Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Modulo I) del 21-06-2021.

Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Modulo I) del 21-06-2021.

1. Discutere il seguente argomento:

• moto di un punto materiale in tre dimensioni: forze conservative ed energia meccanica. Mostrare che la forza F = (y, 2x, z) non ` e conservativa. Moto in un campo di forze centrali, conservazione dell’energia e conservazione del momento angolare. [10 pt]

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• si studi qualitativamente il moto unidimensionale di un punto materiale soggetto alla forza posizionale di potenziale V = x

e

e si calcoli il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile; [10 pt]

• per il sistema del precedente esercizio si dia una stima del periodo delle oscil- lazioni attorno alla posizione di equlibrio stabile quando l’energia E ` e piccola (diciamo E ≤ 0, 0001). [10 pt]

1

2

Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Modulo II) del 21-06-2021.

1. Discutere il seguente argomento:

• simmetrie per un sistema lagrangiano, teorema di N¨ other. [10 pt]

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• un punto materiale pesante di massa m sia vincolato senza attrito alla superficie x

+ y

= R

dove R ` e una costante positiva (cilindro) e sia collegato da una molla di costante k al punto (2, 0, 0). Si scriva la lagrangiana utilizzando le variabili z e θ (coordinata polare). Si trovino la posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilit` a; [10 pt]

• relativamente al problema precedente si trovi un secondo integrale del moto

(oltre all’energia meccanica). Si calcolino le pulsazioni proprie delle piccole

oscillazioni intorno alla pozione di equilbrio stabile. [10 pt]

3

Esame di Meccanica Razionale e di Complementi di Meccanica Analitica (Modulo III) del 21-06-2021.

1. Discutere il seguente argomento:

• definizione di trasformazione canonica e completamente canonica. Invarianza delle parentesi di Poisson fondamentali come condizione necessaria e sufficiente per la completa canonicit` a di una trasformazione indipendente dal tempo (con dimostrazione). [10 pt]

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• un punto materiale pesante di massa m = 1 `e vincolato alla superficie z = x

+ y

+ xy. Scrivere esplicitamente la hamiltoniana e le equazioni di Hamilton usando le variabili x, y, p

e p

; [10 pt]

• data l’hamiltoniana H(q, p) = p

+ q

trovare la variabile azione (a meno di una

costante moltiplicativa) e la variabile angolo (in forma integrale). Esprimere

l’energia in funzione dell’azione e quindi ottenere la relativa frequenza Ω(A)

(anch’essa a meno di una costante moltiplicativa). [10 pt]