La lezione di oggi

La cinematica Velocità

Accelerazione

Il moto del proiettile Salto verticale

La lezione di oggi

Meccanica e cinematica

!  Meccanica: studio del moto gli oggetti

!  forze esterne

!  dimensioni

!  massa

!  distribuzione della massa

!  Cinematica (dal greco kinema, moto):

studio del moto

!  indipendentemente da cosa lo ha causato

!  unidimensionale: moto lungo una linea retta

!  moto uniforme e accelerato

!  Posizione, cammino, spostamento

!  Velocità, accelerazione

!  Il moto rettilineo uniforme in 2D

!  Il generico moto in 2D

!  Il moto del proiettile

Sistema di

coordinate cartesiane

origine 0

verso direzione

unità di misura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m

scala

Sistema di

coordinate cartesiane

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m

x

è maggiore di x

x

> x

x > x

Sistema di

coordinate cartesiane

x

è minore di x

x

< x

x

< x

m 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Posizione

La persona in figura è alla posizione x = 3 m

m 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Cammino

CAMMINO (quantità sempre positiva)

lunghezza complessiva del tragitto

Casa amico ! Casa tua ! Drogheria

Cammino = 2.1 km + 4.3 km = 6.4 km

Spostamento

SPOSTAMENTO (positivo o negativo)

Cambiamento di posizione = (Posizione finale – Posizione iniziale) Δx = x

– x

Δx = x

– x

Esercizio

Un giocatore di scacchi esegue la sua mossa, spostando la regina di 4 caselle verso nord e di 2

caselle verso ovest (lato casella = 2.5 cm).

Determinare il cammino totale

percorso dalla regina e lo spostamento.

N

E S

W

cammino totale = 6 caselle

= 6 x 2.5 cm = 15 cm

spostamento = √ 16 + 4 = 4.5 caselle

= 4.5 x 2.5 cm = 11.25 cm

!  Posizione, cammino, spostamento

!  Velocità, accelerazione

!  Il moto rettilineo uniforme in 2D

!  Il generico moto in 2D

!  Il moto del proiettile

•  Velocità media

Unità di misura: m/s

Moto rettilineo. Legge oraria

•  Descrive la posizione di un oggetto in funzione del tempo

•  A fianco è data una

rappresentazione grafica di un esempio di legge oraria

•   Questa rappresentazione è utile per introdurre il concetto di velocità

1 2

1 2

t t

x x

t v x

−

= − Δ

= Δ

Velocità media

La velocità è una

grandezza vettoriale.

è la pendenza della retta che unisce due punti sulla curva x(t)

v

m/s 3 2

6

: esempio Nell'

=

= s

v m

Velocità media

Dimensioni: [L T ^-1 ]

Unità di misura (Sistema Internazionale): m s ^-1 NOTA

" Tempo impiegato è sempre > 0

" Spostamento può essere < > 0

velocita' media = spostamento tempo impiegato

velocita' media = Δx

Δt = x

- x

t

- t

Moto rettilineo lungo x

Velocità istantanea

v = lim

Δt→0

Δx

Δt = dx dt

Il corpo varia la sua posizione in modo continuo da un punto al successivo, percorrendo in “piccoli” intervalli di tempo “piccole”

traiettorie.

Accelerazione media

i f

i f

iniziale finale

iniziale finale

m

t - t

v - v t

- t

v - v

t

a v = =

Δ

= Δ

impiegato tempo

velocita' media

one

accelerazi = [L T ]

[T]

] T

[L

=

Unità di misura (Sistema Internazionale): m s

La interpreto come:

in 1 secondo, la velocità è variata di tot metri al secondo

Accelerazione istantanea

a = lim

Δt→0

Δv

Δt = dv

dt = d

x dt

NOTA

Quando parleremo di velocità e accelerazione, intenderemo SEMPRE velocità istantanea e accelerazione istantanea.

