Analisi Matematica 1 1 luglio 2016 COMPITO 1
1. Il luogo geometrico A dei punti z2 C tali che
ez|z| 2z+i = 1
`e dato da
Risp.: A : unione di una retta e di una circonferenza B : una circonferenza C : una retta D : unione di un punto e di una circonferenza
2. Il limite
nlim!1 1 2
n+ cos(n!) + 1 +3n n2 e3n+ n5p7+ sin nn vale
Risp.: A : 1 B : e 92 C : e 9 D : e5p7
3. Il limite
x!+1lim
2
x2 + ln⇣
x3 x3+1
⌘3
+ cosh1x 1 sin 1+xx2 1
x
vale
Risp.: A : 5 B : 2 C : +1 D : 52
4. Siano ↵2 R e f : [1, 2e] ! R, definita da
f (x) = 8<
: 4
Z x 1
ln t
t dt se 1 x e,
2 + (↵ 1)(x e)ln(x e) se e < x 2e . f `e continua in x = e se e solo se
Risp.: A : ↵ = 1 B : ↵ = 2 C : ↵ = 0 D : per nessun valore di ↵
5. Sia ↵ 0. L’integrale improprio
Z +1 1
1 + ↵x sinh x + 7x2dx converge se e solo se
Risp.: A : per ogni ↵ B : 0 ↵ 1 C : 0 ↵ < 7 D : 0 ↵ < e
6. L’integrale
Z 2 1
x 2
x(x2+ 1)dx vale
Risp.: A : 2 ln 2 + ln52 ⇡4 B : 2 ln 2 + arctan 2 ⇡4 C : 2 ln 2 + ln52+ arctan 2 ⇡4 D : 2 ln 2 + ln52+ arctan 2
7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8>
<
>:
y00+ y = 4 sin x y(0) = 1 y0(0) = 0 . Allora ˜y(⇡/2) vale
Risp.: A : 4 B : 2 C : 0 D : 2
8. Sia data la funzione
f (x) = exp
✓
| ln x| 1 3x
◆ . Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:
(a) dom(f ) =]0, +1[. V F (b) limx!0+f (x) = +1 V F
(c) y = x 13 `e asintoto obliquo per x! +1. V F (d) x = 1 `e punto di cuspide V F
(e) x = 13 `e punto di massimo relativo V F (f) f (]0, 1]\ dom(f)) =]0, e 13] V F
9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.
