Come è stato osservato in precedenza, in questo primo quesito si richiede stimare il volume di un capannone presentato in una foto.
Un primo dato interessante per la nostra indagine è il tasso di omissione al quesito: rispondono 244 persone su 289, ovvero l’84%. Il dato fa intuire che la maggioranza delle persone coinvolte è convinta di poter dire qualcosa sul quesito.
Sul perché circa il 15% non lasci nessuna traccia di risposta, si possono soltanto fare delle ipotesi. Incrociando i dati con la parte iniziale del questionario, emerge come la maggior parte delle risposte mancanti provenga da persone con un rapporto negativo con la matematica.
Essendo il primo quesito, chi non ha risposto a questo si è comunque cimentato nello svolgimento dei successivi, rientrerebbe dunque nel computo delle omissioni, per come sono definite dal quadro di riferimento OCSE-PISA. Infatti, nelle indagini OCSE-PISA, vengono considerate omissioni al quesito numero N della prova, solo i protocolli in cui non c’è la risposta al quesito N, ma c’è una risposta ad un quesito M, con M>N. Si cerca in questo modo di distinguere tra non risposta dovuta a scelta, e non risposta dovuta a mancanza di tempo (le prove OCSE-PISA infatti, a differenza della nostra indagine, sono sviluppate su tempi fissi e prestabiliti).
Tornando alla interpretazione della “non-risposta”, è interessante osservare come in alcuni protocolli raccolti sia espressamente dichiarata la percezione di non essere in grado di rispondere alla domanda, ed in particolare sia dichiarata la resa di fronte ad alcuni concetti messi in gioco dal problema, quali ‘stima’ e ‘volume’.
Ad esempio, il seguente protocollo, nel quale [c53] dichiara di non essere in grado di rispondere alla prima domanda, ma poi si cimenta sulla seconda che coinvolge la stima della superficie laterale del capannone, fa pensare che le difficoltà che [c53] percepisce siano relative al volume e non alla stima.
1) Dalla fotografia riesce a dare una stima del volume del capannone? Spieghi, se possibile, come ha ragionato. Per far pitturare la facciata esterna del capannone, il proprietario ha accettato un preventivo di 15 euro al metro
Analisi dei risultati – Quesito 1
41
Non sono in grado di rispondere
Ipotizzando che la facciata misuri 40 m x 6 m. La superficie da ricoprire sarà 240 m2ca., quindi la spesa sarà di (240 x 15) = 3600 € a facciata
Passando invece all’analisi dei protocolli di coloro che hanno risposto al quesito, emerge un modo di procedere diffuso e piuttosto “efficiente” in linea teorica: ovvero quello di utilizzare come unità di misura altri elementi presenti nell’immagine (porte, finestre, auto o alberi) e di cui si pensa di conoscere una misura standard, per stimare le misure del capannone in rapporto a questi. Dalle risposte ottenute, infatti, emerge come questo ragionamento sia stato effettuato da 201 persone (83 C , 118 O) su 244 persone (108 C, 136 O) che hanno fornito una risposta a questo quesito, ovvero l’82% (il 77% C, e l’87% O) di chi ha risposto a questo quesito (che corrispondono al 58% e all’80% dei questionari raccolti).
Circa le risposte ottenute, e la loro analisi, bisogna a questo punto fare una precisazione: non è d’interesse per questa ricerca, valutare i diversi gradi di correttezza delle risposte; si è infatti interessati al ragionamento e ai processi cognitivi che stanno alla base delle stesse. Ad esempio, in questo caso, lo sviluppo del processo di identificazione di un’unità di misura “nota”, si accompagna a calcoli tra loro molto
Analisi dei risultati – Quesito 1
42 diversi: sono molti che poi stimano la superficie laterale o l’area di base del capannone, anziché il volume. Questa osservazione ci conferma tra l’altro, come il volume crei delle difficoltà anche a chi risponde.