Se si tratta di velocità (accelerazione) media,

lo si deve indicare esplicitamente

cost a

at;

v

v = ₀ + =

Le equazioni del moto uniformemente accelerato

at v

v = ₀ +

a v

t x

t

v

x

a = cost

v aumenta linearmente con il tempo

x aumenta con il

quadrato del tempo

t v x

x = ₀ +

2 0

0

at

2 t 1

v x

x = + +

( )

[ ^{v v at} ] ^{v 1 / 2 at}

1/2

v =

+

+ =

+

Velocità vs. spazio

v = v ₀ + at = ) t = v v ₀ a

x x ₀ = v ₀

✓ v v ₀ a

◆

+ 1

2 a v ₀ ² + v ² 2vv ₀ a ²

2a (x x ₀ ) = 2v ₀ (v v ₀ ) + v ₀ ² + v ² 2vv ₀

v ² = v ₀ ² + 2a (x x ₀ )

x x

= v

t + 1

2 at

Esercizio

Un bambino lancia dal balcone una pallina verso l’alto, verticalmente, con velocità iniziale di 6 m/s.

Determinare:

!  l’altezza massima raggiunta dalla pallina (spazio totale percorso dall’oggetto in salita)

!  il tempo impiegato dalla pallina per raggiungere

la massima altezza

Esercizio

Soluzione

!  Per determinare l’altezza massima raggiunta dalla pallina nel suo moto

verticale, si prende in considerazione la legge oraria del moto uniformemente accelerato (con s

= 0; a = -g = -9.8 m/s

)

s = h

= (6 m/s)

/ (2×9.8 m/s

) = 1.8 m

!  Il tempo impiegato dalla pallina a

raggiungere l’altezza massima si ricava da:

v

-g 0 = v

g t = ) v

= g t

s = v

t 1

2 g t

= g t

1

2 g t

= 1

2 g t

= v

2g

v ₀ = g t = ) t = v ₀

g = 0.6 s

Vettori posizione e spostamento

Vettore Posizione

ovvero

sono nel punto P

P

Vettore Spostamento

ovvero

vado da P

a P

P

P

r - r

r  

 =

Δ

Vettore velocità

t v _m r

Δ

= Δ

 

" Δ t è uno scalare

"   v _m e sono paralleli  r "

Δ

t lim r

v t 0 Δ

= Δ

→ Δ

 

La velocità istantanea è tangente alla traiettoria

in ogni istante

! 

e sono paralleli...

Il vettore accelerazione

t a _m v

Δ

= Δ

 

t lim v

a t 0 Δ

= Δ

→ Δ

  Δ v

... ma ... cosa importantissima ... mentre segue il moto, in generale non lo segue !

l’accelerazione non è generalmente parallela a  ^v

a 

Esercizio

Un camion si muove di moto rettilineo uniforme percorrendo una distanza pari a 110 km in 57 minuti.

Determinare la velocità media del camion.

spazio percorso Δx = 110 km

tempo impiegato Δt = 57 min

= (57 / 60) = 0.95 h"

Soluzione

v

= Δx / Δt

= 110 km / 0.95 h

= 116 km/h

!  Posizione, cammino, spostamento

!  Velocità, accelerazione

!  Il moto rettilineo uniforme in 2D

!  Il generico moto in 2D

!  Il moto del proiettile

Il moto in due dimensioni

! 

e.g.: il moto del proiettile

! 

Si applica a qualunque corpo sottoposto solo alla forza gravitazionale (forza peso) ! accelerazione costante

! 

Proiettile "! Generico corpo

! 

Il segreto:

Applicare le equazioni del

moto unidimensionale

lungo i due assi cartesiani

Moto rettilineo uniforme in 2D

Moto rettilineo uniforme in 2D

O

Moto rettilineo uniforme in 2D

O

Moto rettilineo uniforme in 2D

O

A

Moto rettilineo uniforme in 2D

A

O

costante

v 

=

Moto rettilineo uniforme in 2D

Moto rettilineo uniforme in 2D

Moto rettilineo uniforme in 2D

-1 0

0

v costante 0.26 ms

v  = = =

s t = 5.0

Condizioni al contorno

m 1.3 (5.0s)

) ms (0.26

t v

d =

⋅ =

⋅ =

! ^{x d cos θ (1.3 m) (cos 25 ) 1.2 m}

0

=

⋅

=

⋅

=

m 0.55 )

25 (sen m)

(1.3 θ

sen d

y = ⋅ = ⋅

=

-1 0

-1 0

0x

v cos θ (0.26 ms ) (cos 25 ) 0.24 ms

v = ⋅ = ⋅ =

-1 0

-1 0

0y

v sen θ (0.26 ms ) (sen 25 ) 0.11 ms

v = ⋅ = ⋅ =

m 1.2 s)

(5 ) ms (0.24 t

v

x =

⋅ =

⋅ =

m 0.55 s)

(5 )

ms (0.11 t

v

y =

⋅ =

⋅ =

-1 0

0

v costante 0.26 ms

v  = = =

s t = 5.0

Moto rettilineo uniforme

in 2D

Condizioni al contorno

!

