Ottica geometrica 3

Ottica geometrica 3

13 gennaio 2014

Diottro convesso, convenzione dei segni, fuochi Diottro concavo, ingrandimento

Diottro piano

Diottro convesso

• Due mezzi trasparenti con indice di rifrazione

diverso, separati da una superficie, costituiscono un diottro

• Noi studieremo i diottri con superficie sferica o piana

• Supponiamo che il mezzo di sinistra abbia indice n

e il mezzo di destra n

e che n

< n

N

H C

P V Q

  ’

i

t

• Come per gli specchi abbiamo le relazioni geometriche

 t

 ' 

 

 

 i

2

Diottro convesso

• Ora la relazione tra i e t è data dalla legge di Snell

• Ricordiamo le relazioni tra angoli e segmenti (y = NH)

N

H C

P V Q

  ’

i

t



n

sin t  n

sini

CH NH

tg



NH tg 

3

Diottro convesso

• In approssimazione di Gauss (AG) confondiamo il seno e la tangente di un angolo con l’angolo stesso e VH~0

• La legge di Snell diviene allora

• Moltiplicando per n1 e per n2 e sottraendo membro a membro si ottiene

N

H C

P V Q

  ’

i

t

• ovvero



n

t  n

i



t     '



i    



n

     ^{ n}

 ^{   '} 

  ^





1

n ' n n

n   

R y tg  /







y tg  /

 



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Diottro convesso

• Sostituendo i valori degli angoli in AG, troviamo l’eq.

del diottro

• Poiché non vi compare la posizione di N (cioè y) il diottro è uno strumento stigmatico (nell’AG)

N

H C

P V Q

  ’

i

t



n

o  n

i  n

 n

R

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Convenzione dei segni

• Anche per il diottro vale una convenzione sui segni delle distanze che permette di usare l’equazione trovata in tutti i casi (diottro convesso, concavo; oggetto in diverse

posizioni)

– La luce proviene da sinistra (spazio d’incidenza) e va a destra (spazio di trasmissione)

– o è positiva se l’oggetto è nello spazio di incidenza, negativa se giace nello spazio di trasmissione

– i è positiva se l’immagine è nello spazio di

trasmissione, negativa se giace nello spazio di incidenza

– R è positiva se il centro di curvatura è nello spazio di trasmissione, negativa se giace nello spazio di

incidenza

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Fuoco posteriore

• Facendo tendere il punto oggetto P all’infinito,

l’immagine Q tende ad un punto detto fuoco posteriore

• La posizione del fuoco posteriore (i = f₂) è

V C F₂

i



f

 n

n

 n

R

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Fuoco anteriore

• Quando il punto oggetto P è nel fuoco anteriore, l’immagine Q tende all’infinito

• La posizione del fuoco anteriore (o = f₁) è

V C F₁

i



f

 n

n

 n

R

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Eq. del diottro convesso

• Con la definizione delle due distanze focali si può scrivere l’eq. del diottro nella forma

• Le distanze focali sono sempre diverse e stanno nel rapporto



f

o  f

i 1



f

f

 n

n

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Diottro concavo

• Ora le relazioni geometriche sono

• Da cui

• E grazie alle convenzioni dei segni diventa

N

C H V

P Q

 ’ i 



   ' t



    i



n

o  n

i   n

 n

R



n

o  n

i  n

 n

R

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Immagine di punti fuori asse

• Ripetiamo il ragionamento fatto per gli specchi

• Sia P un punto fuori asse, è sempre possibile tracciare una retta passante per P e il centro C della superficie sferica e ripetere le costruzioni fatte per punti sull’asse, sostituendo quest’ultimo con la retta PC

V C P’

Q’

P

Q

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Immagine di punti fuori asse

• Tracciamo due superfici sferiche, una di raggio CP e l’altra di raggio CQ e siano P’ e Q’ le intersezioni con l’asse (P’C=PC, Q’C=QC)

