Distribuzione di Maxwell delle velocita’ in un gas all’equilibrio

dv e

kT v N m

dv v f

dN

mv 2 2

2 / 3 0

2

2 ) ( 4

)

( 

  

dN rappresenta il numero di molecole che hanno

modulo della velocita’ compreso tra v e v+dV ossia f(v) = dN/dv

f(v)/N₀ e’ una funzione normalizzata all’unita’

Distribuzione di Maxwell delle velocita’ in un gas all’equilibrio

kT mv

e kT v

v m

f

2

) (

2 ) ( 1 4 )

( 

 

2 2

2 / 3 3

( ) 8

4 1

v

e v



 



kT

 m



dove si e’

posto

2 2 2

2 /

)

2 ( )

(

v

e v v

f







quindi

e’ una densita’ di probabilita’ quindi f(v) deve essere normalizzata all’ unita’

2 2 2

2 /

)

2 ( )

(

x

e x x

f







0 )

( x  f

 0 x

 0 x

ed in effetti



^ 

^

2 2

2 /

3

1

) 2 (

) (

x

e x dx

x f





il valor medio di questa distribuzione vale



^ 

^

2 2 3

2 /

3

2

2 )

2 ( )

(  



x

e x dx

x xf

la varianza vale



^{ }

2

( ) )

( x  f x dx





^{1 ( 3 8 )}



 ^

 

annullando la derivata della f(x) si

determina il massimo della funzione ossia il valore piu’ probabile della velocita’:

la distribuzione di Maxwell non e’ simmetrica quindi valore piu’ probabile e valor medio sono diversi



 2 x

ossia

 



2 2





 ^{1 ( 3 }  ^{8 )}



 2 xp

kT

 m



m v kT

v

2

2 2



 ^



m v_p 2kT



m v

3 kT



poiche’

 ^{x  x} 

^{ x}

^{ x}

^

^{ x}

^{ }

2 2

2

   

x 

2

 3 x

m kT m

kT

v





__

__ 2

2 1 2

3 kT m v E

 

l’energia cinetica media di una molecola e’

occorrera’ quindi determinare il valore di

__2

v

m v kT

v

3





la velocita’ quadratica media sara’

ricapitoland o

dato che si era posto

ovvero

da cui

Velocita’ di fuga dalla Terra

si deve determinare quale sia la velocita’ v che occorre imprimere ad un corpo di massa m

affinche’ possa sfuggire alla attrazione gravitazionale della terra.

il campo gravitazionale e’ conservativo e

potremo applicare la conservazione della energia meccanica totale

affinche’ il corpo sfugga alla attrazione

gravitazionale della terra occorre che possa

raggiungere una distanza infinita con una velocita’

 0 v

A A

mN T v 3 kN

__



A v 3 RT

__



dove A e’ la massa molecolare, R =8.31 JKmole^-1 ad esempio per l’ossigeno molecolare si ha :

1 1

__

) 484 (

032 .

0

) ( 300 )

31 . 8 (

3 

 

 ms

Kg

K JKmole

v

lanceremo l’oggetto a partire dalla superficie della terra con velocita’ di modulo v

la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale saranno costanti durante il moto

11200

 ms

a alla terr di fuga d

velocita'

T f T

R G M

v  2

T T

R G M v

v



 2

ricavando la velocita’ di lancio si ottiene:

si definisce velocita’ di fuga v_f quella velocita’ di lancio che consente di far giungere il corpo di massa m all’infinito con velocita nulla

ponend

o v

 0

2 0 1 2

1

  mv



R G mM mv

T T

all’infinito l’energia potenziale gravitazionale sara’

nulla quindi :

la probabilita’ che una molecola possegga una

velocita’ molto superiore alla media e’ sempre piu’

piccola man mano che ci si allontana dalla velocita’

media ma

Velocita’ quadratiche medie in m/s a T = 300 K

Gas A (gm) Velocita’ q.m.

Idrogeno 2 1934

Elio 4 1368

Vapor d’acqua 18 645

Azoto 28 517

Ossigeno 32 484

infine e’ da notare che la velocita’ di propagazione del suono nell’atmosfera e’ di circa 330 m/s,

mentre le velocita’ quadratiche medie sono dell’ordine di ~1000m/s

chiaramente per l’idrogeno sara’ piu’ facile sfuggire dall’atmosfera della terra di quanto non lo sia per l’ossigeno o per l’azoto

in effettti una stima grossolana indica una perdita di circa 600Kg di idrogeno all’anno