È interessante altresì osservare come l’unità di misura attraverso cui stimare il volume del capannone sia sempre lineare e il calcolo del volume (o di altre misure del capannone stesso) avvenga comunque attraverso formule dirette e non da stime (del tipo quel volume ci starà più o meno tot volte).
Una delle competenze messe in gioco dal Quesito 1 dovrebbe essere quella della modellizzazione, in alcuni protocolli questo è esplicitamente visibile, come nel seguente, dove il capannone è alla fine rappresentato come un parallelepipedo, e sul quale evidentemente è più facile ricordare le formule per i calcoli di cui abbiamo parlato sopra:
A proposito di aree e volumi, in relazione al processo di Impiegare concetti, fatti, procedimenti e
ragionamenti matematici, vale la pena segnalare come in almeno 6 casi il soggetto non ricordasse la
formula per calcolare il volume. In altri invece troviamo una confusione tra aree/perimetri/volumi, come ad esempio in [c101]:
Analisi dei risultati – Quesito 1
43 In questo caso, viene ammessa la possibile confusione nell’uso di perimetro al posto di area (Ho sbagliato
questo non è il perimetro forse è l’AREA): considerazione fatta in rosso, a posteriori probabilmente, visto
che ripete la stessa svista anche nella successiva risposta. Nonostante ciò, però, il ragionamento porta ad una risposta coerente. Infine, in questo come in altri casi l’unità di misura fornita è il metro e non il metro cubo; spesso il risultato è stato espresso anche in metri quadri.
Questo aspetto evidenzia una messa in atto solo parziale della competenza Usare il linguaggio simbolico,
formale e tecnico e le relative operazioni.
La difficoltà legata alla conoscenza dei termini è evidenziata, ancora, dal seguente esempio [c83], in cui non si risponde alla prima domanda, ignorando come si calcoli il volume (non riesco a dare una stima perché
non ricordo come si calcola il volume
),
ma si da una risposta esaustiva alla seconda domanda:Si parla di mq quindi si deve calcolare l’area per ogni facciata del capannone. Misuro con la riga. Dall’immagine penso che l’edificio sia un quadrato. Le misure diventano ipoteticamente….
Analisi dei risultati – Quesito 1
44 Un altro dato da riportare è quindi quello delle persone che hanno risposto solo alla seconda domanda. Di questi alcuni avevano dichiarato di non essere in grado di calcolare il volume, abbiamo già visto sopra un caso del genere. Appartengono a questa categoria rispettivamente 8 e 17 persone. Nel seguente esempio non c’è un ragionamento che conduce alla risposta, a differenza del precedente [c83], ma una considerazione relativa alla grandezza, che fa dunque riferimento alla propria esperienza:
credo che più o meno spenderà € 15.000 perché è molto grande [c78]
Ma, anche online troviamo risposte alla prima domanda come [o28]:
No perché non ricordo la formula per trovare il volume ( non ho copiato da internet :-) ),
seguite da una risposta dettagliata:
Circa 7200 €. Rettangolo base circa 25 mt ( vedi porta o auto) altezza 5 mt. Area 125 mt quadrati. 4 facciate 500 metri quadrati. 500 x 15 euro =7.200 €
Un’ultima considerazione che si evince a tal proposito è la seguente: le persone che dichiarano di non conoscere la formula per calcolare il volume, hanno titoli di studio differenti; in particolare laurea o diploma, e solo in un caso (quello di [c78]) la licenza elementare. Sembrerebbe dunque, limitatamente a questo dato, che il livello di formazione non sia l’unico fattore di influenza (ad esempio, come detto in precedenza, potrebbe giocare un ruolo il rapporto con la matematica).
