Analisi Matematica 1

Analisi Matematica 1 26 Marzo 2018 COMPITO 1

1. Il luogo dei punti z2 C tali che

Re |z|² 2i¯z + (z i)² = 3

`e dato da

Risp.: A : tre punti B : due rette C : tre rette D : due punti

2. Sia ↵ > 0. Il limite

n!+1lim

[ln(n + 1)ⁿ+ sin(n!)]⇥

tan¹_{n n}¹⇤ (n + e ⁿ)²hp

n^2↵+ 7 n^↵i esiste finito se e solo se

Risp.: A : ↵ 4 B : ↵ > 4 C : ↵ < 4 D : ↵ 4

3. Il limite

x!+1lim

1 +¹_x ^x2 e^x 2x 3e^x x³ vale

Risp.: A : +1 B : ¹₃ C : ^{e 1/2}₃ ¹ D : 0

4. Sia ↵ 0. La serie

+1X

n=2

7ⁿ² +p n [↵ⁿ+ 7ⁿ]ⁿ converge se e solo se

Risp.: A : ↵ > 7 B : ↵ 7 C : ↵ < 7 D : ↵  7

5. Siano ↵2 R e f : R ! R definita da

f (x) = 8>

<

>:

[ln(e^x 2)]^{↵ 1} se x > ln 3

0 se x = ln 3

[ln 3 x]^{↵ 1} se x < ln 3.

Allora f ammette un punto di cuspide in x = ln 3 se e solo se Risp.: A : ↵ > 2 B : ↵ < 1 C : 1 < ↵ < 2 D : ↵ < 2

6. Sia F :]0,1[! R la primitiva di

f (x) = 1

pxln⇣ 2 x 1 + x

⌘

tale che F (1) = 0. Allora lim_x!0+F (x) vale

Risp.: A : ⇡ B : ln 2 + ^⇡₂ C : 2 ln 2 + ⇡ D : ⇡

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8>

<

>:

y⁰⁰ 4y = e^2x, y(0) = 0, y⁰(0) = 3⇡ + ¹₄ Allora ˜y(¹₂) vale

Risp.: A : e B : ^e₈ C : ^3⇡₄ (e e ¹) D : ^3⇡₄ (e e ¹) +^e₈

8. Sia data la funzione

f (x) = x

2 + arctan

✓ |x|

x 2

◆ . Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false.

(a) dom(f ) =R \ {2} V F (b) lim_x!2 f (x) > 0 V F

(c) y = ^x₂ ^⇡₄ `e asintoto obliquo per x! 1 V F (d) x = 0 `e un punto di cuspide V F

(e) f `e decrescente su [0, 2[ V F (f) Im(f ) =R V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.