Analisi Matematica 1

Analisi Matematica 1 10 Luglio 2018 COMPITO 1

1. Il luogo dei punti z2 C tali che

z² 4i¯z + 6Imz = e^11⇡i

`e dato da

Risp.: A : tre rette B : una circonferenza C : un punto e due rette D : tre punti

2. Sia ↵ > 0. Il limite

n!+1lim

(↵n)ⁿ+ sin(↵eⁿ+ n!) (3n)ⁿ⁺¹ ↵n!

vale 0 se e solo se

Risp.: A : ↵ 3 B : ↵ < 3 C : ↵ 3 D : ↵ > 3

3. Il limite

xlim!0⁺

e^2x cos²x 2x 3[log(1 + 3x) sin(3x)]

vale

Risp.: A : ¹₉ B : 0 C : ²₉ D : ₂₇⁴

4. Sia 2 [2, 4]. Allora la serie

X+1 n=0

( 1)ⁿ⁺¹( 3)²ⁿ⁺¹ 2n + 1

Risp.: A : converge assolutamente per 2  4 B : converge assolutamente per 2 < < 4 e semplicemente per = 2 e = 4 C : converge semplicemente ma non assolutamente per 2  4 D : converge assolutamente per 2 <  4 e semplicemente per = 2

5. Sia f :R ! R data da

f (x) = x¹⁰cos(7x).

Allora f⁽²⁰⁾(0) vale

Risp.: A : _(10)!⁷¹⁰ B : _(20)!⁷²⁰ C : _(10)!⁷²⁰ D : ^(20)!7_(10)!¹⁰

6. L’integrale Z 5

3

1 (x 2)p

x 1dx vale

Risp.: A : log¹₃ log^{pp2 1}

2+1 B : log¹₃ C : log^p1

2+1 D : 3

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8<

:

y⁰+ y

1 + x² = xe^{x arctan x} y(0) = 2.

Allora lim_{x! 1}y(x) vale˜

Risp.: A : e ^⇡/2 B : ³_⇡ C : 3 D : 3e^⇡/2

8. Sia data la funzione

f (x) = log|e^x 3| |x| . Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false.

(a) limx!log 3f (x) = +1 V F

(b) y = x + log 3 `e asintoto obliquo per x! 1 V F (c) x = 0 `e un punto di cuspide V F

(d) f `e crescente su ] 1, 0][] log 3, +1[ V F (e) Sull’intervallo ] 1, 0[ risulta f⁰⁰> 0 V F (f) Im(f ) =] 1, log 2] V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.