Moto rettilineo uniforme in 2D:

equazioni generali t

v x

x = ₀ + _0x ⋅ t v

y

y = ₀ + _0y ⋅

Composizione dei moti: esempio

Una persona sta scendendo dalla scaletta di un vagone merci. Il vagone si muove di moto rettilineo uniforme con v=0.70 m/s, e la persona scende con moto rettilineo uniforme con v=0.20 m/s.

Quali sono modulo e verso della velocità della persona rispetto al suolo?

V

velocità del treno rispetto al suolo

V

velocità della persona rispetto al treno

V

θ"

Esercizio

Soluzione

Si esprimono in componenti i vettori velocità del treno rispetto al suolo (v

) e della persona rispetto al treno (v

):

Il vettore velocità della persona rispetto al suolo è quindi

Modulo e verso di questo vettore sono dati rispettivamente da … v 

= (0.70 m/s) ˆi + (0 m/s) ˆj 

v

= (0 m/s) ˆi + (- 0.20 m/s) ˆj

m/s 0.70

v 

=

v 

= [(0.70 + 0) m/s] ˆi + [(0- 0.20) m/s] ˆj m/s 0.20

- v 

=

o 1

- ps -1

y,

- 0.20 ms atan (- 0.2857) - 16 atan

v atan v

θ = = = =

1 - 2

2 2

ps y, 2

ps x, ps

ps

v v v ( 0 . 70 ) ( 0 . 20 ) 0 . 73 ms

v =  = + = + − =

!  Posizione, cammino, spostamento

!  Velocità, accelerazione

!  Il moto rettilineo uniforme in 2D

!  Il generico moto in 2D

!  Il moto del proiettile

Generico

moto in 2D con accelerazione costante

x = x

+ v

t + 1

2 a

t

y = y

+ v

t + 1

2 a

t

v

= v

+ a

t

v

= v

+ a

t

Nota

Questo sistema di equazioni permette la soluzione di

qualunque problema di cinematica in 2 dimensioni

(accelerazione costante)

!  Posizione, cammino, spostamento

!  Velocità, accelerazione

!  Il moto rettilineo uniforme in 2D

!  Il generico moto in 2D

!  Il moto del proiettile

Il moto di un proiettile

Un proiettile è un qualunque corpo che, avendo una certa velocità iniziale, sia sottoposto esclusivamente

al campo gravitazionale

Moto di un proiettile

!  Ipotesi:

! 

trascuro la resistenza dell’aria (piuma vs. ferro)

! 

L’accelerazione di gravità è costante (quota)

! 

trascuro la rotazione della Terra (missili intercontinentali)

!  Ho solo accelerazione di gravità

(sulla Terra g = 9.81 ms ^-2 ), diretta verso il basso

Moto di un proiettile

L’accelerazione è uguale nei 2 casi

Relatività galileiana

Equazioni

del moto di un proiettile

t v

x

x =

+

2 0y

0

gt

2 t 1

v y

y = + −

gt - v

v

=

0x

x

v

v =

L’ipotesi è che: a

= 0

-2

y

- g - 9.81 ms

a = =

Lancio ad angolo 0 ^o

V _0,x

t v x =

gt

2 h 1

y = −

gt - v

=

0 0x

x

v v

v = =

La traiettoria è parabolica

t v x =

y = h − 1

2 gt

t = x v

gt

2 h 1 y = −

t = x v

y = h − 1

2 g x v_0x

"

#$ %

&

'

2

bx a

y = +

parabola

La gittata

Domanda:

Dove atterra un proiettile lanciato orizzontalmente,da altezza h e con velocità v

?

