UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA
Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Ingegneria dell’Informazione III appello di Fisica Generale 2 – 23 Giugno 2020
Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________
Problema 1
Tra due superfici cilindriche, coassiali, indefinite, di raggio R1 e R2 > R1 rispettivamente, è distribuita carica con densità di carica volumetrica r. Calcolare:
1) la forza subita da un protone che si trova in prossimità della superficie di raggio R2 F 2) il lavoro fatto per portare il protone al centro comune dei cilindri W Sono noti i valori di R1, R2 e r, oltre alle costanti fondamentali.
Esprimere i risultati solo in termini di queste grandezze.
1) La carica totale in una porzione di altezza h dei cilindri è 𝑞 = 𝜌𝑉 = 𝜌𝜋(𝑅!!− 𝑅"!)ℎ
Applicando ilteorema di Gauss ad un cilindro di altezza h e raggio R2 si ha pertanto 𝐸2𝜋𝑅!ℎ = 𝑞
𝜀#=𝜌𝜋(𝑅!!− 𝑅"!)ℎ 𝜀#
da cui si ricava
𝐸 =𝜌(𝑅!!− 𝑅"!) 2𝜀#𝑅! = e pertanto il modulo della forza subita dal protone è
𝐹 = 𝑒𝐸 = 𝜌𝑒 2𝜀#
(𝑅!!− 𝑅"!) 𝑅!
2) Il campo elettrico è nullo per r < R1 e, ripetendo il calcolo precedente, nell’intervallo R1 < r < R2 è 𝐸0⃗ =𝜚3𝑟! − 𝑅"!5
2𝜀#𝑟 = 𝜌
2𝜀#6𝑟 −𝑅"! 𝑟7 𝑢0⃗$
per cui la differenza di potenziale fra la superficie esterna e il centro è Δ𝑉 = − : 𝐸0⃗ ∙%!
%"
𝑑𝑟0000⃗ = 𝜚𝜌
2𝜀#: 6𝑟 −𝑅"! 𝑟7 ∙
%!
%"
𝑑𝑟 = 𝜌 2𝜀#6𝑅!!
2 −𝑅"! 27 − 𝜌
2𝜀#ln𝑅! 𝑅"
e quindi si deve spendere il lavoro
𝑊 = 𝑒Δ𝑉 = 𝜌𝑒
2𝜀#@(𝑅!!− 𝑅"!) 2 − ln𝑅!
𝑅"A
R1
R2
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Problema 2
Una spira quadrata PQRS, di lato ℓ, giace sul piano xy come in figura. In direzione z, uscente dal foglio e perpendicolare alla spira, è presente un campo magnetico di intensità 𝐵0⃗ = 𝛼𝑥𝑢0⃗&, in cui il coefficiente a varia linearmente nel tempo (a = b t con b costante). Conoscendo la resistenza R della spira e sapendo che la spira viene tenuta a riposo, calcolare all’istante t =1s,
a) la corrente che circola nella spira i
b) il modulo della forza agente sulla spira F
Sono noti i valori di ℓ, b e R.
Esprimere i risultati solo in termini di queste grandezze.
a) Il flusso del campo magnetico attraverso un elemento d’area della spira è 𝑑Φ'= 𝐵𝑑𝐴 = 𝛼𝑥ℓ𝑑𝑥
per cui il flusso attraverso tutta la spira è
Φ'= : 𝛼ℓ𝑥𝑑𝑥ℓ
#
=𝛼ℓ) 2 =ℓ)
2 𝛽𝑡 e quindi la corrente che scorre, in verso orario, sul filo è
𝑖 =ℇ* 𝑅 =1
𝑅 𝑑Φ'
𝑑𝑡 =𝛽ℓ) 2𝑅
b) La forza agente sulla spira è la somma vettoriale delle forze, date dalla seconda legge elementare di Laplace, agenti su ciascun suo lato. La corrente è costante, ma non lo è il campo magnetico sui diversi lati del quadrato.
Sul lato PS la forza è nulla, essendo nullo il campo magnetico in ogni suo punto; sui lati SR e QP le forze sono eguali e opposte, perché la corrente ha direzione opposta sui due lati. Quindi solo la forza sul lato RQ determina la forza netta sulla spira.
Su questo lato il campo magnetico è uniforme e all’istante t , essendo in tale istante a = b, vale 𝐵 = 𝛼ℓ = 𝛽ℓ
e il modulo della forza è
𝐹 = 𝑖ℓ𝐵 =𝛽!ℓ+ 2𝑅 verso sinistra.
x y
P Q
S R
l
B
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Problema 3
Un’onda non polarizzata, monocromatica di lunghezza d’onda l, incide normalmente su un reticolo di diffrazione.
L’onda rifratta in direzione del massimo principale d’interferenza del terzo ordine incide, a grande distanza dal reticolo, a sua volta su una lastra di materiale dielettrico di indice di rifrazione n, posta ortogonalmente al reticolo. Analizzando la luce riflessa dalla lastra si osserva che è polarizzata e ha intensità 𝐼$. Determinare:
1) il passo del reticolo a
2) l'intensità del massimo principale del terzo ordine dell’onda rifratta I3
Sono noti i valori di l, n e 𝐼$.
Esprimere i risultati solo in termini di queste grandezze e del simbolo 𝜃) (vedi figura).
1) L’onda riflessa è polarizzata, per cui l’incidenza sulla lastra avviene all’angolo di Brewster 𝜃*= tan,"Q1
𝑛S
per cui l’angolo di propagazione dell’onda rifratta in direzione del massimo principale del terzo ordine è 𝜃)=𝜋
2− 𝜃*=𝜋
2− tan,"Q1 𝑛S Inoltre tale massimo è determinato dalla condizione
𝑠𝑖𝑛 𝜃)=3𝜆
𝑎 ⇒ 𝑎 = 3𝜆
𝑠𝑖𝑛 𝜃)
c) L’onda riflessa è polarizzata sul piano s, per cui la sua intensità è, ricordando che in riflessione la sezione del fascio non cambia,
𝐼$= 𝑅-𝐼)-
ma la componente s della luce incidente, essendo non polarizzata, costituisce solo metà della potenza incidente, per cui
𝐼)= 2𝐼$⁄𝑅-= 2𝐼$⁄sin!𝜃)
essendo 𝑅-= sin!𝜃).
lastra reticolo
3
I3 Ir
