Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti I-III) del 18-06-2020. 1.

Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti I-III) del 18-06-2020.

1. Discutere il seguente argomento:

• le equazioni cardinali. Sistemi isolati: conservazione della quan- tit` a di moto e del momento angolare. Teorema delle forze vive.

(15 pt)

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• si studi qualitativamente il moto unidimensionale di un punto materiale soggetto alla forza posizionale di potenziale V = _x

^x +2

; (7,5 pt)

• per il sistema del precedente esercizio si assuma m = 1 e si calcoli il periodo delle piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio stabile e si dia una stima del tempo necessario per raggiungere +∞ se la posizione iniziale ` e x <sub>0</sub> = 0 e la velocit` a iniziale ` e v ₀ = 2.

(7,5 pt)

1

2

Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti IV-VI) del 18-06-2020.

1. Discutere il seguente argomento:

• definizione di trasformazione canonica e completamente canon- ica, esempi e controesempi. Invarianza delle parentesi di Poisson fondamentali come condizione necessaria e sufficiente per la com- pleta canonicit` a di una trasformazione indipendente dal tempo (con dimostrazione), esempi e controesempi. (15 pt)

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• due punti materiali pesanti di uguale massa m sono vincolati senza attrito alla retta z = −x, y = 0. Il primo punto ` e colle- gato all’origine da una molla di costante k, il secondo punto ` e collegato al primo da una molla di stessa costante k. Si scriva la lagrangiana. Si determini la posizione di equilibrio e se ne discuta la stabilit` a. Si scriva l’hamiltoniana del sistema e le equazioni di Hamilton; (10 pt)

• si consideri la trasformazione Q = qp ² , P = αp ^β ; dire per quali

valori di α e β ` e completamente canonica. (5 pt)