Analisi Matematica 1

Analisi Matematica 1 13 Gennaio 2020 COMPITO 1

1. Le radici cubiche del numero complesso

w =

✓ 4

p3 i+2 i

◆6

sono

Risp.: A : {e^i⇡3, 1, e^i5⇡3 } B : 4 C : {4e^i⇡3, 4, 4e^i5⇡3 } D : {4, 4e^i2⇡3 , 4e^i4⇡3 }

2. Sia ↵2 R. Il limite

n!+1lim [n^↵+ 4 ln(nⁿ) + sin(n!)] sin²

✓ 1 3p n

◆

arctan⇣

1 e ⁿ²¹ ⌘ vale

Risp.: A : +1 se ↵ < 3, ¹₉ se ↵ = 3 e 0 se ↵ > 3 B : 0 se ↵ < 3, ¹₉ se ↵ = 3 e +1 se ↵ > 3 C : 0 se ↵  3 e +1 se ↵ > 3 D : ¹₉ se ↵ 3 e +1 se ↵ > 3

3. Il limite

xlim!0

✓ 1 sin x

1 x

◆ 6e^x tan(2x) vale

Risp.: A : ¹₂ B : 2 C : 0 D : 12

4. La serie

+1X

n=1

nⁿ[ln[(2n)! + 7] ln[(2n)!]]

Risp.: A : diverge positivamente B : diverge negativamente C : oscilla D : converge

5. Siano ↵2 R e

f (x) = (x²

q 4

x² + ln|x| se x 6= 0

↵ se x = 0

Allora x = 0

Risp.: A : `e un punto di cuspide per ↵ = 0 ed `e punto di discontinuit`a eliminabile per ↵6= 0 B : `e un punto angoloso per ↵ = 0 ed `e punto di discontinuit`a eliminabile per ↵ 6= 0 C : `e un punto angoloso per ogni ↵ D : `e un punto di cuspide per ogni ↵

6. Sia data la funzione f (x) = xe ^(1+⇡)x2. Detti m = min_[0,1]f e M = max_[0,1]f , si ha

Risp.: A : m = 0 e M = e ^(1+⇡) B : m = 0 e M = ^p_2+2⇡¹ C : m = 0 e M = ^p_2+2⇡¹ e ¹² D : m = 0 e M = e

7. L’integrale

Z _{ln 2}

0

2e^2x+ 3e^x e^2x+ 3e^x+ 2dx vale

Risp.: A : ln 2 B : e² C : 2 D : ¹₂

8. Sia ˜y :]0, +1[! R la soluzione del problema di Cauchy (y^{0 y}_x = x²e^x

y(1) = 3 Allora lim_x!0+ y(x)˜

x vale

Risp.: A : 3 B : e³ C : ¹₃ D : 2

9. Sia data la funzione

f (x) = ln

✓(x 2)² x

◆ x Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =]0, 2[[]2, +1[ V F (b) lim_x!0⁺f (x) = 1 V F

(c) f ammette asintoto obliquo per x! +1 V F (d) f⁰(1) = 4 V F

(e) Su ]0, 2[ la funzione f `e decrescente V F (f) inf f = 1 V F

10. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 9 nell’apposito spazio sul foglio precedente.