anisotropia) dei Raggi Cosmici (Crs), assieme alla composizione chimica e allo spettro in energia delle diverse componen- ti, costituiscono le evidenze basilari nell’indagine dell’origine dei Crs e della loro propagazione tra le sorgenti e l’osservatore. In particolare, lo studio dell’anisotro- pia è chiaramente di grande interesse per chiarire la natura del moto di particelle relativistiche cariche, e per localizzare le loro possibili sorgenti. Data la peculiare posizione del Sistema Solare nel disco galattico, ci si aspetterebbe che una possibile anisotropia fosse presente nella direzione del centro galattico (l ≃ 0, b ≃ 0), se le sorgenti di Crs fossero oggetti astronomici distribuiti su larga scala nella Galassia. In passato, notevoli sforzi sperimentali sono stati compiuti per cercare di stabilire una possibile anisotropia nella componente nucleonica dei CRs. Ad oggi, purtroppo, non sono stati ottenuti risultati positivi in tal senso, riuscendo solo a porre un limite superiore dell’1% circa, per energie dell’ordine Ecr ∼ 1014 eV (Ambrosio et
al. 2003 [17]). L’alto grado di isotropia osservato è da mettere in relazione al fatto
che i Crs raggiungono la Terra in modo indiretto a partire dalle loro sorgenti, in quanto la loro traiettoria è continuamente deviata lungo le irregolarità del campo magnetico galattico, dando così vita ad un moto di random walk. Dato che il tempo
di fuga (ossia il tempo impiegato dai Crs per fuoriuscire dai confini galattici) dei Crs adronici è più breve del tempo caratteristico di qualsiasi altra interazione, la propagazione dei Crsnello spazio interstellare può immaginarsi come una diffusione durante la quale le particelle non conservano memoria della loro direzione di moto iniziale (e.g., si veda Ptuskin et al. 2006 [143]).
La propagazione dei Crs elettronici (Cre), tuttavia, differisce da quella rela- tiva alla componente adronica in virtù delle forti perdite radiative di energia, che limitano drasticamente il moto delle specie elettroniche. Crs leptonici carichi, seb- bene siano rapidamente isotropizzati nel campo magnetico del mezzo interstellare (Ism), se prodotti nelle vicinanze della Terra, e con energie sufficientemente elevate,
114 Discussione dei Risultati potrebbero indurre un’anisotropia dipolare, potenzialmente osservabile nel flusso di Cre nella regione dello spettro intorno al TeV (Yoshida 2008 [171]). Diversi autori in passato hanno osservato che l’emissione di elettroni e positroni da una pulsar, distante da noi poche centinaia di parsec, potrebbe dar vita ad un’anisotropia non trascurabile in direzione di quella sorgente (e.g., si consultino i lavori di Mao & Shen 1972 [119], Kobayashi et al. 2004 [112], Büshing et al. 2008 [48] e Hooper et al. 2008 [105]).
Nel modello descritto nella sottosezione 5.2.2, abbiamo individuato in Mono- gem e Geminga le due sorgenti, potenzialmente dominanti, di elettroni e positroni, le quali contribuiscono sia allo spettro totale di Crselettronici alle alte energie (100 GeV ÷ 5 TeV), come misurato dal Fermi-Lat e da H.e.s.s., che alla risalita del rapporto di positroni al di sopra dei 10 GeV osservata da Pamela. La relativamente piccola distanza angolare tra Geminga e Monogem, unita al fatto che entrambe le
pulsar si trovino in opposizione al centro galattico, potrebbe implicare, alle energie
sopra indicate, un’anisotropia nel flusso di Cre localmente osservato, attribuibile proprio a tali sorgenti. Al contrario, l’eventuale segnale di anisotropia atteso in uno scenario di Dark Matter (Dm) dovrebbe puntare in direzione del centro galattico, o al più verso addensamenti locali di Dm, improbabile nel caso in cui dovessero trovarsi nella stessa direzione di pulsar vicine. In questo paragrafo vogliamo per- tanto stimare il grado di anisotropia legata al flusso di elettroni di alta energia (Ee± ∼ TeV) provenienti da sorgenti discrete locali.
