6. ESERCIZI sui LIMITI di FUNZIONI, parte 1 Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.
1. Sia f (x) definita in un intervallo I, eccetto eventualmente che in x0 2 I, tale che f(x) ! +1 per x! x0 . Allora
A. [f (x)]! +1 per x ! x0, dove [f (x)] `e la parte intera di f (x).
B. f (x) > 0 per ogni 0 <|x x0| < 1 con x 2 I.
C. esiste > 0 tale che f (x) > 1 per ogni 0 <|x x0| < con x 2 I.
2. Siano f (x) e g(x) funzioni definite e positive in un intervallo I eccetto eventualmente che in x02 I tali che f(x) ⇠ g(x) per x ! x0. Allora
A. esiste > 0 tale che 12g(x) < f (x) < 32g(x) per ogni 0 <|x x0| < , x 2 I.
B. log(f (x))⇠ log(g(x)) per x ! x0. C. f (x) g(x)! 0 per x ! x0.
Utilizzando la relazione di asintotico, calcolare i seguenti limiti 3. lim
x!0
log(cos x) sin2x 4. lim
x!0+
etan x 1 p3
cos x 1log(1 + sin x) 5. lim
x!0+(cos x)tan x1 6. lim
x!+1
e1x 1 p4
x2+ 2 p4 x2+ 1 7. lim
x!0
sin(⇡ cos x) x sin x 8. lim
x!0
sin(↵x3) log(p3
1 + x3) al variare di ↵2 R 9. lim
x!0+
p1 + x↵ 1 (cosh x 1) log(1 +p
x)
(d) al variare di ↵2 R
10. lim
x!1+
cos(⇡2x)
(x 1)↵ al variare di ↵2 R
. Risolvere gli esercizi 1-5, 11-12 del libro di testo(d)
(d)Il seno iperbolico, sinh x = ex 2e x e il coseno iperbolico cosh x = ex+e2 x verificano i seguenti limiti notevoli (che seguono dal limite notevole dell’esponenziale)
x!0lim sinh x
x = lim
x!0
e2x 1 2x
1
ex = 1 e lim
x!0
cosh x 1 x2 = lim
x!0
e2x 2ex+ 1 2x2
1 ex = lim
x!0
(ex 1)2 2x2
1 ex =1
2 Quindi per x! 0 vale sinh x ⇠ x mentre cosh x 1⇠x22
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