• La relazione oggetto-immagine tra P e Q è la medesima che tra P’ e Q’

• Quindi il diottro trasforma una superficie sferica oggetto PP’ in una superficie sferica immagine QQ’

V C P’

Q’

P

Q

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Immagine di punti fuori asse

• Grazie all’approssimazione parassiale, le

porzioni di superfici sferiche sono così piccole da poter essere considerate piane

• I diottri trasformano quindi superfici oggetto piane perpendicolari all’asse in superfici

immagine piane perpendicolari all’asse

V C P’

Q’

P

Q

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Tracciamento dell’immagine

• Il diottro trasforma un segmento oggetto perpendicolare all’asse in un segmento immagine perpendicolare all’asse, basta quindi considerare i due punti estremi dell’oggetto per conoscere l’estensione dell’immagine

• Essendo il diottro stigmatico, bastano due raggi per determinare un punto immagine

• I raggi principali emessi dall’oggetto sono, in questo caso – Il raggio parallelo all’asse che viene rifratto nel fuoco posteriore – Il raggio passante per il fuoco anteriore che viene rifratto

parallelamente all’asse

– Il raggio passante per il centro di curvatura che viene rifratto senza deviazione

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Ingrandimento

• Usiamo il raggio incidente nel vertice: dai triangoli PP’V e QQ’V abbiamo

• Dividendo membro a membro



PP'  P'V  tg 



QQ'  Q'V  tg 



QQ'

PP'  Q'V  tg 

P'V  tg 

^

Q'V  

P'V  

^

Q'V P'V

n

n



G  I

O   n

n

i o

C V

P

P’

Q

_i Q’

_t

• E usando la

convenzione dei segni

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Diottro piano

• In questo caso R è infinito, per conseguenza

• Il segno negativo significa che l’immagine non sta

nello spazio di trasmissione, ma in quello d’incidenza (è virtuale)

• Poiché n₁ < n₂ l’immagine è più distante dalla

superficie del diottro di quanto lo sia l’oggetto; se il mezzo con n maggiore fosse a sinistra avverrebbe l’inverso, l’immagine sarebbe più vicina alla superficie



i   n

n

o

Q P

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Diottro piano

• L’ingrandimento è dato da

• Cioè l’immagine è dritta e delle stesse dimensioni dell’oggetto



G  I

O   n

n

i

o   n

n

 n

n



  

 1

P

Q’ P’

Q

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Esercizio: diottro+specchio

• Sia dato un diottro piano di con indici di rifrazione n₁, n₂ accoppiato ad uno specchio piano posto a distanza s dalla superficie del diottro

• Trovare l’immagine del punto oggetto P

s n₁=1 n₂=n

P V_D V_S

Prima immagine del diottro (Q

)

• Distanza oggetto PV_D=o=o₁

• Distanza immagine Q₁VD=i1

• Equazione del diottro

• Da cui

s n₁=1 n₂=n P

Q₁ V_D V_S

1 0

1 1



 i n o

1

1 no

i  

Immagine dello specchio(Q

)

• Distanza oggetto Q₁V_S=o₂=-i₁+s

• Distanza immagine Q₂VS=i2

• Equazione dello specchio

• Da cui

s n₁=1 n₂=n P

Q₁ V_D V_S Q₂

1 0 1

2 2



 i o

2

2 o

i  

Seconda immagine del diottro (Q

)

• Distanza oggetto Q₂V_D=o₃=-i₂+s

• Distanza immagine Q₃VD=i3=i

• Equazione del diottro

• Da cui

• Effettuando le sostituzioni _s

n₁=1 n₂=n P

Q₁ V_D V_S Q₃ Q₂

1 0

3 3



 i o

n

n i₃   o³

n o s

n o s

n

s no

n s i

n s o

n s i

n i o

i 2 2 2 2

1 1

1 2

2 3

3                    