Il calcolo dell’anisotropia attesa nel flusso di elettroni e positroni, provenienti nelle direzioni di sorgenti astrofisiche locali, come ad esempio le pulsar considerate nel precedente capitolo, richiede l’uso delle notazioni e definizioni introdotte nel
Capitolo 2. Nel caso di emissione isotropica, la densità di particelle Ni (per cm3)
di tipo i con velocità v è, lo ricordiamo, uguale a
Ni = 4π ×
Ii
v, (6.1)
dove Ii è l’intensità delle particelle stesse. L’anisotropia dei Crs è solitamente
definita come
|ζ| ≡ IImax− Imin
max+ Imin
, (6.2)
dove Imaxed Iminsono rispettivamente la massima e la minima intensità in funzione
della direzione [35, 119]. In generale, la dipendenza dell’intensità dei Crs dalla direzione può essere sviluppata in serie come
I(θ, φ) =X
l,m
Al,mYlm(θ, φ), (6.3)
dove Ym
l (θ, φ) sono le funzioni armoniche sferiche. Per le nostre stime, consideria-
mo il caso in cui l’anisotropia sia unidirezionale (e.g., domina il contributo di una singola sorgente), per cui avremo tutti i termini Al,m, ad eccezione dei primi due,
identicamente nulli. In altre parole, assumiamo una dipendenza angolare del tipo
I(θ) = I0+ I1cos θ, con
I0 ≡ hI(θ)i =
1
6.1 Il nostro modello e l’anisotropia dei CRE 115
così da avere
ζ = I1/I0, (6.5)
mentre la direzione del vettore ζ coincide con la massima intensità, ovvero con la direzione θ = 0.
Come più volte sottolineato, in questo lavoro di Tesi il moto dei Crsnel mezzo galattico è stato descritto ricorrendo all’approssimazione di diffusione. Consideria- mo pertanto, nell’ambito di tale approssimazione, l’anisotropia dovuta alla distribu- zione spaziale non uniforme della densità dei Crs. Sia la dipendenza angolare del- l’intensità dei Crsal punto di osservazione descritta dall’espressione I = I0+I1cos θ,
dove I1 ≪ I0∗. Per semplicità, scegliamo la direzione di massima intensità coinci-
dente con l’asse delle coordinate z. In questo caso, il flusso netto delle particelle, diretto lungo l’asse z, è uguale a
Jz(E) =
Z
Ω
I(E, θ) dΩ =
Z
I1(E) cos2θ sin θdθdφ = 43πI1(E). (6.6)
In approssimazione di diffusione, il flusso dei Crs, lungo la direzione di massima intensità, diventa
Jz(E) = −Dzz∂N (E)
∂z (6.7)
(Dzz è una componente del tensore di diffusione). Dalle Eqs. (6.6) e (6.7) otteniamo
I1(E) = −4π3 Dzz∂N (E)
∂z . (6.8)
Di conseguenza, l’anisotropia dei Crsè uguale a
ζz = I1 I0 = − 3Dz vN ∂N ∂z . (6.9)
Assumendo che la diffusione sia isotropa e descrivibile con un coefficiente di diffusione D ≡ D(E), che dipenda unicamente dall’energia, l’anisotropia dei Cre provenienti da poche sorgenti locali può, quindi, ricavarsi dalla semplice relazione (Berezinskii et al. 1990 [35]) |ζ| ≡ IImax− Imin max+ Imin = 3D c × |∇Ne±| Ne± , (6.10)
che lega l’anisotropia ζ, al gradiente di densità di elettroni e positroni ∇Ne± pre-
sente nel flusso di Crs†. Le quantità I
max ed Imin rappresentano il numero totale di
eventi provenienti dall’emisfero centrato sulla direzione della sorgente investigata e dall’emisfero opposto, rispettivamente.
In questo lavoro di tesi, l’anisotropia apettata nel flusso totale di Cre è stata stimata assumendo il contributo delle pulsar più vicine (d♁psr.1 kpc) e luminose,
tra cui spiccano certamente Monogem e Geminga, adottando le stesse ipotesi di lavoro descritte nella sottosezione 5.2.2. Separando il contributo delle pulsar dalla
∗NOTA. L’applicabilità dell’approssimazione di diffusione non esclude una più complessa dipendenza angolare di Iθ (Berezinskii et al. 1990 [35])
†In letteratura, molto spesso il valore dell’anisotropia è indicata con il simbolo δ: nei calcoli mostrati in questo paragrafo, abbiamo preferito indicarlo diversamente per non indurre confusione con l’indice di diffusione, anch’esso solitamente indicato con δ.
116 Discussione dei Risultati
Figura 6.1: Anisotropia, in funzione dell’energia, nel flusso di elettroni e positroni,
nelle direzioni di Monogem e Geminga, predetta dal nostro modello ( Gcre +
Lcre). Lo stile delle linee si riferiscono alle condizioni descritte nella sottosezione
5.2.2, coerentemente anche con quanto riportato in Figura 5.6. Per semplicità, mostriamo solo il caso in cui i parametri della propagazione dei CRs si riferiscano ad uno scenario diffusivo alla Kolmogorov (modello Ib). Per gli altri due modelli di
diffusione (II e III, rispettivamente), abbiamo verificato che si ottengono risultati simili a quelli mostrati.
