Le seguenti righe sono dedicate al problema del circuito dei capitali: per aderire ad un desiderio del prof. Griziotti, con cui abbiamo avuto ripetuti scambi di idee nei quali E gli ci ha favorito numerosi suggeri menti, ci proponiamo di indicare qualche tentativo di formulazione mate matica di tale problema, in modo da richiamare l ’ attenzione del lettore sul fatto che la matematica possa arrecare qualche contributo alla questione in esame, per quanto questa sia ben diversa da quelle che si presentano nelle scienze sperimentali, al cui sviluppo la matematica ha notevolmente contribuito.
A tal uopo mostriamo come, con mezzi matematici molto modesti, si possano formulare impostazioni teoriche del problema, e come, quando si faccia qualche ipotesi supplementare, si possano ottenere risultati concreti. Naturalmente, perchè questi risultati siano praticamente utili, occorre che essi siano basati su precisi dati di fatto già conseguiti nelle applicazioni del circuito dei capitali e dei quali finora noi non siamo a conoscenza.
Il presente articolo è suddiviso in due paragrafi, nei quali vengono considerati due diversi aspetti del problema. Il primo è nello stesso ordine di idee di una recentissima pubblicazione di L . Federici(’ ), (della quale abbiamo preso visione prima della redazione definitiva delle seguenti righe), e tratta del ricupero delle somme erogate indipendentemente dalla loro provenienza : peraltro,, come il lettore rileverà immediatamente, la nostra trattazione si presenta sotto forma diversa da quella di tale Autore. In vece, il § 2 si propone di studiare quale possa essere il maggior ricupero complessivo di una somma erogata, a seconda dell’ entità con cui i prestiti, le imposte e la carta moneta entrano a far parte di tale somma. Questo secondo paragrafo può forse apparire come un primo tentativo di intro durre nella Scienza delle finanze considerazioni matematiche analoghe a quelle che si sviluppano nelle Scienze economiche (2).
§ 1.
1. - Sia S la spesa da finanziare nel periodo di tempo (i0, t0 -)- h0), e supponiamo che tale spesa sia distribuita in modo continuo durante tale
(’) L. Federici: Sulla teoria del circuito dei capitali in Giornale degli eco nomisti e Annali di economia, 1942, p. 119.
(2) Cfr per es. : E. Schneider: Teoria della produzione (Introduzione e traduzione di F. Di Fenizio, Ambrosiana, Milano 1942.
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intervallo di tempo e sia variabile con il tempo. Indicata con v e (£), (i0) £0 h 0) la velocità di erogazione al tempo t, risulta :
to+ho
(1)
S=
! V e ( t ) d t .*o
Supponiamo che la .somma erogata venga ricuperata completamente in un periodo di tempo (<1( t1 -f- h j , con t0 < [ t\ <C h + h0, hl > ^oi 6 c^ e ricupero avvenga in modo, per cosi dire, proporzionale all’ erogazione. Precisamente, fatto corrispondere al tempo t del periodo (i0, t0 - f h0) ^ tempo t del periodo (£,, ti -|- h t) con :
(2 ) f — 4 — ~7~~ (p Ìo)l
n o
e indicata con ur (T), (il( ~t~ ù j la velocità di ricupero al tempo t, la somma erogata in un tempuscolo d t venga interamente ricuperata in un tempuscolo d r , cioè a dire valga l ’ uguaglianza:
(3) v e (t) d t == v t (r) dr,
ove, in virtù della (2), è :
k l 7 dt = ---d t, h o e quindi risulta : v r (r) = v e (t). " i Dedotto £ dalla (2) : (4) t = t0 -\— (r £,) abbiamo : (5) vT(r) = v e ( t 0 + (t — i j j •
Pertanto, indicata con R (t) la somma ricuperata durante il periodo di tempo (£,, £), il ricupero totale in (t1, -f- /(■,) risulta:
ti+h! ti+hl ^
(6) R { tl + K ) « f v r (r) d r = [ Ve ( i 0 + - *,)) <**■
tl tl
Evidentemente è /£(£. + h ^ — S, perchè, come è ben noto dal Calcolo infinitesimale, l ’ integrale che figura all’ ultimo membro della (6) e dedotto da quello che figura al secondo membro della (1) mediante la sostitu zione (4).
Ci domandiamo ora quale è la somma complessiva sufficiente per ef fettuare il circuito dei capitali, tenendo conto di quella parte della somma ricuperata che può essere nuovamente erogata.
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Evidentemente la somma che si ricupera dopo il tempo t
0
- f h0 non può essere utilizzata per il problema in questione, perchè il ricupero av viene, per così dire, troppo tardi. Considerata, per un momento, la somma+ poniamo subito in evidenza che essa, in generale, non rap- pi.esenta il valore da noi cercato, ma ci fornisce soltanto il massimo, rag giungibile soltanto in condizioni particolarmente propizie, della somma ricuperata utilizzabile per il circuito dei capitali.
Pei ìispondere alla questione in esame, indichiamo con : t
E
(Í) =j
V e ( t ) d t ,*0
la somma da erogarsi nell’intervallo (i0,
t),e consideriamo, per
t^
tla
differenza: 11
E (t) - R {t).
Per t — ti è R ( t 1) = 0, e la differenza precedente si riduce a ; è
quindi ovvio che la somma necessaria per il circuito dei capitali non può essere inferiore a E ( t t). È pure altrettanto evidente che, considerato un qualunque valore t, , con tl< t\ £ i, + h 0, la somma necessaria per il circuito dei capitali non può essere inferiore a E (t',) — R (t\ ), perchè le somme ricuperate dopo il tempo t\ non possono essere nuovamente erogate prima di tale tempo t\.
Premesse queste considerazioni, per ogni t ' , con t i ^ t ' ^ t -)- h
definiamo una funzione fi(i') uguale al massimo (assoluto) della differenza
E ( t ) — R (t) per t
1
< t < La somma sufficiente per il circuito dei ca pitali è precisamente Q ( t0
-f- h0).Sarebbe ora desiderabile poter esprimere, in una forma più comoda per 1 applicazione pratica, il risultato che abbiamo raggiunto, ma, nella generalità delle ipotesi fatte nel presente n.°, possiamo soltanto porre in rilievo due evidenti disuguaglianze cui soddisfa il valore R (t0 - f h0). Pre cisamente, indicato con (tl < t < i0 -|~ h0) il minore dei due va lori ve (t) e vr (t) risulta:
to+ho
+
K ) E ( t 0-{-
h0)<
Q ( t 0-|- 7i0) <
E-]-
h 0)—
j~
v m (t) d t.tl
2. - Per poter utilizzare nella pratica il risultato conseguito alla fine del n. 1, (e sempre nell’ ipotesi che il ricupero avvenga secondo il principio indicato a ll’ inizio del n.° 1), occorre conoscer l ’ espressione della velocità di erogazione durante il periodo di tempo (t
0
, t 0 ~f- h0).Diamo nel presente n.° un semplice esempio del calcolo del valore + K ), supponendo che il periodo di erogazione (t0, t0 -j - h0) sia de componibile in due intervalli parziali (i0, t0 + h'0), (t0 - j - h'0, t0 - f con < K in ciascuno dei quali la velocità di erogazione sia lineare; inoltre questa velocità sia crescente nel primo di tali intervalli parziali e