Programma del corso di Analisi Matematica I - Analisi Matematica II (a.a. 2018/19)

PROGRAMMA DEL CORSO DI

ANALISI MATEMATICA I / ANALISI MATEMATICA II

L

M

.

.

2018/19

P

.

L

C

1. Nozioni di teoria degli insiemi

Insiemi, elementi, proprietà. Simboli logici. Funzioni o applicazioni. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Funzioni composte. Insieme prodotto e relazioni binarie: relazioni di equivalenza, relazioni d’ordine, relazioni d’ordine totale e relazioni d’ordine stretto. Principio del buon ordine in N. Principio di induzione e applicazioni.

2. I numeri reali

Gli assiomi dei numeri reali e conseguenze. Numeri naturali, interi, razionali. Non completezza dell’insieme Q dei numeri razionali. Valore assoluto di un numero reale: definizioni e alcune proprietà. Interpretazione geometrica di R e R2. Massimo e minimo di un insieme numerico: definizioni e unicità. Estremi di un insieme numerico: definizioni e caratterizzazioni. Ulteriori proprietà dei numeri reali: proprietà di Archimede, densità di Q e di R \ Q in R e conseguenze. Insieme ampliato dei numeri reali. Intervalli di R. Coppie di insiemi separati e coppie di insiemi contigui. Caratterizzazione degli insiemi contigui.

3. Funzioni reali

Funzioni reali. Combinazione e composizione di funzioni. Massimo, minimo ed estremi di una funzione reale: definizioni e caratterizzazioni. Rappresentazione cartesiana e grafico. Funzioni pari, dispari, periodiche: definizioni e proprietà geometriche. Funzioni monotone. Iniettività delle funzioni strettamente monotone. Successioni reali. Successioni limitate; estremi di una successione. Successioni monotone. Successioni estratte. Il numero di Nepero (senza dim.). Proprietà delle potenze n-sime di numeri reali positivi. Esistenza della radice n-sima di un numero reale positivo (senza dim.).

4. Funzioni elementari

Funzione lineare, funzione valore assoluto, funzione potenza n-esima, funzione radice n-esima, funzione potenza ad esponente razionale, funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzione potenza ad esponente reale, funzioni trigonometriche, funzioni trigonometriche inverse: definizioni e proprietà.

5. Limiti di successioni

Definizione di limite di una successione. Unicità del limite. Limitatezza delle successioni convergenti. Operazioni coi limiti di successioni nel caso della convergenza. Limite della somma, della differenza, del prodotto e del rapporto di successioni nel caso generale e forme indeterminate (senza dim.). Teoremi di confronto: teorema della permanenza del segno e corollari, teorema dei carabinieri. Altre proprietà dei limiti di successioni: confronto di successioni divergenti;

successione e successione dei moduli; prodotto tra successioni infinitesime e successioni limitate. Regolarità delle successioni monotone. Criterio del rapporto per le successioni. Criterio di convergenza di Cauchy per le successioni (dim. solo condizione necessaria). Alcuni limiti di successioni fondamentali e infiniti di ordine crescente (senza dim.).

6. Limiti delle funzioni reali

Punti di accumulazione di un insieme numerico. Definizione di limite di una funzione reale. Legame tra limiti di funzioni e limiti di una successione. Limite da destra e limite da sinistra. Proprietà dei limiti di funzioni (senza dim.): unicità del limite, operazioni con i limiti, forme indeterminate, risultati di confronto, limiti delle funzioni monotone, limite delle funzioni composte. Limiti delle funzioni elementari agli estremi del loro insieme di definizione.

7. Continuità delle funzioni reali

Definizione di funzione continua. Classificazione dei punti di discontinuità. Continuità della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue. Continuità delle funzioni composte. Teorema della permanenza del segno per funzioni continue e conseguenza. Teorema degli zeri. Primo teorema dell’esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass (senza dim.). Secondo teorema dell’esistenza dei valori intermedi. Criterio di continuità delle funzioni monotone. Teorema sulla continuità delle funzioni inverse (senza dim.). Continuità delle funzioni elementari (senza dim.). Limiti notevoli.

8. Calcolo differenziale

Definizione e significato geometrico della derivata. Derivata destra e derivata sinistra. Continuità delle funzioni derivabili. Punti di non derivabilità. Operazioni con le derivate (senza dim. il caso del rapporto). Derivazione delle funzioni composte (dim. solo con ipotesi aggiuntiva). Derivate delle funzioni inverse (senza dim.) . Derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore. Teoremi di de l’Hopital (senza dim.): applicazioni al calcolo dei limiti in forma indeterminata. Differenziale di una funzione. Massimi e minimi relativi: definizione e legami con il rapporto incrementale e la monotonia. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Criterio di monotonia. Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo. Criterio di stretta monotonia. Prima condizione sufficiente per i massimi e minimi relativi. Funzioni concave e convesse: definizione e proprietà grafiche. Criterio di convessità. Seconda condizione sufficiente per i massimi e minimi relativi. Asintoti di un grafico: asintoti verticali a destra e a sinistra; asintoti orizzontali a destra e a sinistra; asintoti obliqui a destra e a sinistra . Formula di Taylor (senza dim.) : polinomio di Taylor; resto di Peano e resto di Lagrange.

9. Calcolo integrale

Definizione dell’integrale secondo Riemann per una funzione limitata. Interpretazione geometrica dell'integrale definito. Proprietà degli integrali definiti (senza dim.): additività dell'integrale rispetto all'intervallo, linearità dell'integrale, confronto tra integrali. Uniforme continuità. Teorema di Cantor (senza dim.). Integrabilità delle funzioni continue. Primo e secondo teorema della media

integrale. Primitive: caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. L'integrale indefinito e le sue proprietà. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per decomposizione in somma. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrali impropri.

10. Serie numeriche

Serie numeriche: definizione e proprietà. Carattere di una serie. Condizione necessaria per la convergenza. Serie a termini positivi. Regolarità delle serie a termini positivi. Serie geometrica. Serie armonica. Serie armonica generalizzata. Criterio del confronto. Criterio degli infinitesimi(senza dim.). Criterio del rapporto, criterio della radice. Serie alternate e criterio di Leibnitz (senza dim.). Serie assolutamente convergenti; legame tra assoluta convergenza e convergenza di una serie.

11. Numeri complessi

Il campo dei numeri complessi. Forma algebrica, coniugato, rappresentazione geometrica, modulo e argomento di un numero complesso. Formula di De Moivre. Radici n-sime di un numero complesso.

Testi consigliati:

P. Marcellini – C. Sbordone: Analisi Matematica uno, Liguori Editore M. Troisi: Analisi matematica I, Liguori Editore

P. Marcellini – C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica I, Liguori Editore

A. Alvino – L. Carbone – G. Trombetti: Esercitazioni di Matematica I, Liguori Editore