componente galattica di elettroni (Gcre), la densità totale di elettroni e positroni può scriversi come
Netot± ≡ Nepsr± + N
gcre
e± , (6.11)
dove Npsr
e± è la densità di Cre proveniente dalle pulsar, calcolata risolvendo analiti-
camente l’equazione del trasporto riferita ad una sorgente puntiforme, che ad ogni buon fine riscriviamo qui di seguito,
Nepsr±(Ee±, t, r) = Q0 π3/2 r3 1 − Ee± Emax Γe±−2 E e± 1 GeV −Γe± r rdiff 3 × exp −(1 − E Ee± e±/Emax) Ecut exp − r rdiff 2 , (6.12) mentre Ngcre
e± è la densità di Cre su scala galattica, calcolata numericamente con il
6.1 Il nostro modello e l’anisotropia dei CRE 117
e vicine pulsar diventa
ζ = 3 2c r t − t0 Nepsr± Netot± × 1 − (1 − E e±/Emax(t))1−δ (1 − δ)Ee±/Emax(t) −1 , (6.13)
in accordo alla quale il contributo di Geminga, in virtù della sua vecchia età, risulta trascurabile, lasciando invece che gli elettroni di Monogem dominino la scena, come può vedersi in Figura 6.1.
L’anisotropia da noi calcolata, e mostrata in Figura 6.1, trova riscontro con quanto pubblicato in precedenza da altri autori, i cui calcoli erano però finalizzati unicamente all’interpretazione dei dati di Pamela (si veda a tal proposito Bü- shing et al. 2008 [48] e Hooper et al. 2009 [105]), ed assume un valore (≃ 1%) potenzialmente osservabile dal Fermi-Lat entro pochi anni della sua attività.
Crediamo che un eventuale eccesso osservato negli anni a venire nello spettro di Cre, proveniente nella direzione di sorgenti vicine, possa costituire un’evidenza scientifica altamente suggestiva (una smoking gun) in favore dello scenario interpre- tativo centrato sul ruolo delle pulsar, rispetto allo scenario di Dark Matter. Allo stesso tempo, e’ bene sottolineare che l’assenza di un segnale di anisotropia, come predetto dai nostri calcoli, non costituirebbe affatto un’evidenza sperimentale che rigetti l’idea che le pulsar possano contribuire in maniera significativa allo spettro di elettroni e positroni osservato localmente.
Capitolo 7
Conclusioni
And I am not frightened of dying, any time will do, I don’t mind. Why should I be frightened of dying?
There’s no reason for it, you’ve gotta go sometime.
I never said I was frightened of dying.
The Great Gig in The Sky, from Dark Side Of The Moon 1973 Pink Floyd
L
’origine dei Raggi Cosmici (Crla propagazione nel mezzo galattico, rappresentano senza dubbio interrogativis), insieme con i processi che ne determinano di lunga data ai quali, nonostante un secolo di notevoli progressi teorici, non siamo ancora in grado di dare una risposta definitiva. D’altra parte, disporre di differenti osservazioni sperimentali su diverse decadi di energia costituisce una condicio sinequa non per risolvere, almeno in parte, il complesso puzzle dei Crs.
A questo scopo, anche se solo recentemente, sono stati progettati strumenti per satelliti in orbita, tali da rivelare Crsprima che l’interazione con l’atmosfera terre- stre ne modifichi la natura originaria. Uno di questi satelliti sta orbitando intorno alla Terra, trasmettendo dati dal giugno del 2006. Ha un nome accattivante, Pame- la, e identifica le antiparticelle, tra cui i positroni, servendosi di un raffinato sistema di rivelatori [5, 6]. Venuto alla luce in seguito, l’osservatorio spaziale Fermi, grazie alla sua sensibilità senza precedenti, ha completato e ampliato l’informazione spe- rimentale riguardo ai flussi assoluti di elettroni e positroni cosmici, pubblicandone, inizialmente, lo spettro nella regione di energia compresa tra i 20 GeV fino ad 1 TeV [3], per poi estenderlo ad energie inferiori, giù fino a ≃ 7 GeV [134]. Pro- grammato il lancio per il Novembre del 2010 sul volo Sts-134 dello Space Shuttle
Endeavour, lo spettrometro superconduttore Ams-02 sarà installato sulla Stazione
Spaziale Internazionale (Iss) e avrà il compito di scrutare nel dettaglio il fondo di antimateria, fatto di positroni e antiprotoni, prodotto dalla materia ordinaria che popola l’Universo. Il potente magnete, che trova posto a bordo dell’osservatorio, permetterà di misurare la composizione e lo spettro dei Crsnel range di energia GeV
120 Conclusioni ÷ TeV con una precisione tale da vincolare i modelli teorici utilizzati per descrivere la diffusione dei Crsnella Via Lattea [94].