Risposta:

Posso calcolare la distanza, imponendo la condizione che la y

del proiettile sia 0

t v

x =

gt

2 h 1

y = −

t v

x =

gt

2 h 1

0 = −

t v

x =

g t = 2h

g v 2h

x =

Gittata: (velocità scalare media) x (tempo di caduta)

t = 2h

g

n. 54, pag. M115 Walker

Un lanciatore del peso lancia il peso con una velocità iniziale di

modulo 3.50 m/s da un’altezza di 1.50 m dal suolo. Calcolare qual è la gittata del lancio se l’angolo è:

1)   20

2)   30

3)   40

Esercizio

Soluzione

Un lanciatore del peso lancia il peso con una velocità iniziale di modulo 3.5 m/s da un’altezza di 1.5 m dal suolo. Calcola qual è la gittata del lancio se l’angolo è:

1)   20

2)   30

3)   40

t ) θ cos (v

x =

) t (g 1/2 - t ) θ sen (v

y

0 =

+

t ) (3.29 x =

0 1.5 - t ) (1.2 -

) t (g

1/2

=

s t = 0.69

Risolvo per θ = 20

x = (3.29 ) t = 2.26 m

Per θ = 30

Per θ = 40

s

t = 0.76 x = 2.30 m

s

t = 0.83 x = 2.22 m

Lancio con un angolo qualunque e x ₀ =y ₀ =0

t cosθ v

x =

⋅

1 gt - senθ v

v

=

cosθ v

v

=

t = 2v ₀ sin ✓ g

G = v ₀ cos ✓ 2v ₀ sin ✓

g = v ₀ ²

g sin (2✓)

Gittata (y=0):

Lancio con un angolo qualunque e con posizione iniziale qualunque

gt - senθ v

v

=

cosθ v

v

=

Uguale al caso precedente, ma ri-compaiono x

e y

t cosθ v

x

x = ₀ + ₀ ⋅

2 0

0 gt

2 t 1

senθ v

y

y = + ⋅ −

Moto parabolico

(Moto di un proiettile con e senza aria)

Esercizio

Un delfino salta dall’acqua con v₀ = 12 ms^-1, verso l’allenatrice che è a

d = 5.50 m e h = 4.10 m. Nell’istante in cui il delfino esce dall’acqua, l’allenatrice lascia cadere una palla.

Dimostrare che il delfino riesce a prendere la palla.

Esercizio

Soluzione

36.7

m 5.50

m arctan 4.10

d arctan h

θ = = =

Comincio a calcolare θ

gt - senθ v

v _{y d} = _{0 d}

cosθ v

v

=

t cosθ v

x

=

⋅

2 d

0

d

gt

2 t 1 senθ v

y = ⋅ −

2

p

gt

2 h 1

y = −

Esercizio

Il delfino raggiunge la distanza della palla quando x

= d = 5.50m

gt - senθ v

v _{y d} = _{0 d}

cosθ v

v

=

t cosθ v

x

=

⋅

2 d

0

d

gt

2 t 1 senθ v

y = ⋅ −

2

p

gt

2 h 1

y = −

gt - senθ v

v _{y d} = _{0 d}

cosθ v

v

=

s 0.572 ms

9.62

m 5.50 cosθ

v

t x

d 0

d

= =

=

2 d

0

d

gt

2 t 1 senθ v

y = ⋅ −

2

p

gt

2 h 1

y = −

. .. e questo evento succede al tempo t = 0.572 s

Esercizio

Al tempo t = 0.572 s il delfino si troverà ad un’altezza...

gt - senθ v

v _{y d} = _{0 d}

cosθ v

v

=

t cosθ v

x

=

⋅

2 d

0

d

gt

2 t 1 senθ v

y = ⋅ −

2

p

gt

2 h 1

y = −

gt - senθ v

v _{y d} = _{0 d}

cosθ v

v

=

t cosθ v

x

=

⋅

2

p

gt

2 h 1

y = −

m 2.50 m

1.60 - m 4.10 s)

(0.572 )

ms (9.81 2

s) 1 0.572 (

) )sen(36.7 ms

(12.0

y

=

⋅ −

⋅

= =

Al tempo t = 0.572 s il delfino si troverà ad un’altezza di 2.50 m

Esercizio

Al tempo t = 0.572 s la palla si troverà ad un’altezza...

gt - senθ v

v _{y d} = _{0 d}

cosθ v

v

=

t cosθ v

x

=

⋅

2 d

0

d

gt

2 t 1 senθ v

y = ⋅ −

2

p

gt

2 h 1

y = −

gt - senθ v

v _{y d} = _{0 d}

cosθ v

v

=

t cosθ v

x

=

⋅

2 d

0

d

gt

2 t 1 senθ v

y = ⋅ −

m 2.5 m

1.60 -

m 4.10 s)

(0.572 )

s (9.81 2

m 1 4.10

y

= −

⋅

= =

Al tempo t=0.572 s la palla si troverà ad un’altezza di 2.50 m

Moto circolare uniforme (1)

Un oggetto che si muove lungo una traiettoria

circolare con velocità costante in modulo è in moto circolare uniforme.

