Analisi Matematica 1

Analisi Matematica 1 14 Gennaio 2019 COMPITO 1

1. Il luogo degli z2 C tali che il numero complesso

3 +[Im(z)]² e^32⇡i

1 + 3i

2 + iz ¯z + i[Re(iz)]² sia reale non negativo `e dato da

A : l’unione di due segmenti B : una circonferenza C : quattro punti D : un punto

2. Il limite

n!+1lim

⇥(n + 7)ⁿ+ ¹₃ ⁿ⇤

(n^1/n 1)(n! + 1) (1 + n)ⁿ(n 1)! ln(n + 1) vale

A : 1 B : +1 C : 7 D : e⁶

3. Il limite

xlim!0

3⇥

ln(x + 3) ^x₃ ln 3⇤ e^x2(cosh x 1) vale

A : ¹₃ B : 3 C : 0 D : 1

4. Sia ↵ 0. La serie

X+1 n=2

(↵ⁿ+ ln n)[1 + cos²(3n)]

[7ⁿ+ 1](n² ln n) converge se e solo se

A : ↵ 7 B : ↵  7 C : ↵ < 7 D : ↵ > 7

5. Siano ↵2 [1, 2] e f : R ! R data da

f (x) = 8>

><

>>

:

(3 x)^{↵ 1}arctan_{x 3}¹ se x < 3

⇡ ln(x 2)

2 se x 3

Allora x = 3

A : `e un punto angoloso per 1  ↵  2 B : `e un punto angoloso per 1  ↵ < 2 ed `e punto di derivabilit`a per ↵ = 2 C : `e un punto angoloso per 1 < ↵ < 2 ed `e punto di derivabilit`a per ↵ = 2 D : `e un punto di derivabilit`a per 1 ↵  2

6. L’integrale Z 4

0

e^pxdx vale

A : e² B : e²+ 2 C : e²+ 3 D : 2e²+ 2

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8>

<

>:

y⁰⁰+ y = xe^x y(0) = ¹₂ y⁰(0) = 2 Allora ˜y(1) vale

A : 2 cos(1) B : e C : 2 sin(1) D : 2e

8. Sia data la funzione

f (x) = x

e⁴ 1 + |x|

x² e⁴ Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =R \ {±e²} V F (b) lim_{x!( e}2) f (x) = 1 V F

(c) y = _e^x4 1 `e asintoto obliquo V F (d) x = 0 `e un punto angoloso V F

(e) Sull’intervallo ] 1, e²[ risulta f⁰ 0 V F (f) f ([0, +1[) = R V F