La seconda domanda è illuminante non soltanto perché ci sono persone che hanno dato una risposta a questa, ma non alla precedente, ma anche perché – nel caso di risposte complete al quesito – può essere valutata anche la coerenza con la risposta alla prima domanda. In particolare infatti, trattandosi di una stima in base alla fotografia, i dati posso variare abbastanza, a seconda dell’altezza stimata della porta o dell’auto, ad esempio. Inoltre ci sono persone che hanno considerato la base quadrata, altri rettangolare (la prospettiva rende opinabile ogni scelta, d’altronde potrebbe non essere, come notato da alcuni, un parallelepipedo).
La maggior parte delle persone indica valori compresi tra i mille e i dodicimila metri cubi (ammettiamo anche quelli di chi ha utilizzato un’unità di misura errata).
In particolare, troviamo per quello cartaceo che 66 persone hanno dato una risposta nel range indicato in precedenza, mentre per quello online sono stati 75; quest’ultimo dato dunque corrisponde a poco più del 50%, mentre per quelli cartacei ci fermiamo al 46% del totale. I due dati, dunque, non sono troppo differenti.
Fuori da questo range troviamo valori massimi di rispettivamente 512000 metri cubi e 24000 metri cubi, e valori minimi di 1,54 metri cubi e 53,76; in quest’ultimo caso non viene fornita un’unità di misura e viene detto che le misurazioni sono state effettuate con la riga: pertanto non si tratta di una stima. Inoltre la
Analisi dei risultati – Quesito 1
45 possibilità di zoomare e le differenti estensioni dello schermo avrebbero potuto, anche implicitamente, fare da avvertimento per risposte di questo tipo.
L’analisi della ‘coerenza’ nel rispondere alla seconda domanda, con i dati ricavati dal soggetto stesso all’interno della prima domanda offre, come annunciato, spunti interessanti: infatti rispondono coerentemente rispettivamente 63 (44%) e 91(62%) persone, risultano incoerenti invece 19 e 11 persone. Vediamo, ad esempio, come [o13] ha risposto a questo quesito. Alla richiesta di stimare il volume del capannone ha affermato che misura:
20m x 20m x 10 , ho utilizzato la lunghezza presunta delle macchine
E alla successiva stima del capannone:
30000 euro circa
In questo caso è possibile controllare in parallelo quale sarebbe dovuto essere il prezzo effettivo, e quindi (ipotizzando che l’altezza sia quella di dieci metri) ci saremmo aspettati una spesa di dodicimila euro.
Di difficile controllo invece il caso di [o27], in cui il prezzo per pitturare la facciata sembra essere eccessivo rispetto al volume indicato:
Sarà più o meno 2200 metri cubi. Mi sono basata sulla lunghezza di una auto e sulla larghezza di una porta
E quindi spenderà:
12.000,00 euro più o meno
In un questionario cartaceo, [c12], si legge Presumo 5000 mq12. Ho considerato la distanza da cui è stata scattata la foto e le dimensioni del capannone rispetto alle auto e al viale, stimando poi il
prezzo della pitturazione della facciata in ben € 37.500.
Analisi dei risultati – Quesito 1
46 Finora siamo stati solo in grado di individuare risultati troppo esagerati sulla base della stima sul volume del capannone effettuata in precedenza, senza riuscire a capire se e come siano state utilizzate le considerazioni fatte nella risposta alla prima domanda.
Abbiamo inserito in questa categoria anche chi pur avendo palesemente utilizzato i dati precedentemente ricavati, li ha usati in maniera inaspettata, fornendo poi risposte distanti da quelle che ci si potrebbe aspettare. Nello specifico, dunque, si tratta di persone che hanno moltiplicato il dato del volume indicato da loro stessi per il prezzo di pitturazione al metro quadro: il risultato finale è chiaramente sproporzionato, infatti corrisponde al costo per riempire l’intero capannone, e non solo dipingerne la facciata.