Nel corso di questa Tesi, abbiamo cercato di investigare lo spettro di Raggi Cosmici elettronici (Cre) ad alta energia, nella regione del GeV ÷ TeV. Abbia- mo quindi presentato alcuni modelli, al cui sviluppo abbiamo contribuito in modo originale [66, 95], interpretativi dello spettro di elettroni e positroni osservato di recente dal Fermi-Lat, soprattutto in connessione a possibili contributi da parte di sorgenti astrofisiche locali, fin’ora non previsti dal modello standard dei Crs. A tal fine, abbiamo utilizzato il codice di propagazione di CrsGALPROP, assumendo alcuni modelli di diffusione che riproducessero gli spettri dei nuclei leggeri primari e se- condari. Abbiamo quindi introdotto una ragionevole modellizzazione dell’iniezione alla sorgente e studiato i processi che determinano la propagazione di tali particel- le nell’ambiente galattico. I risultati ottenuti sono stati confrontati, con successo, con i dati sperimentali del Fermi-Lat e anche con altri recenti dati osservativi, so- prattutto quelli riportati dalle Collaborazioni Pamela ed H.e.s.s., le quali hanno, rispettivamente, riportato la misura della frazione dei positroni ad energie superiori ai 10 GeV [5], e lo spettro degli elettroni fino a ≃ 5 TeV [11, 12]. Ne è emerso dunque, in modo naturale, un quadro interpretativo unico e consistente dei dati sui Cre attualmente disponibili.
Nella prima parte del Capitolo 3 , Sezioni 3.1 - 3.4, dopo aver rivisitato le idee principali riguardanti la propagazione dei Crs all’interno della Galassia, abbiamo determinato i parametri che regolano la diffusione di queste particelle, confron- tandoci con i recenti dati sperimentali sui nuclei leggeri (e.g., il rapporto B/C) e antiprotoni (¯p) contenuti nei Crs. Con riferimento con quanto proposto fin’ora in letteratura, tre sono stati gli scenari di propagazione di particelle scelti nella nostra analisi: (i) il Modello I che prevede la diffusione dei Crs nel campo ma- gnetico turbolento galattico, con spettro di tipo Kolmogorov (δ = 1/3), con una forte riaccelerazione nel mezzo interstellare (vA = 30 km s −1); (ii) il Modello II,
con diffusione con spettro di tipo Kraichan (δ = 0.5), ma con una riaccelerazione moderata (vA = 15 km s−1) paragonata al caso precedente, ed infine (iii) il Mo-
dello III, un modello plain diffusion, con indice spettrale δ = 0.6 e sprovvisto di riaccelerazione (vA = 0). Le predizioni dei modelli sopra elencati sono state ot-
tenute ricorrendo a simulazioni numeriche realizzate con il codice di propagazione GALPROP. L’accordo con i dati osservativi è stato, nei casi (i)-(iii), molto buono. Sebbene i modelli considerati riescano a riprodurre risultati simili tra loro, esistono importanti differenze che è opportuno mettere in risalto. Il Modello I, in virtù di una minore dipendenza del coefficiente di diffusione dalla rigidità magnetica delle particelle, necessita di un valore piuttosto alto per la riaccelerazione, soprattutto per meglio riprodurre i dati dei rapporti secondari/primari dei nuclei leggeri (CNO) alle basse energie (Ek . 1 GeV). Inoltre, esso adotta un break nell’indice di inie-
zione dei Crsnucleonici, inevitabile se si vuol raggiungere un buon accordo con lo spettro dei protoni alle basse energie. Al contrario, i Modelli II e III predicono in maniera ugualmente ottimale i rapporti dei secondari su primari e i flussi dei nuclei leggeri e dei protoni, adottando per il coefficiente di diffusione un comportamento diverso alle basse energie (D ∝ βηRδ, con η ∼ − 0.4/0.5) [65], che potrebbe essere
indipendentemente motivato da argomenti fisici [144]. Esperimenti previsti per il futuro, come Cream-II, Tracer, e Ams-02, misureranno flussi di nuclei e protoni
121
presenti nei Crs, a partire da qualche centinaia MeV/nuc fino ad arrivare a pochi TeV/nuc, consentendo di porre vincoli maggiormente ristrettivi ai vari modelli di propagazione. La seconda parte del Capitolo 3 , Sezione 3.5, è stata invece dedicata allo studio delle proprietà principali della componente elettronica dei Crs. In essa, abbiamo rivisto in dettaglio la soluzione analitica dell’equazione del trasporto dei Cre, ponendo soprattutto l’enfasi sugli andamenti dello spettro di elettroni nelle tre distinte regioni di energia, individuate dai processi, competitivi tra loro, quali la