Ottica geometrica 2
13 gennaio 2014 Specchio convesso
Immagine di punti fuori asse Raggi principali
Convenzione dei segni Ingrandimento
Specchio piano
Punti fuori asse all’infinito
Specchio convesso
• Le relazioni angolari sono ora
• Sommando membro a membro e semplificando
• Come nei casi precedenti approssimiamo l’angolo con la tangente, ottenendo
' r
i
' 2
1
o 1
i 2 R
V C
P Q
N
H
’
i r
Specchio convesso
• Anche in questo caso se P tende all’infinito ( ) il punto immagine è detto fuoco (i = f), che in questo caso è virtuale
o
f R 2
V F C N i
r
Simboli degli specchi
• Specchio concavo
• Specchio convesso
• Specchio piano
Immagine di punti fuori asse
• Sia P un punto fuori asse, è sempre possibile tracciare una retta passante per P e il centro C della superficie sferica e ripetere le costruzioni fatte per punti sull’asse, sostituendo quest’ultimo con la retta PC
C V
P
Q
V C P
Q
Immagine di punti fuori asse
• Tracciamo due superfici sferiche, una di raggio CP e l’altra di raggio CQ e siano P’ e Q’ le intersezioni con l’asse (P’C=PC, Q’C=QC)
• La relazione oggetto-immagine tra P e Q è la medesima che tra P’ e Q’
• Quindi lo specchio trasforma una superficie sferica oggetto PP’ in una superficie sferica immagine QQ’
C V
P P’ Q
Q’ V C
P
Q
P’ Q’
Immagine di punti fuori asse
• Grazie all’approssimazione parassiale, le
porzioni di superfici sferiche sono così piccole da poter essere considerate piane
• Gli specchi trasformano quindi superfici oggetto piane perpendicolari all’asse in superfici
immagine piane perpendicolari all’asse
C V
P P’ Q
Q’ V C
P
Q
P’ Q’
C V P
P’ Q
Q’
Tracciamento dell’immagine
• Per quanto appena detto, per determinare l’immagine di un oggetto PP’ esteso trasversalmente all’asse basta trovare l’immagine Q, Q’ dei punti oggetto estremi P e P’
• Convenzionalmente un oggetto esteso viene indicato con una freccia
• Per strumenti stigmatici la determinazione di un punto
immagine Q necessita di soli due raggi
• Q è l’intersezione dei due raggi riflessi
Raggi principali
• Esistono alcuni raggi che permettono il tracciamento dell’immagine in modo molto semplice, essi sono:
– Il raggio parallelo all’asse, che viene riflesso nel fuoco – Il raggio passante per il fuoco, che viene riflesso
parallelamente all’asse
– Il raggio passante per il centro dello specchio, che viene riflesso all’indietro sovrapposto al raggio
d’incidenza
– Il raggio passanti per il vertice dello specchio che viene riflesso simmetricamente rispetto all’asse
Eqq. degli specchi
• Abbiamo fin qui trovato due eqq. per lo specchio concavo
• e una per lo specchio convesso
• Per economia di pensiero è stata concepita una convenzione che attribuisce un segno alle
lunghezze o, i, R
• Questo permette di usare una sola eq. in tutti i casi
R i
o
2 1
1
1
o 1
i 2 R
1
o 1
i 2
R
Convenzione dei segni
• La luce proviene da sinistra (spazio d’incidenza)
• La distanza oggetto o=PV e` positiva se P sta nello spazio di incidenza, negativa se sta da parte opposta (oggetto virtuale)
• La distanza immagine i=QV e` positiva se Q sta nello spazio di riflessione (uguale allo spazio d’incidenza), negativa se sta da parte opposta
V
P o > 0 V o < 0 P
Convenzione dei segni
• Il raggio di curvatura e` positivo se C sta nello spazio di riflessione, negativo se sta da parte opposta
• La distanza y dall’asse di un punto oggetto o immagine e`
positiva se sta sopra l’asse, negativa se sta sotto
V C
R < 0 R > 0
C V
y < 0 y > 0
13
Equazione degli specchi
• Le eqq. degli specchi si potrebbero ora riscrivere
• E grazie alla convenzione, divengono una sola eq.
• Usando la distanza focale si può scrivere l’eq.
dello specchio anche nelle due forme
1
o 1
i 2 R
1
o 1
i 2 R
1
o 1
i 2 R
R i
o
2 1
1
f
o f
i 1 1
o 1
i 1
f
Ingrandimento trasversale (G)
• Per oggetti estesi, è il rapporto tra la dimensione trasversale dell’immagine e dell’oggetto
• In dipendenza del segno di I e O l’ingrandimento può essere positivo o negativo
• È positivo quando immagine e oggetto hanno lo stesso verso (immagine dritta)
• È negativo quando immagine e oggetto hanno verso opposto (immagine capovolta)
G QQ'
PP' I O
G per specchi concavi
• Usiamo il raggio incidente nel vertice: per la similitudine dei triangoli PP’V e QQ’V, abbiamo
• Ovvero, tenendo conto della convenzione dei segni
C V
P
P’
Q’
QQ'
PP' Q'V P'V
G I
O i
o 0
G per specchi convessi
• Usiamo il raggio incidente nel vertice: per la similitudine dei triangoli PP’V e QQ’V, abbiamo
• Ovvero, tenendo conto della convenzione dei segni
QQ'
PP' Q'V P'V
V C P
Q
P’ Q’
G I
O i
o 0
Specchio piano
• Per uno specchio piano R è infinito, di conseguenza
• L’immagine è oltre lo specchio (è virtuale) e posta simmetricamente all’oggetto rispetto allo specchio
• Lo specchio piano è rigorosamente stigmatico per tutti i punti dello spazio oggetto
i o
P Q
i
r N
H
• Infatti scelto un raggio arbitrario PN, i triangoli
rettangoli PHN, QHN sono
uguali e quindi PH=QH,
Specchio piano
• Qualunque retta P’H perpendicolare allo specchio può essere considerata un asse
• Si dimostra facilmente che l’oggetto PP’ perpendicolare a P’H ha come immagine QQ’, pure perpendicolare P’H
• Per l’ingrandimento abbiamo
• cioè l’immagine è dritta e della stessa dimensione dell’oggetto
G I
O i
o 1
P’ Q
H
P Q’
Immagine di punti all’infinito
• Immaginiamo un fascio di luce parallelo che formi un’angolo con l’asse
• Questo accade, p.e., per oggetti molto lontani come le stelle
• Per trovare l’immagine Q usiamo i raggi passanti per V e C
C
V C
V
Immagine di punti all’infinito
Piano focale
• E` il piano perpendicolare all’asse passante per il fuoco
• Il punto Q, indipendentemente da , giace sul piano focale e la sua posizione e` definita dall’intersezione con uno dei raggi seguenti
– raggio riflesso passante per il centro
– raggio riflesso parallelo all’asse (incidente nel fuoco) – Raggio riflesso nel vertice
Q C
V
F
