Elementi di Matematica e Logica (I modulo)
Esercitazione guidata - 21 dicembre 2009
Es. 1 . Sia f : M2(R) → R definita da f (A) = detA
a Dire se f `e iniettiva e/o surgettiva.
b) Sia A ∈ f−1(2) , `e vero che A `e invertibile?
Es. 2 . a) Usando l’algoritmo euclideo si calcoli il massimo comun divisore di 728 e 329 e si scriva la corrispondente identit`a di Bezout.
b) L’equazione 728x + 329y = 2 ha soluzioni intere?
Es. 3 . Calcolare, usando il teorema di Fermat, il resto della divisione di 92005 per 41 .
Es. 4 . In R poniamo x ? y = 3xy .
a) Provare che l’operazione binaria ? `e associativa e ha elemento neutro. b) Dire se R `e un gruppo con l’operazione ? .
.
Es. 5 . In N2 poniamo (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ (a + b)2= (c + d)2 . a) Provare che ∼ `e una relazione di equivalenza.
b) Determinare quanti e quali sono gli elementi equivalenti a (2, 2) . c) Esistono classi di equivalenza costituite da un solo elemento?
Es. 6 . Provare per induzione che la somma dei quadrati dei primi n numeri dispari `e n(2n−1)(2n+1)3 , ossia che per ogni n ∈ N∗ si ha:
n
X
j=1
(2j − 1)2= n(2n − 1)(2n + 1)
3 .
Es. 7 . Calcolare al variare di a ∈ R la caratteristica della matrice:
A = 2 2a a + 2 4 1 − a2 0 1 − a2 2 + 2a 1 a 1 2
e discutere le soluzioni del sistema omogeneo associato ad A , calcolandole nel caso a = 1 .
Es. 8 . Dato il numero complesso z =
√ 3 2 −
i 2 .
a) Calcolare e scrivere in forma cartesiana z28.
