4. Piano tangente e retta normale a una superficie

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4. Piano tangente e retta normale a una superficie

Si dice piano tangente a una superficie S nel suo punto 𝑃₀(𝑥_0;𝑦₀; 𝑧₀) il piano che contiene tutte le rette tangenti nel punto 𝑃₀ a tutte le curve tracciate sulla superficie e passanti per 𝑃₀.

Si chiama normale in 𝑃₀ alla superficie S la retta perpendicolare al piano tangente nel punto di tangenza 𝑃₀.

a. L’equazione della superficie S è data in forma esplicita 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦)

dove 𝑓(𝑥; 𝑦) è una funzione derivabile rispetto sia a 𝑥 che a 𝑦.

.L’equazione del piano tangente a S nel suo punto 𝑃₀(𝑥_0;𝑦₀; 𝑧₀) è 𝑧 − 𝑧₀ = 𝑓_𝑥(𝑥_0;𝑦₀)(𝑥 − 𝑥₀) + 𝑓_𝑦(𝑥_0;𝑦₀)(𝑦 − 𝑦₀) L’equazione della normale a S nel suo punto 𝑃₀(𝑥_0;𝑦₀; 𝑧₀) ,

se 𝑓_𝑥(𝑥_0;𝑦₀) ≠ 0 e 𝑓𝑦(𝑥_0;𝑦₀) ≠ 0, è 𝑥 − 𝑥₀

𝑓_𝑥(𝑥_0;𝑦₀)= 𝑦 − 𝑦₀

𝑓_𝑦(𝑥_0;𝑦₀)=𝑧 − 𝑧₀

−1 Nei seguenti casi la normale è data da :

se 𝑓_𝑥(𝑥_0;𝑦₀) = 0 e 𝑓_𝑦(𝑥_0;𝑦₀) ≠ 0 ⇒ {

𝑥 − 𝑥₀ = 0

𝑦−𝑦0

𝑓_𝑦(𝑥_0;𝑦₀)=^𝑧−𝑧0

−1

se 𝑓_𝑥(𝑥_0;𝑦₀) ≠ 0 e 𝑓𝑦(𝑥_0;𝑦₀) = 0 ⇒ {

𝑦 − 𝑦₀ = 0

𝑥−𝑥0

𝑓_𝑥(𝑥_0;𝑦₀)= ^𝑧−𝑧0

−1

se 𝑓_𝑥(𝑥_0;𝑦₀) = 0 e 𝑓_𝑦(𝑥_0;𝑦₀) = 0 ⇒ {𝑥 − 𝑥₀ = 0

𝑦 − 𝑦₀ = 0

b. L’equazione della superficie S è data in forma implicita 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0 dove F è derivabile rispetto alle variabili 𝑥, 𝑦, 𝑧 .

L’equazione del piano tangente a S nel suo punto 𝑃₀(𝑥_0;𝑦₀; 𝑧₀) è

𝐹_𝑥(𝑥_0;𝑦₀; 𝑧₀)(𝑥 − 𝑥₀) + 𝐹_𝑦(𝑥_0;𝑦₀; 𝑧₀)(𝑦 − 𝑦₀) + 𝐹_𝑧(𝑥_0;𝑦₀; 𝑧₀)(𝑧 − 𝑧₀) = 0 L’equazione della normale a S nel suo punto 𝑃₀(𝑥_0;𝑦₀; 𝑧₀) è

𝑥 − 𝑥₀

𝐹_𝑥(𝑥_0;𝑦₀; 𝑧₀)= 𝑦 − 𝑦₀

𝐹_𝑦(𝑥_0;𝑦₀; 𝑧₀)= 𝑧 − 𝑧₀ 𝐹_𝑧(𝑥_0;𝑦₀; 𝑧₀) se 𝐹_𝑥(𝑥_0;𝑦₀; 𝑧₀) ≠ 0, 𝐹_𝑦(𝑥_0;𝑦₀; 𝑧₀) ≠ 0, 𝐹_𝑧(𝑥_0;𝑦₀; 𝑧₀) ≠ 0.

