f ( x )= x − x log x `estrettamentecrescentenelsuodominio R . g editaleretta.b)Dimostrarechelafunzione 2.a)Calcolarel’equazionedellarettatangentealgraficodellafunzione g ( x )=log x nelpunto x =1.Disegnareilgraficodi 3 − i ) ;( 3 − i ) . √ √ 1.Calcolareiseg

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A

ESERCIZIO 1. (5 punti)

1. Calcolare i seguenti numeri complessi e rappresentarli nel piano complesso:

(√

3 − i)⁴; (√

3 − i)^1/4.

2. a) Calcolare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione g(x) = log x nel punto x = 1.

Disegnare il grafico di g e di tale retta.

b) Dimostrare che la funzione f (x) = ¹₂x²− x log x `e strettamente crescente nel suo dominio R⁺.

ESERCIZIO 2. (5 punti) 1. Studiare la convergenza della serie

∞

X

n=1

n² 2ⁿ+ 1 3ⁿ+ 1.

2. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze

∞

X

n=1

n² 2ⁿ+ 1 3ⁿ+ 1xⁿ.

3. Determinare l’insieme di convergenza della serie di potenze del punto 2.

ESERCIZIO 3. (8 punti) Data la funzione f (x) = 1

x

px²+ 2x + 2

1. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. Studiare il segno di f .

2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e i punti di massimo e di minimo relativo.

3. Tracciare un grafico qualitativo di f .

4. Determinare il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = k al variare di k in R.

ESERCIZIO 4. (5 punti)

1. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al secondo ordine della funzione f (x) = 2^x(2 + 3x + x²).

2. Determinare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione g(x) = f (x) − 2 cos x.

3. Calcolare il limite

lim

x→0

2^x(2 + 3x + x²) − 2 cos x

x .

ESERCIZIO 5. (5 punti) 1. Calcolare l’integrale indefinito

Z cos x

2 sin x − cos²x + 6dx.

2. Calcolare l’integrale definito

Z (π/2)³−1

−1

sin √³ x + 1

dx.

ESERCIZIO 6. (5 punti) Risolvere il problema di Cauchy







y⁰= − 2x

1 + x²y +√³ x

y(0) = 1.

(Si ricordi la formula y(x) = e^A(x)R e^−A(x)b(x)dx che risolve y⁰= a(x)y + b(x), con A(x) una primitiva qualsiasi di a(x).)

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B

ESERCIZIO 1. (5 punti)

1. Calcolare i seguenti numeri complessi e rappresentarli nel piano complesso:

(√

3 + i)⁴; (√

3 + i)^1/4.

2. a) Calcolare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione g(x) = log x nel punto x = 1.

Disegnare il grafico di g e di tale retta.

b) Dimostrare che la funzione f (x) = x log x −¹₂x² `e strettamente decrescente nel suo dominio R⁺.

ESERCIZIO 2. (5 punti) 1. Studiare la convergenza della serie

∞

X

n=1

n² 4ⁿ+ 1 3ⁿ+ 1.

2. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze

∞

X

n=1

n² 4ⁿ+ 1 3ⁿ+ 1xⁿ.

3. Determinare l’insieme di convergenza della serie di potenze del punto 2.

ESERCIZIO 3. (8 punti) Data la funzione f (x) = 1

x

px²− 2x + 2

1. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. Studiare il segno di f .

2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e i punti di massimo e di minimo relativo.

3. Tracciare un grafico qualitativo di f .

4. Determinare il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = k al variare di k in R.

ESERCIZIO 4. (5 punti)

1. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al secondo ordine della funzione f (x) = 3^x(2 − x + x²).

2. Determinare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione g(x) = f (x) − 2 cos x.

3. Calcolare il limite

lim

x→0

3^x(2 − x + x²) − 2 cos x

x .

ESERCIZIO 5. (5 punti) 1. Calcolare l’integrale indefinito

Z sin x

2 cos x − sin²x + 6dx.

2. Calcolare l’integrale definito

Z (π/2)³−1

−1

cos √³ x + 1

dx.

ESERCIZIO 6. (5 punti) Risolvere il problema di Cauchy







y⁰= − 4x³

1 + x⁴y +√³ x

y(0) = 1.

