Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti I-III) del 16-07-2020. 1.

Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti I-III) del 16-07-2020.

1. Discutere il seguente argomento:

• potenziale newtoniano: determinazione esplicita della geometria delle orbite in coordinate polari e cartesiane, prima e terza legge di Keplero. Potenziale newtoniano perturbato e (non)chiusura delle orbite. (15 pt)

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• si studi qualitativamente il moto unidimensionale di un punto materiale soggetto alla forza posizionale di potenziale V = x ² e ^−x

; (7,5 pt)

• per il sistema del precedente esercizio si calcoli il periodo delle piccole oscillazioni. Si dia inoltre una stima dal basso del periodo dei moti limitati per 0 < E < e ⁻¹ . (7,5 pt)

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Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti IV-VI) del 16-07-2020.

1. Discutere il seguente argomento:

• velocit` a virtuali e velocit` a possibili: definizione di vincolo ideale o perfetto. Moti naturali e principio di D’Alembert. Derivazione delle equazioni di Lagrange.(15 pt)

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• un punto materiale pesante di massa m sia vincolato senza attrito alla curva y = 0, z = −x ² +1, un secondo punto materiale pesante di uguale massa m sia invece vincolato senza attrito alla curva y = 0, z = x ² − 1. I due punti siano collegati tra loro da una molla di costante k. Si scriva la lagrangiana. Si trovi almeno una posizione di equilibrio e se ne discuta la stabilit` a al variare dei parametri; (9 pt)

• relativamente al problema precedente si trovi la hamiltoniana e si

scrivano le equazioni di Hamilton. (6 pt)

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Esame di Meccanica Razionale e di Complementi di Meccanica Analitica (Parti VII-IX) del 16-07-2020.

1. Discutere il seguente argomento:

• sistemi hamiltoniani e conservazione dei volumi nello spazio delle fasi: teorema di Liouville. Teorema di ricorrenza di Poincar´ e come importante conseguenza del teorema di Liouville. I paradossi di Loschmidt (reversibilit` a) e di Zermelo (ricorrenza). (15 pt)

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• sia data la lagrangiana ridotta ˜ L = ^{x ˙}

^{+ ˙} ₂ ^y

− ^x

^+y ₂

^+xy . Trovare le pulsazioni proprie e i relativi autovettori normalizzati secondo la metrica ˆ T ; (6 pt)

• data la hamiltoniana H = (q ₁ ² +p ² ₁ )(q ² ₂ +p ² ₂ ) trovare la due variabili

azione ed esprimere l’energia in funzione di esse. (9 pt)