Compito di Meccanica Razionale, 5/11/2012
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva i seguenti quesiti.
1. Ottenere e risolvere, nell’ipotesi delle piccole oscillazioni attorno ad un punto di equilibrio stabile, l’equazione del moto per una particella materiale di massa m la cui lagrangiana `e
L = 1
2m x4+ sin2(x) ˙x2− kx2log(x),
con k > 0.
Detta poi Lappla lagrangiana approssimata cos`ı costruita, considerare L0:= e−γtLapp. Dedurre e risolvere l’equazione di Lagrange relativa ad L0, con le condizioni iniziali x(0) = 1 ed ˙x(0) = 1.
Detta x(t) la soluzione, verificare che nel limite γ → 0 la funzione x(t) `e una funzione armonica.
2. Dopo avere stabilito se la forza ~F = (x2z, y + 1, x(z − 1)) sia conservativa o meno, lo studente calcoli il lavoro effettuato da ~F per spostare un punto materiale lungo l’arco della curva di equazioni parametriche x = 1 + t2, y = t − π e z = t2, per −1 ≤ t ≤ 1.
Attenzione:– la corretta risoluzione del quesito 2. non `e sufficiente per superare lo scritto.
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