2 Esercizi

Determinare l’equazione del piano tangente e della normale alla superficie data nel punto a fianco indicato :

1. 𝑧 = 𝑥⁴ − 2𝑦³+ 2𝑥 + 𝑦 − 1 𝑃0(0; 1; −2)

2. 𝑧 = 3𝑥⁴+ 𝑦 + 1 𝑃₀(1; 0; 4)

3. 𝑧 = 5𝑥²+ 𝑦²+ 𝑥𝑦 − 2𝑥 𝑃0(0; 1; 1)

4. 𝑧 = 𝑥²+ 3𝑦²+ 𝑥 − 1 𝑃₀(−1; 1; 2)

5. 𝑧 =^𝑥+𝑦_𝑥−𝑦 𝑃₀(−1; 1; 0)

6. 𝑧 =_𝑥2+𝑦¹ ₂ 𝑃₀(1; 0; 1)

7. 𝑧 =^𝑥4+𝑦_𝑥 ⁴ 𝑃₀(1; 1; 2)

8. 𝑧 = √𝑦²− 𝑥 − 1 𝑃₀(0; 2; √3)

9. 𝑧 = √𝑥𝑦 + 𝑦+3𝑥 + 1 𝑃0(0; 1; 2)

10. 𝑧 = √𝑥^{3 2}𝑦 + 6 𝑃₀(1; 2; 2)

11. 𝑧 = 𝑒^𝑥+𝑦 𝑃₀(0; 0; 1)

12. 𝑧 = 𝑒^{−(𝑥4+𝑦2)} 𝑃₀(0; 0; 1)

13. 𝑧 = 𝑦²𝑒^𝑥2 𝑃₀(0; 0; 0)

3

14. 𝑧 = 2𝑥𝑒^−𝑥2𝑦 𝑃₀(1; 0; 2)

15. 𝑧 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥² + 𝑦²+ 1) 𝑃0(−1; 0; 𝑙𝑜𝑔2)

16. 𝑧 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥⁴ + 𝑦²) 𝑃₀(0; 1; 0)

17. 𝑧 = log(𝑥𝑦 + 2) 𝑃₀(𝑒; −¹

𝑒; 0)

18. 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦) 𝑃₀(^𝜋

4;^𝜋

4; 1)

19. 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛 (^𝜋₄+ 𝑥 + 𝑦) 𝑃₀(𝜋;^𝜋

2; −^√2

2)

20. 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑃₀(^𝜋

3;^𝜋

4;^√6

4)

21. 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = ^𝑥₄²+^𝑦2

25−^𝑧2

8 = 0 𝑃₀(2; 5; 4)

22. 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥²+ 𝑦²− 2𝑧² = 3 𝑃0(1; 2; 1)

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Soluzioni

1. S. calcoliamo le derivate parziali e i loro valori in (0; 1):

𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = 4𝑥³+ 2 𝑓_𝑥(0; 1) = 2 𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = −6𝑦² + 1 𝑓𝑦(0; 1) = −5

piano tangente : 𝑧 + 2 = 2𝑥 − 5(𝑦 − 1) ⇒ 𝑧 = 2𝑥 − 5𝑦 + 3 retta normale : ^𝑥₂ = ^𝑦−1

−5 =^𝑧+2

−1 ;

2. S . 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = 12𝑥³; 𝑓_𝑥(1; 0) = 12

𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = 1 𝑓_𝑦(1; 0) = 1

piano tangente 𝑧 − 4 = 12(𝑥 − 1) + 𝑦 ⟹ 𝑧 = 12𝑥 + 𝑦 − 8 retta normale ^𝑥−1

12 =^𝑦

1= ^𝑧

−1⟹ {12𝑦 = 𝑥 − 1

𝑦 = −𝑧 ;

3. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = 10𝑥 + 𝑦 − 2; 𝑓_𝑥(0; 1) = −1 𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = 2𝑦 + 𝑥 𝑓_𝑦(0; 1) = 2

piano tangente 𝑧 − 1 = −𝑥 + 2(𝑦 − 1) ⟹ 𝑧 = −𝑥 + 2𝑦 − 1 retta normale ₋₁^𝑥 = ^𝑦−1

2 =^𝑧−1

−1 ⟹ { 𝑧 = 𝑥 + 1 𝑦 = −2𝑧 + 3;

4. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = 2𝑥 + 1; 𝑓_𝑥(−1; 1) = −1

𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = 6𝑦 𝑓_𝑦(−1; 1) = 6

piano tangente 𝑧 − 2 = −(𝑥 + 1) + 6(𝑦 − 1) ⟹ 𝑧 = −𝑥 + 6𝑦 − 5 retta normale ^𝑥+1

−1 = ^𝑦−1

6 =^𝑧−2

−1;

5. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = − ^2𝑦

(𝑥−𝑦)² 𝑓_𝑥(−1; 1) = −¹

2 𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = ^2𝑥

(𝑥−𝑦)² 𝑓_𝑦(−1; 1) = −¹₂ piano tangente: 𝑧 = −¹

2(𝑥 + 1) −¹

2(𝑦 − 1) = −¹

2𝑥 −¹

2𝑦 retta normale : ^𝑥+1

−¹₂ =^𝑦−1

−¹₂ = ^𝑧

−1;

5 6. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = ^−2𝑥

(𝑥²+𝑦²)² 𝑓_𝑥(1; 0) = −2 𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = ^−2𝑦

(𝑥²+𝑦²)² 𝑓_𝑦(1; 0) = 0

piano tangente : 𝑧 − 1 = −2(𝑥 − 1) ⇒ 𝑧 = −2𝑥 + 3

retta normale : {

𝑥−1

−2

=

−1

𝑦 = 0 ; vedi fig. 1

Fig. 1 7. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) =^{3𝑥4−𝑦4}

𝑥² ; 𝑓_𝑥(1; 1) = 2 𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) =^4𝑦3

𝑥 𝑓_𝑦(1; 1) = 4

piano tangente 𝑧 − 2 = 2(𝑥 − 1) + 4(𝑦 − 1) ⟹ 𝑧 = 2𝑥 + 4𝑦 − 4 retta normale ^𝑥−1₂ =^𝑦−1

4 = ^𝑧−2

−1;

8. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = ⁻¹

2√𝑦²−𝑥−1 𝑓_𝑥(0; 2) = − ¹

2√3 𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = ^𝑦

√𝑦²−𝑥−1 𝑓_𝑦(0; 2) = ²

√3 piano tangente: 𝑧 − √3 = − ¹

2√3𝑥 + ²

√3(𝑦 − 2) retta normale : ^𝑥

− ¹ 2√3

= ^𝑦−22

√3

=^𝑧−√3

−1 ;

6 9. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = ^𝑦

2√𝑥𝑦+𝑦+ 3; 𝑓_𝑥(0; 1) =⁷

2 𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = ^𝑥+1

2√𝑥𝑦+𝑦 𝑓_𝑦(0; 1) =¹

2

piano tangente 𝑧 − 2 =⁷₂𝑥 +¹

2(𝑦 − 1) ⟹ 7𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 3 = 0 retta normale ^𝑥7

2

= ^𝑦−11 2

=^𝑧−2

−1

10. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = ^2𝑥𝑦

3 √(𝑥^{3 2}𝑦+6)²; 𝑓_𝑥(1; 2) =¹

3 𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = ^𝑥2

3 √(𝑥^{3 2}𝑦+6)² 𝑓_𝑦(1; 2) =₁₂¹ piano tangente 𝑧 − 2 =¹

3(𝑥 − 1) + ¹

12(𝑦 − 2) ⟹ 4𝑥 + 𝑦 − 12𝑧 + 18 = 0 retta normale 3(𝑥 − 1) = 12(𝑦 − 2) = −𝑧 + 2;

11. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑒^𝑥+𝑦;

𝑓_𝑥(0; 0) = 𝑓_𝑦(0; 0) = 1 piano tangente 𝑧 − 1 = 𝑥 + 𝑦 retta normale x = y =^𝑧−1₋₁ ; 12. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = −4𝑥³𝑒^{−(𝑥4+𝑦2)} 𝑓_𝑥(0; 0) = 0

𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = −2𝑦𝑒^{−(𝑥4+𝑦2)} 𝑓_𝑦(0; 0) = 0 piano tangente ∝: 𝑧 = 1

retta normale : {𝑥 = 0

𝑦 = 0 , cioè l’asse 𝑧; vedi fig. 2

Fig. 2

7 13. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = 2𝑥𝑦²𝑒^𝑥2 𝑓_𝑥(0; 0) = 0

𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = 2𝑦𝑒^𝑥2 𝑓_𝑦(0; 0) = 0 piano tangente: 𝑧 = 0 ; retta normale : {𝑥 = 0

𝑦 = 0 , cioè l’asse 𝑧 ;

14. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = 2𝑒^−𝑥2𝑦(1 − 2𝑥²𝑦) 𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = −2𝑥³𝑒^−𝑥2𝑦; 𝑓_𝑥(1; 0) = 2 𝑓_𝑦(1; 0) = −2

piano tangente 𝑧 − 2 = 2(𝑥 − 1) − 2𝑦 ⟹ 𝑧 = 2𝑥 − 2𝑦 retta normale ^𝑥−1

2 = ^𝑦

−2=^𝑧−2

−1.

15. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = ^2𝑥

𝑥²+𝑦²+1 𝑓_𝑥(−1; 0) = −1

𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) =_𝑥2+𝑦^2𝑦₂₊₁ 𝑓_𝑦(−1; 0) = 0 piano tangente: 𝑧 − 𝑙𝑜𝑔2 = −(𝑥 + 1) retta normale : {

𝑥+1

−1 = ^{𝑧−𝑙𝑜𝑔2}

−1

𝑦 = 0 ;

16. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) =_𝑥^4𝑥_4+𝑦³₂ 𝑓_𝑥(0; 1) = 0 𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = ^2𝑦

𝑥⁴+𝑦² 𝑓_𝑦(0; 1) = 2 piano tangente: 𝑧 = 2(𝑦 − 1) = 2𝑦 − 2 retta normale : {𝑥 = 0

𝑦 = −2𝑧 + 1;

17. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = ^𝑦

𝑥𝑦+2; 𝑓_𝑥(𝑒; −¹

𝑒) = −¹

𝑒 𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = ^𝑥

𝑥𝑦+2 𝑓_𝑦(𝑒; −¹

𝑒) = 𝑒 piano tangente 𝑧 = −¹_𝑒(𝑥 − 𝑒) + 𝑒 (𝑦 +¹

𝑒) ⟹ 𝑧 = −¹

𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 + 2 retta normale ^𝑥−𝑒

−¹_𝑒 = ^𝑦+

1 𝑒 𝑒 = ^𝑧

−1 ;

8 18. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) 𝑓_𝑥(^𝜋

4;^𝜋

4) = 0

𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) 𝑓_𝑦(^𝜋

4;^𝜋

4) = 0 piano tangente: 𝑧 = 1

retta normale : {𝑥 =^𝜋

4

𝑦 =^𝜋

4

; vedi fig. 3

Fig. 3

19. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 (^𝜋

4+ 𝑥 + 𝑦) ; 𝑓_𝑥(𝜋;^𝜋

2) = 𝑓_𝑦(𝜋;^𝜋

2) =^√2

2 piano tangente 𝑧 +^√2₂ = ^√2

2 (𝑥 − 𝜋) +^√2

2 (𝑦 −^𝜋

2) retta normale ^𝑥−𝜋_√2

2

= ^𝑦−

𝜋 2

√2 2

=^𝑧+

√2 2

−1 ;

20. S. 𝑓_𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑓_𝑥(^𝜋

3;^𝜋

4) =^√2

4

𝑓_𝑦(𝑥; 𝑦) = −𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑓_𝑦(^𝜋

3;^𝜋

4) = −^√6

4 piano tangente: 𝑧 =^√6₄ +^√2

4 (𝑥 −^𝜋

3) −^√6

4 (𝑦 −^𝜋

4) retta normale : ^𝑥−

𝜋 3

√2 4

=^𝑦−

𝜋 4

−^√6 4

= ^𝑧−

√6 4

−1

9 21. S. 𝐹_𝑥 =^𝑥

2 , 𝐹_𝑥(𝑃₀) = 1 , 𝐹_𝑦 = ²

25𝑦, 𝐹_𝑦(𝑃₀) =²

5 , 𝐹_𝑧 = −^𝑧

4 , 𝐹_𝑧(𝑃₀) = −1

piano tangente : (𝑥 − 2) +²₅(𝑦 − 5) − (𝑧 − 4) = 0 ⇒ 5𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 0 retta normale : ^𝑥−2

1 = ^𝑦−52 5

= ^𝑧−4

−1;

22. S. piano tangente : 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 − 3 = 0

retta normale : ^𝑥−1₂ = ^𝑦−2

4 =^𝑧−1

−4 ;