Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica e Termodinamica
Tema d’Esame del 3 giugno 2014 – Secondo parziale
Esercizio 2
𝑅 = 2𝑟 = 0,6 𝑚; 𝑀 = 2𝑚 = 4 𝑘𝑔; 𝑚𝑝 = 0,8 𝑘𝑔;
𝑣 = 60 𝑚/𝑠;
i. 𝜔′ = ?;
A differenza dell’immagine presentata nell’esercizio precedente, la fune 𝐴𝐻 è già stata tagliata e il punto 𝐴 si trova allineato verticalmente con 𝑂. L’esercizio tratta il caso di un urto anelastico tra una massa puntiforme e un corpo rigido vincolato. Per la presenza del vincolo in 𝑂, non è possibile sfruttare la conservazione della quantità di moto, tuttavia, avvalendosi della seconda equazione cardinale della dinamica, è possibile dimostrare che si conserva il momento angolare rispetto al polo 𝑂. Infatti si ha che
𝑀𝑂𝑒 = 𝑑𝐿𝑂 𝑑𝑡 = 0
dove 𝑀𝑂𝑒 è il momento delle forze esterne rispetto al polo 𝑂; da questa equazione segue che 𝐿𝑂 è costante.
Esplicitiamo il principio di conservazione del momento angolare rispetto al polo 𝑂 nel seguente modo:
𝑚𝑝𝑣𝑅 = 𝐼𝑂𝜔′
dove 𝐼𝑂 è il momento d’inerzia finale del sistema rispetto al polo 𝑂, che può essere così espresso:
𝐼𝑂 =1
2𝑀𝑅2+1
2𝑚𝑟2+ (𝑀 + 𝑚)𝑅2+ 𝑚𝑝𝑅2 = 4𝑚𝑟2+1
2𝑚𝑟2+ 12𝑚𝑟2+ 4𝑚𝑝𝑟2
= (33𝑚/2 + 4𝑚𝑝)𝑟2
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La legge di conservazione può essere quindi così riscritta:
2𝑚𝑝𝑣𝑟 = (33
2 𝑚 + 4𝑚𝑝) 𝑟2𝜔′ ⟹ 4𝑚𝑝𝑣 = (33𝑚 + 8𝑚𝑝)𝑟𝜔′ da cui
𝜔′ = 4𝑚𝑝𝑣
(33𝑚 + 8𝑚𝑝)𝑟 ≈ 8,84 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ii. 𝑚𝑔ℎ = 100 𝑔; 𝑡0 = −5 °𝐶; 𝑚𝑓 = ?;
L’energia dissipata nell’urto sarà data dalla variazione di energia cinetica del sistema, che sarà pari – in modulo – al calore ceduto dallo stesso alla massa di ghiaccio da fondere.
𝑄 = −Δ𝐾 = 1
2𝑚𝑝𝑣2−1
2𝐼𝑂(𝜔′)2 ≈ 1313 𝑘𝐽
Il calore 𝑄, prima di compiere il passaggio di stato, è utilizzato per riscaldare il ghiaccio fino alla temperatura di fusione 𝑡𝑓 = 0 °𝐶, perciò, oltre alla legge della fusione, dobbiamo utilizzare anche la legge fondamentale della calorimetria. Di conseguenza il calore 𝑄 sarà uguale alla somma del calore utilizzato per portare il ghiaccio alla temperatura di fusione più il calore utilizzato per fondere la massa 𝑚𝑓.
Indichiamo il calore specifico per il ghiaccio con 𝑐𝑔ℎ ed esprimiamo il suo calore latente di fusione con la lettera greca 𝜆.
𝑄 = 𝑐𝑔ℎ𝑚𝑔ℎΔ𝑡 + 𝜆𝑚𝑓
Da questa equazione possiamo determinare la quantità di ghiaccio fuso 𝑚𝑓. 𝑚𝑓 = 𝑄 − 𝑐𝑔ℎ𝑚𝑔ℎΔ𝑡
𝜆 ≈ 1,0 𝑔
iii. Δ𝑆𝑔ℎ𝑖𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜 = ?;
Determiniamo infine la variazione di entropia del ghiaccio. Ricordiamo che essa è definita come l’integrale di Clausius per una trasformazione reversibile.
Δ𝑆 ≔ ∫ (𝑑𝑄 𝑇 )
𝑅𝑒𝑣 𝐵
𝐴
Nel caso fisico in esame abbiamo due contributi alla variazione di entropia: il primo è dovuto alla legge fondamentale della calorimetria nel passaggio dalla temperatura 𝑇0 =
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268 𝐾 alla 𝑇𝑓 = 273 𝐾, mentre il secondo si ha nel passaggio di stato dove la temperatura si mantiene costante a 273 𝐾. Possiamo dunque scrivere la variazione di entropia del ghiaccio nel seguente modo1:
Δ𝑆𝑔ℎ𝑖𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜 = ∫ 𝑐𝑔ℎ𝑚𝑔ℎ𝑑𝑇 𝑇
𝑇𝑓
𝑇0
+ ∫ 𝜆𝑑𝑚
𝑇𝑓
𝑚𝑓
0
= 𝑐𝑔ℎ𝑚𝑔ℎ∫ 𝑑𝑇 𝑇
𝑇𝑓
𝑇0
+ 𝜆
𝑇𝑓∫ 𝑑𝑚𝑚𝑓
0
= 𝑐𝑔ℎ𝑚𝑔ℎlog (𝑇𝑓
𝑇0) +𝜆𝑚𝑓
𝑇𝑓 ≈ 4,84 𝐽/𝐾
1 Da buon matematico, con il termine log 𝑥 intendo denotare il logaritmo naturale di 𝑥, sempre più frequentemente espresso come ln 𝑥. Tuttavia esso può essere considerato l’unico logaritmo degno di nota, in quanto tutti gli altri risultano essere ad esso riconducibili.