V= 5626,4 m3
Ho posto 1.5m =3mm prendendo come punto di riferimento il davanti di un'auto. Con questi dati dedotti ho calcolato la misura della lunghezza, l'altezza e la profondità che mi hanno permesso di calcolare il volume. [o46]
Con un costo pari a:
84397,50 €
Analisi dei risultati – Quesito 1
47 Più esplicito il protocollo [c46] che deduce prima un volume di 1.980.607.200 cm3 (considerando l’altezza
della porta ≈220 cm e che la porta in foto misura 0.7 cm c’è un rapporto 220:0.7, quindi le misure risultano essere 2200; 754 e 1194. Il volume è 1.980.607.200 cm3), da cui poi trova un costo complessivo di 1980,607
m3∙15€ =29709 €.
Non sempre però è stato presentato il dato in questa maniera, con un conto esplicito. E spesso, magari per alcune approssimazioni effettuate, non è stato possibile risalire e ricostruire tutto il processo di calcolo. È stato sorprendente, durante un’intervista, scoprire come l’intervistato abbia seguito un ragionamento analogo a [c46], non lasciandone però traccia esplicita (benché il questionario in esame, il [c48], fosse stato comunque classificato già tra quelli “incoerenti” a causa del costo spropositato in rapporto al volume trovato).
Analisi dei risultati – Quesito 1
48
Ho preso un punto di riferimento, in questo caso l’auto, e ho dedotto che la porta che la larghezza della porta che sulla foto corrisponde a ½ cm. E di conseguenza la misura reale è di 3 m. Quindi 1 cm = 6 m. […] Riepilogando avremo L 42.0 m H 13.8 m P 26 m
Avendo tutte le misure a disposizione può calcolare la spesa che secondo i miei calcoli è di 162.000 € (circa)
Questo sembra indicare una non adeguata attivazione sia del processo Impiegare fatti, concetti,
procedimenti e ragionamenti matematici che di quello Interpretare, applicare e valutare i risultati matematici. Sebbene i casi siano troppo rari per trarne una conclusione generale, si vede però che questo
modo di ragionare si è ripetuto in persone più giovani, appena diplomate. Questo potrebbe spiegare la mancata attivazione del secondo processo che, per assenza di quell'abitudine di applicazione a contesti reali di dati matematici che si concretizza proprio con l'esperienza, non ha permesso l'attivazione di alcun campanello d'allarme alla vista di un prezzo spropositato
Analisi dei risultati – Quesito 2
49
Quesito 2
Questo secondo quesito, come anticipato, prevede tre richieste: innanzitutto, bisognava calcolare due velocità medie, noti i tempi di partenza e di arrivo di una tappa ciclistica, eventualmente sfruttando il grafico altimetrico del percorso, e infine, col secondo dato trovato era chiesto di stabilire l’ora di arrivo della stessa tappa.
Il quesito, benché a risposta aperta come tutti gli altri, si prestava particolarmente ad una soluzione numerica secca. Difatti, non sempre è stata fornita una spiegazione del dato riportato.
Innanzitutto, notiamo come in entrambi i casi, questionario cartaceo e questionario online, abbia risposto a questo quesito il 76% delle persone che hanno partecipato all’indagine. Risulta pertanto, questo, il quesito con il più elevato numero di risposte in bianco. A tal proposito, si evidenzia come il trend precedentemente individuato, è stato confermato da questo quesito, in cui la maggior parte delle risposte mancanti proviene da persone con un rapporto negativo con la matematica.
Proponiamo di seguito una catalogazione delle risposte alla prima domanda per valore numerico espresso; presenteremo poi, alla ricerca del ragionamento utilizzato, alcune risposte campione per ciascuna soluzione.
Km/h Questionari cartacei (%) Questionari online (%)
Meno di 29.3 3.5 4.8 29.3 0.7 2.1 30 47.9 49.3 30.06 6.9 8.9 30.1 2.8 0 30.14 6.3 6.9 Più di 30.14 6.3 3.4
Tabella 5 - Quesito 2: Prima parte
2) Alla tappa Trento-Aprica del giro d’Italia del 2006, descritta in figura, la partenza fu data alle 10:40. Il vincitore, Ivan Basso, ha tagliato il traguardo alle 17:42.
