Analisi Matematica 1

Analisi Matematica 1 3 Settembre 2018 COMPITO 1

1. Il luogo dei punti z2 C tali che

2|z(2 + i)|² = z²+ ¯z²+ 4

`e dato da

Risp.: A : una circonferenza B : due rette C : un’ellisse D : un’iperbole

2. Il limite

n!+1lim



3

q

1 +^3n!_nn 1 [(n + 2)ⁿ eⁿ]

1

3n! n sin(n + 1) vale

Risp.: A : 3 B : 3e² C : 3e³ D : +1

3. Il limite

xlim!0⁺ sin x

x 1 + x² ln(3x) x^5x2 1 vale

Risp.: A : ¹₆ B : ¹₅ C : 1 D : _e³5

4. Sia ↵2 R. Allora la serie

+1

X

n=1

7 n ln

✓n + 7 n

◆ ↵ 3

converge se e solo se

Risp.: A : ↵ ⁷₂ B : ↵  4 C : ↵ > 4 D : ↵ > ⁷₂

5. Si consideri la funzione f :R ! R data da

f (x) = 1 1 + ex³.

Allora le rette tangenti al grafico di f passanti per il punto ( 2, 0) hanno coefficiente angolare Risp.: A : 0,^1+e₂₇ B : n

0,_1+e²⁷ o

C :n

0,_1+e¹ o

D :n

0, _1+e²⁷ o

6. L’integrale

Z 2 1

2x + 6 x²+ 2x + 4dx vale

Risp.: A : ln 4 B : ln 4 +p¹

3arctanp

3 C : ln 4 +p⁴

3arctanp

3 D : ln 4 + 4 arctanp 3

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8>

<

>:

y⁰⁰+ 4y = cos(2x) y(0) = 0

y⁰(0) = 1.

Allora ˜y(⇡/4) vale

Risp.: A : ¹₂ +₁₆^⇡ B : ¹_{2 16}^⇡ C : ¹₂ D : ¹₂ +₁₆^⇡

8. Sia data la funzione

f (x) = 7 sinh⇡

2(|x| x)i

+ 2 ln [x(|x| + x) + 1] . Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false.

(a) limx! 1f (x) non esiste V F

(b) La retta tangente nel punto di ascissa x = 1 ha equazione y = 7⇡(x + 1) V F (c) x = 0 `e un punto angoloso V F

(d) Su [0, +1[ f `e decrescente V F (e) Sull’intervallo h

p1

2, +1h

risulta f⁰⁰ 0 V F (f) Im(f ) = [ 7⇡, +1[ V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.