Analisi Matematica 1

Analisi Matematica 1 14 Gennaio 2016 COMPITO 1

1. Le soluzioni z2 C dell’equazione 1

4z⁵+ z³+ 2iz²+ 2³i = 0 sono date da (non tenendo conto della molteplicit`a)

Risp.: A :n

2i, 2i, 2⇣ p 3 2

1 2i⌘

, 2⇣p 3 2

1 2i⌘o

B :n

2i, 2i, 2⇣ p 3 2 +¹₂i⌘

, 2⇣ p 3 2

1 2i⌘o C :n

2i, 2i, 2⇣

p1 2

p1 2i⌘

, 2⇣

p1 2

p1 2i⌘o

D : n

2, 2i, 2i, 2⇣ p 3

2 1

2i⌘ , 2⇣p

3

2 1

2i⌘o

2. Sia ↵ > 0. Il limite

n!+1lim

⇣1 + sin_n^⇡n2+7²

⌘[n(n + 1)! + 1]²

(n! + 1)³⇣

1 e^(n+1)!3 ⌘ q

n^(2+2p2)↵+ 7 sin(nⁿ) esiste finito se e solo se

Risp.: A : ↵ < ₁₊⁵p

2 B : 8↵ C : ↵ <₁₊¹p

2. D : ↵ ₁₊⁵p 2

3. Il limite

xlim!0⁺

1 + x² e^{x sin x}+ ln 1 +⁴₃x⁴

⇥e^{x 1}₂(1 + e^2x)⇤

tan(4x²) vale

Risp.: A : ³₄ B : 1 C : ¹₂ D : ¹₆

4. Sia ↵2 R. La serie ₁

X

n=7

n²+ n! + cos(nⁿ) (n + 1)ⁿ+ sin_n+1^↵ + e²ⁿ

Risp.: A : converge se ↵ > 1 B : converge se ↵ < 1 C : converge per ogni ↵ D : diverge positivamente per ogni ↵

5. Sia ↵2 R \ {0}. Allora la funzione f : R ! R data da

f (x) = 8>

>>

<

>>

>:

e^{sin xx} e

↵ arctan(x²) se x6= 0

1 se x = 0

`e continua sul suo dominio se e solo se

Risp.: A : per nessun valore di ↵ B : ↵ = ^e₆ C : ↵ = ¹₆ D : ↵ = e

6. Sia F :R ! R la primitiva di

f (x) = e^x

(2 + e^x)(1 + 2e ^x) tale che lim_{x! 1}F (x) = ln 2. Allora F (0) vale

Risp.: A : ¹₉ B : ln 3 C : ^{ln 3}₃ D : ln 3 ¹₃

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy

(xy⁰+ 3y = _x²2

y(1) = 3 Allora limx!+1x²y(x) vale˜

Risp.: A : 1 B : 3 C : 2 D : 0

8. Sia data la funzione

f (x) =p

|x|e^{2 x2} Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =R. V F

(b) y = 2 `e asintoto orizzontale per x! +1. V F (c) f ammette asintoto obliquo per x! 1. V F (d) x = 0 `e punto di cuspide. V F

(e) x = 1 `e punto di massimo relativo. V F (f) f ([0, +1[) =h

0, e¹²i

. V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.