Qual è stata la velocità media del vincitore?
Il primo a passare sulla CIMA COPPI è transitato sulla cima alle 13:53. Quale velocità media aveva tenuto dalla partenza fino a quel momento? Se avesse proseguito con la stessa velocità media a che ora avrebbe tagliato il traguardo?
Analisi dei risultati – Quesito 2
50 Quello che, dunque, emerge chiaramente è come quasi un soggetto su due abbia risposto 30 km/h. Da dove viene fuori questo dato? Quali considerazioni hanno portato a rispondere in questa maniera?
Per provare a rispondere proponiamo di seguito alcune risoluzioni, abbastanza dettagliate, a questa prima domanda.
Nel questionario [c141], ad esempio, viene esplicitamente effettuata un’approssimazione prima sul tempo di percorrenza, e poi sul risultato finale. Difatti si legge
PERCORSO : Km 211 ORE TOTALI: 7 ore circa 211:7=30 km all’ora – circa
Nel caso preso in esame in precedenza assistiamo dunque ad una doppia approssimazione: una sul tempo di percorrenza, ed una seconda sulla velocità media. Non sempre però è stata questa la strada seguita: di fatto nel [c46] sopravvive solo la prima delle due.
Inoltre, in questo caso, non vengono fatte considerazioni circa l’approssimazione temporale.
In un primo caso parrebbe dunque che la doppia approssimazione sia dovuta ad una necessità pratica, di conto magari eseguito a mente, mentre nel secondo caso questo è meno evidente. A dar manforte a questa conclusione vi è il questionario [c22], in cui in colonna vengono presentati i calcoli effettuati in colonna (nel caso in esame si ottiene una velocità media di 30.1 km/h):
Analisi dei risultati – Quesito 2
51 D’altronde questa considerazione viene smentita subito dal questionario [c4], in cui viene sia effettuata una doppia approssimazione sia utilizzata una calcolatrice, infatti:
Ho usato una calcolatrice
Sembrerebbe dunque, esempi alla mano e dati percentuali complessivi in mente, che una persona su due abbia effettuato una doppia approssimazione. Non è in effetti così, e la situazione è ben più intricata. Prendendo in considerazione, ad esempio, il questionario [c44], possiamo notare come la velocità media (di cui anche questa volta si offre la formula generica come rapporto tra spazio e tempo) sia stata calcolata trasformando i dati in metri e secondi rispettivamente, effettuando quindi la divisione, ottenendo un risultato in metri al secondo e, infine, convertendo questo in chilometri orari.
Questo procedimento, delle volte, è stato effettuato senza effettuare l’ultima conversione, lasciando quindi il risultato in metri al secondo. È per esempio quanto viene presentato nel questionario [c20], in cui dopo aver premesso che la lunghezza del percorso è di 211 km, ovvero 211000 m, che il tempo impiegato è stato
di 7h e 2 min, la velocità media potrà essere calcolata come rapportotra spazio e tempo. E quindi viene effettuata prima la conversione in minuti e successivamente quella in ore. Il risultato così ottenuto è di 8.33 metri al secondo, dove sul 33 è presente una barra orizzontale, ad indicare un valore periodico.