Il vettore velocità varia continuamente la propria direzione.

#  Quindi l’oggetto è sottoposto ad accelerazione.

#  Il vettore accelerazione è diretto verso il centro della circonferenza !

accelerazione centripeta

Il tempo impiegato a descrivere una circonferenza di raggio r è detto

periodo

Moto circolare uniforme (2)

x

y

θ

Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati

Moto circolare uniforme (3)

Modulo dell’accelerazione

centripeta

Moto circolare uniforme (4)

L’accelerazione è effettivamente diretta verso il centro della circonferenza.

Infatti:

Quindi θ = φ ! il vettore accelerazione ha direzione radiale ed è rivolto al centro.

Questi calcoli non sono presenti nei testi consigliati

Accelerazione radiale e tangenziale

!  In generale, la velocità cambia per intensità e direzione lungo la traiettoria

! 

Vettore velocità: sempre tangente alla traiettoria

! 

Vettore accelerazione può essere espresso come:

Il raggio dei cerchi tratteggiati è il raggio di curvatura della

€

a =  

a

+ 

a

= a

n + a ˆ

τ ˆ con versore tangenziale versore normale alla traiettoria, diretto verso il centro di

curvatura

€

a

= dv dt

Accelerazione tangenziale

a

= v

R

Accelerazione radiale

€

v = v ˆ  τ

€

τ ˆ

€

n ˆ

La dimostrazione è nelle 2 slide

seguenti (non c’è nel testo)

φ"

τ ˆ n ˆ

x y C

Accelerazione radiale e tangenziale

66

€

τ ˆ = cos ( φ ) ^{i + sin ˆ} ( ^φ ) ^{ˆ j}

€

n = cos ˆ φ + π 2

$

% & ' ( )

*

+ , -

. / i + sin ˆ φ + π 2

$

% & ' ( )

*

+ , -

. / ˆ j

€

= − sin ( φ ) ^{i + cos ˆ} ( ^φ ) ^{ˆ j}

€

a =  d  v dt =

€

d v ˆ ( ) τ dt =

€

dv

dt τ ˆ + v d ˆ τ dt

€

d ˆ τ

dt = − d φ

dt sin φ

%

&

' (

) * ˆ i + d φ

dt cos φ

%

&

' (

) * ˆ j

€

= d φ

dt [ − sin ( φ ) ^{i + cos ˆ} ( ^φ ) ^{ˆ j} ] ^{= d} _dt ^{φ n ˆ}

€

a =  dv

dt τ ˆ + v d φ dt n ˆ

Ora occorre dimostrare

che d φ /dt=v/R ….

φ"

τ ˆ n ˆ

x y C

φ+dφ"

dφ" R

Accelerazione radiale e tangenziale

Nel tempo dt, il punto percorre un cammino elementare ds=vdt ! arco di circonferenza ds=Rdφ#

(1)

€

ds = Rdφ ⇒ dφ

ds = 1 R

(2)

€

dφ

dt ≡ dφ ds ⋅ ds

dt = v dφ ds = v

R Quindi, sostituendo la (2) nell’espressione ricavata per l’accelerazione, si ottiene:

€

a =  dv

dt τ ˆ + v d φ

dt n = ˆ dv

dt τ ˆ + v v R n ˆ

a =  dv

dt τ ˆ + v

R n ˆ

Moto armonico (1)

x

y

θ

Nel moto circolare uniforme la velocità angolare è costante:

In un periodo T viene descritto un angolo giro, quindi

La proiezione del punto P sull’asse x (o y) descrive un moto armonico:

Questo argomento non è presente nei testi consigliati

Moto armonico (2)

Moto relativo unidimensionale

Se i due sistemi di riferimento si muovono a velocità costante l’uno rispetto all’altro, si ha:

L’accelerazione del punto

materiale P è la stessa nei due

sistemi di riferimento

Moto relativo bidimensionale

derivando rispetto al tempo, si trova:

Se è costante, allora:

Con la cinematica 2D risolvo il problema del moto di un proiettile

Prossima lezione:

Le leggi di Newton

Riassumendo