Analisi Matematica 1

Analisi Matematica 1 26 Giugno 2015 COMPITO 1

1. Il luogo degli z2 C tali che

(z + 2i)(z 2i) 1

|z| + 1 2 R

`e dato

Risp.: A : dal cerchio di centro (0, 0) e raggio 1 B : dall’insieme vuoto C : dal solo punto (0, 2) D : dal cerchio di centro (0, 2) e raggio 1

2. Sia ↵2 R. Il limite

n!+1lim

arctan ((↵ 1)ⁿ)⇣

eⁿ¹ 1⌘ pn²+ 1 p

n² 1 vale

Risp.: A : 0 per ogni ↵ B : 0 se 0 < ↵ < 2, ^⇡₄ se ↵ = 2, ^⇡₂ se ↵ > 2, @ altrimenti C : 0 se 0 ↵  2, ^⇡₂ altrimenti D : 0 se ↵ < 2, ^⇡₄ se ↵ = 2, ^⇡₂ se ↵ > 2

3. Sia ↵2 R. Il limite

x!0lim⁺

x (e^x 1 log(1 + x))^2↵

arctan x sin x + x³ vale

Risp.: A : 0 se ↵ > ¹₂, ⁶₅ se ↵ = ¹₂, +1 se ↵ < ¹₂ B : 0 se ↵ < ¹₂, ⁶₅ se ↵ = ¹₂, +1 se ↵ > ¹₂ C : 0 se ↵ ¹₂, +1 se ↵ < ¹₂ D : ⁶₅ se ↵ = ¹₂, +1 se ↵ 6= ¹₂

4. Sia ↵2 R. L’integrale

Z ₊₁

0

⇥arctan log(1 + x²) ⇤3

x^↵log(1 + x²) converge per

Risp.: A : ↵ 5 B : ↵  1 e ↵ > 5 C : 1 < ↵ < 5 D : 1  ↵  5

5. Siano ↵ 0 e f :R ! R data da

f (x) = 8>

<

>:

e^{↵ 12x 3} se x > 3

1 se x = 3

|x 3|^{↵ 7} se x < 3.

x = 3 `e punto di discontinuit`a eliminabile se e solo se

Risp.: A : 7 ↵  12 B : ↵ 12 C : ↵  7 D : 7 < ↵ < 12

6. L’integrale

Z 1/2 0

2x³ p1 x² dx vale

Risp.: A : ²₃ ^3p₈³ B : 2(²₃ +^3p₈³) C : 2(²₃ ^3p₈³) D : ^3p₈³

7. Sia ˜y la soluzione del problema 8>

><

>>

:

y⁰⁰ y⁰ 2y = e ^x y(0) = 3

x!+1lim y(x)e ^2x= 1 Allora ˜y(1) vale

Risp.: A : ⁵₃e ¹+ e² B : ₃⁵ + e² C : e ¹+ e² D : 3e²

8. Sia data la funzione

f (x) = 2p

2 x p

|4e^x 6| Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =R V F

(b) lim_x!+1f (x) = +1 V F (c) f `e inferiormente limitata V F (d) y = 2p

2 x p

6 `e asintoto obliquo per x! 1 V F (e) f `e sempre derivabile nel suo dominio V F

(f) x = log 6 `e punto di massimo relativo V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.