Analisi dei risultati – Quesito 2
52 Vi sono poi casi in cui i 30 km orari sono stati ottenuti trasformando le sette ore e due minuti derivanti dalla differenza tra ora di arrivo e orario di partenza in 7.02 ore, come nel questionario [c11]:
Questa conversione, che nell’esempio precedente conduce ancora una volta ai 30 km/h, è quella che ha generato le risposte di 30,06 km/h, o risultati a quello approssimabili. Per averne una prova si presentano i questionari [c24] e [c117], in cui rispettivamente, senza troppe spiegazioni e con dettagli sui vari passaggi, si giunge al risultato di 30.057 chilometri orari e 30.05698 km/h:
Tempo impiegato : 17:42-10:40 = 7:02 ore Distanza percorsa: 211 km
Velocità media: 211 : 7.02 = 30,05608 km/ora
È, da questi esempi, evidente come sia difficile riuscire a discernere e catalogare i dati ottenuti in base al risultato proposto, tanto più che spesso manca un’adeguata motivazione alla risposta presentata.
Analisi dei risultati – Quesito 2
53 Questo aspetto argomentativo è tanto più evidente nei questionari online, in cui spesso la risposta si limita alla presentazione di un risultato, accompagnato, al più, da un breve calcolo che lo vada a motivare. Questo è il caso di [o72]:
211/7,02=30,05KM/h
Vale la pena, ora, mostrare con altri esempi da dove provengano le altre risposte.
Ad esempio, nel [c6] si giunge al risultato di 27.4 km all’ora, ottenuto dividendo 211 chilometri per 7,7 ore. Si noti che a differenza dei casi precedenti in cui la divisione per 7 o per 7.02 anche se non esplicitamente motivata poteva esibire il ragionamento e le approssimazioni effettuate, in tal caso risulta più difficile capire la provenienza di quel 7.7 ore. Una possibile conclusione potrebbe essere quella di ricondurre ad un errore o ad una svista la scrittura di questo dato (o di dati simili che conducono a risposte in cui la velocità media è inferiore ai 29.3 km/h), ma in mancanza di controprove a queste interpretazioni non è possibile sbilanciarci ulteriormente.
Soffermandoci un attimo sul risultato ricorrente di 29.3 km/h risulta evidente come questo provenga ancora da una differente, ed erronea, conversione: le 7 ore e 2 minuti vengono trasformate in 7.2 ore.
Ivan Basso ha percorso 211 km in 7h e 2min La velocità media è data da = 29,0631 km/h
In uno dei casi ([o57]) in cui nel questionario telematico vengono presentati maggiori dettagli si ritrova quanto detto per quest’ultimo risultato:
Basso è arrivato in 7 ore e 2 minuti Visto e considerato che ha percorso 211 km, li dividiamo per il tempo di percorrenza della tappa e troviamo la velocità media quindi 211/7,2= 29,31 km orari
Analisi dei risultati – Quesito 2
54 Vi è poi chi non ha dato una soluzione al quesito perché “non conosco la formula”, come nel caso di [c27]:
A questo riguardo vale la pena evidenziare come questa e simili risposte vengano da chi ha mostrato nella parte precedente di avere un rapporto negativo con la matematica.
Alla seconda domanda del quesito ritroviamo le considerazioni precedenti, ma amplificate. Infatti, nel primo caso l’approssimazione di sette ore e due minuti a sette ore è molto naturale e, come visto, non genera grandi differenze nel risultato finale.
Diversamente, in questo caso, il tempo impiegato sino alla CIMA COPPI è di 3 ore e 13 minuti, e questo ha generato risultati più vari, di cui si presenta in tabella una sintesi:
Km/h Questionari cartacei (%) Questionari online (%)
Meno di 33 1.4 4.8 33 0.7 1.4 33.3 1.4 0 33.8 0.7 5.5 34.1 12.5 2.1 34.13 1.4 9.6 34.14 1.4 2.1 34.2 4.2 3.4 35 11.8 15.8 35.07 2.8 0 35.08 4.9 9.6 35.1 2.1 0 36 4.2 0 36.6 2.1 0 36.7 0 3.4 Più di 36.7 1.4 2.7
Tabella 6 - Quesito 2 - Seconda parte
Rispetto al quesito precedente, inoltre, il numero di risposte mancanti è salito in un caso da 23.6% al 34%,