Analisi Matematica 1

Analisi Matematica 1 16 Gennaio 2018 COMPITO 1

1. Il luogo degli z2 C tali che

Re

✓|z| 2i i|z| + 1

◆ +1

2 = 0

`e dato da

Risp.: A : un punto B : due punti C : una circonferenza privata di un punto D : una circonferenza

2. Il limite

n!+1lim



e²ⁿ⁺² 1

2e²ⁿ [(n + 1)! n!]

(n! 7ⁿ)

 sin1

n 1 4sin4

n r

n⁸e⁴ⁿ+ sinn 7 vale

Risp.: A : ⁵₂ B : ²₅ e^{2 1}₂ C : ¹₅ D : e^{2 1}₂

3. Il limite

x!+1lim

sin1

x arctan1

 x

e^4x1 1 + sinh⁷1 x

 x ln

✓ 1 + 1

x³

◆

+ cos1

x 1

vale

Risp.: A : ⁴₃ B : 4 C : ²₃ D : 1

4. Sia ↵2 R. La serie

+1

X

n=2

7↵ cos¹_n

⇣eⁿ²¹ 1⌘

(n + 1)³

Risp.: A : converge per ↵ 6= ¹₇ e diverge per ↵ = ¹₇ B : converge per ↵ ¹₇ e diverge per

↵ < ¹₇ C : converge per ↵ = ¹₇ e diverge per ↵6= ¹₇ D : converge per ↵ < ¹₇ e diverge per

↵ ¹₇

5. Sia f :R ! R data da

f (x) = 8>

>>

<

>>

>:

e^{x 2} 1

(x 2)^{↵ 1} se x > 2

1 se x = 2

(2 x) sin_{2 x}¹ se x < 2 Allora f ammette in x = 2 un punto di salto

Risp.: A : per ogni ↵ B : per ↵ > 2 C : per ↵ < 2 D : per ↵ = 2

6. L’integrale

Z ^p32 0

px arctan x^3/2dx

vale

Risp.: A : arctanp

2 B : arctanp

2 + ln 3 C : ²₃p

2 arctanp

2 ¹₃ln 3 D : ln 2

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8>

<

>:

y⁰⁰ y⁰ 2y = xe^x y(0) = ¹₄

y⁰(0) = ³₄+ 4e Allora ˜y( ¹₂) vale

Risp.: A : ⁴₃(1 e^3/2) B : ⁴₃ C : ^4e₃ D : 4(e + e^3/2)

8. Sia data la funzione

f (x) =

(arctan (ln|x| 2x) se x6= 0

⇡

2 se x = 0.

Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f )6= R V F (b) limx! 1f (x) = ^⇡₂ V F

(c) f `e continua in x = 0 V F (d) x = 0 `e un punto angoloso V F

(e) f `e decrescente su [0,¹₂] V F

(f) f ([0, +1[) = [ ^⇡₂, arctan(1 + ln 2)] V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.