(Si ricordi la formula y(x) = e^A(x)R e^−A(x)b(x)dx che risolve y⁰= a(x)y + b(x), con A(x) una primitiva qualsiasi di a(x).)

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C

ESERCIZIO 1. (5 punti)

1. Calcolare i seguenti numeri complessi e rappresentarli nel piano complesso:

(−√

3 + i)⁴; (−√

3 + i)^1/4.

2. a) Calcolare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione g(x) = log x nel punto x = 1.

Disegnare il grafico di g e di tale retta.

b) Dimostrare che la funzione f (x) = ¹₂x²− x log x `e strettamente crescente nel suo dominio R⁺.

ESERCIZIO 2. (5 punti) 1. Studiare la convergenza della serie

∞

X

n=1

n² 2ⁿ+ 1 4ⁿ+ 1.

2. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze

∞

X

n=1

n² 2ⁿ+ 1 4ⁿ+ 1xⁿ.

3. Determinare l’insieme di convergenza della serie di potenze del punto 2.

ESERCIZIO 3. (8 punti) Data la funzione f (x) = 1

x

px²+ 2x + 3

1. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. Studiare il segno di f .

2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e i punti di massimo e di minimo relativo.

3. Tracciare un grafico qualitativo di f .

4. Determinare il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = k al variare di k in R.

ESERCIZIO 4. (5 punti)

1. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al secondo ordine della funzione f (x) = 4^x(2 − 3x + x²).

2. Determinare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione g(x) = f (x) − 2 cos x.

3. Calcolare il limite

lim

x→0

4^x(2 − 3x + x²) − 2 cos x

x .

ESERCIZIO 5. (5 punti) 1. Calcolare l’integrale indefinito

Z cos x

2 sin x − cos²x + 11dx.

2. Calcolare l’integrale definito

Z (π/2)³+1 1

sin √³ x − 1

dx.

ESERCIZIO 6. (5 punti) Risolvere il problema di Cauchy







y⁰= − 6x⁵

1 + x⁶y +√³ x

y(0) = 1.

(Si ricordi la formula y(x) = e^A(x)R e^−A(x)b(x)dx che risolve y⁰= a(x)y + b(x), con A(x) una primitiva qualsiasi di a(x).)

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D

ESERCIZIO 1. (5 punti)

1. Calcolare i seguenti numeri complessi e rappresentarli nel piano complesso:

(−√

3 − i)⁴; (−√

3 − i)^1/4.

2. a) Calcolare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione g(x) = log x nel punto x = 1.

Disegnare il grafico di g e di tale retta.

b) Dimostrare che la funzione f (x) = x log x −¹₂x² `e strettamente decrescente nel suo dominio R⁺.

ESERCIZIO 2. (5 punti) 1. Studiare la convergenza della serie

∞

X

n=1

n² 5ⁿ+ 1 3ⁿ+ 1.

2. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze

∞

X

n=1

n² 5ⁿ+ 1 3ⁿ+ 1xⁿ.

3. Determinare l’insieme di convergenza della serie di potenze del punto 2.

ESERCIZIO 3. (8 punti) Data la funzione f (x) = 1

x

px²− 2x + 3

1. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. Studiare il segno di f .

2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e i punti di massimo e di minimo relativo.

3. Tracciare un grafico qualitativo di f .

4. Determinare il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = k al variare di k in R.

ESERCIZIO 4. (5 punti)

1. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al secondo ordine della funzione f (x) = 5^x(2 + x + x²).

2. Determinare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione g(x) = f (x) − 2 cos x.

3. Calcolare il limite

lim

x→0

5^x(2 + x + x²) − 2 cos x

x .

ESERCIZIO 5. (5 punti) 1. Calcolare l’integrale indefinito

Z sin x

2 cos x − sin²x + 11dx.

2. Calcolare l’integrale definito

Z (π/2)³+1 1

cos √³ x − 1

dx.

ESERCIZIO 6. (5 punti) Risolvere il problema di Cauchy







y⁰= − 8x⁷

1 + x⁸y +√³ x

y(0) = 1.

(Si ricordi la formula y(x) = e^A(x)R e^−A(x)b(x)dx che risolve y⁰= a(x)y + b(x), con A(x) una primitiva qualsiasi di a(x).)