Esonero di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Modulo II) del 17-05-2021.
1. Discutere il seguente argomento:
• geodetiche su superfici: si discuta il problema generle e si faccia un esempio non banale (ossia diverso dalla geodetica sul piano). [10 pt]
2. Risolvere i seguenti esercizi:
• un punto materiale pesante di massa m sia vincolato senza attrito alla superficie z = x
2+ y
2+ 2axy. Si scriva la lagrangiana in funzione delle variabili x e y. Si dermini/nino la/le posizione/`ı di equilibrio e se ne studi la stabilit` a al variare del parametro reale a. Si riscriva la lagrangiana in funzione delle variabili ξ = x + y e η = x − y e si mostri che per a = ±1 la lagrangiana si separa. In entrambi i casi il sistema ha quindi due distinti integrali del moto, si dica quali sono; [12 pt]
• si consideri nuovamente la lagrangiana in funzione delle variabili x e y e si ponga a =
12. Si verifichi che la posizione di equilibrio ` e stabile con matrice hessiana definta positiva. Si calcolino le pulsazioni proprie del sistema con i relativi autovettori e si dia la soluzione generale del problema ridotto. [8 pt]
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