1
4. Piano tangente e retta normale a una superficie
Si dice piano tangente a una superficie S nel suo punto 𝑃0(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) il piano che contiene tutte le rette tangenti nel punto 𝑃0 a tutte le curve tracciate sulla superficie e passanti per 𝑃0.
Si chiama normale in 𝑃0 alla superficie S la retta perpendicolare al piano tangente nel punto di tangenza 𝑃0.
a. L’equazione della superficie S è data in forma esplicita 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦)
dove 𝑓(𝑥; 𝑦) è una funzione derivabile rispetto sia a 𝑥 che a 𝑦.
.L’equazione del piano tangente a S nel suo punto 𝑃0(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) è 𝑧 − 𝑧0 = 𝑓𝑥(𝑥0;𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦(𝑥0;𝑦0)(𝑦 − 𝑦0) L’equazione della normale a S nel suo punto 𝑃0(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) ,
se 𝑓𝑥(𝑥0;𝑦0) ≠ 0 e 𝑓𝑦(𝑥0;𝑦0) ≠ 0, è 𝑥 − 𝑥0
𝑓𝑥(𝑥0;𝑦0)= 𝑦 − 𝑦0
𝑓𝑦(𝑥0;𝑦0)=𝑧 − 𝑧0
−1 Nei seguenti casi la normale è data da :
se 𝑓𝑥(𝑥0;𝑦0) = 0 e 𝑓𝑦(𝑥0;𝑦0) ≠ 0 ⇒ {
𝑥 − 𝑥0 = 0
𝑦−𝑦0
𝑓𝑦(𝑥0;𝑦0)=𝑧−𝑧0
−1
se 𝑓𝑥(𝑥0;𝑦0) ≠ 0 e 𝑓𝑦(𝑥0;𝑦0) = 0 ⇒ {
𝑦 − 𝑦0 = 0
𝑥−𝑥0
𝑓𝑥(𝑥0;𝑦0)= 𝑧−𝑧0
−1
se 𝑓𝑥(𝑥0;𝑦0) = 0 e 𝑓𝑦(𝑥0;𝑦0) = 0 ⇒ {𝑥 − 𝑥0 = 0
𝑦 − 𝑦0 = 0
b. L’equazione della superficie S è data in forma implicita 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0 dove F è derivabile rispetto alle variabili 𝑥, 𝑦, 𝑧 .
L’equazione del piano tangente a S nel suo punto 𝑃0(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) è
𝐹𝑥(𝑥0;𝑦0; 𝑧0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝐹𝑦(𝑥0;𝑦0; 𝑧0)(𝑦 − 𝑦0) + 𝐹𝑧(𝑥0;𝑦0; 𝑧0)(𝑧 − 𝑧0) = 0 L’equazione della normale a S nel suo punto 𝑃0(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) è
𝑥 − 𝑥0
𝐹𝑥(𝑥0;𝑦0; 𝑧0)= 𝑦 − 𝑦0
𝐹𝑦(𝑥0;𝑦0; 𝑧0)= 𝑧 − 𝑧0 𝐹𝑧(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) se 𝐹𝑥(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) ≠ 0, 𝐹𝑦(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) ≠ 0, 𝐹𝑧(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) ≠ 0.
2 Esercizi
Determinare l’equazione del piano tangente e della normale alla superficie data nel punto a fianco indicato :
1. 𝑧 = 𝑥4 − 2𝑦3+ 2𝑥 + 𝑦 − 1 𝑃0(0; 1; −2)
2. 𝑧 = 3𝑥4+ 𝑦 + 1 𝑃0(1; 0; 4)
3. 𝑧 = 5𝑥2+ 𝑦2+ 𝑥𝑦 − 2𝑥 𝑃0(0; 1; 1)
4. 𝑧 = 𝑥2+ 3𝑦2+ 𝑥 − 1 𝑃0(−1; 1; 2)
5. 𝑧 =𝑥+𝑦𝑥−𝑦 𝑃0(−1; 1; 0)
6. 𝑧 =𝑥2+𝑦1 2 𝑃0(1; 0; 1)
7. 𝑧 =𝑥4+𝑦𝑥 4 𝑃0(1; 1; 2)
8. 𝑧 = √𝑦2− 𝑥 − 1 𝑃0(0; 2; √3)
9. 𝑧 = √𝑥𝑦 + 𝑦+3𝑥 + 1 𝑃0(0; 1; 2)
10. 𝑧 = √𝑥3 2𝑦 + 6 𝑃0(1; 2; 2)
11. 𝑧 = 𝑒𝑥+𝑦 𝑃0(0; 0; 1)
12. 𝑧 = 𝑒−(𝑥4+𝑦2) 𝑃0(0; 0; 1)
13. 𝑧 = 𝑦2𝑒𝑥2 𝑃0(0; 0; 0)
3
14. 𝑧 = 2𝑥𝑒−𝑥2𝑦 𝑃0(1; 0; 2)
15. 𝑧 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥2 + 𝑦2+ 1) 𝑃0(−1; 0; 𝑙𝑜𝑔2)
16. 𝑧 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥4 + 𝑦2) 𝑃0(0; 1; 0)
17. 𝑧 = log(𝑥𝑦 + 2) 𝑃0(𝑒; −1
𝑒; 0)
18. 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦) 𝑃0(𝜋
4;𝜋
4; 1)
19. 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛 (𝜋4+ 𝑥 + 𝑦) 𝑃0(𝜋;𝜋
2; −√2
2)
20. 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑃0(𝜋
3;𝜋
4;√6
4)
21. 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥42+𝑦2
25−𝑧2
8 = 0 𝑃0(2; 5; 4)
22. 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥2+ 𝑦2− 2𝑧2 = 3 𝑃0(1; 2; 1)
4
Soluzioni
1. S. calcoliamo le derivate parziali e i loro valori in (0; 1):
𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 4𝑥3+ 2 𝑓𝑥(0; 1) = 2 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = −6𝑦2 + 1 𝑓𝑦(0; 1) = −5
piano tangente : 𝑧 + 2 = 2𝑥 − 5(𝑦 − 1) ⇒ 𝑧 = 2𝑥 − 5𝑦 + 3 retta normale : 𝑥2 = 𝑦−1
−5 =𝑧+2
−1 ;
2. S . 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 12𝑥3; 𝑓𝑥(1; 0) = 12
𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 1 𝑓𝑦(1; 0) = 1
piano tangente 𝑧 − 4 = 12(𝑥 − 1) + 𝑦 ⟹ 𝑧 = 12𝑥 + 𝑦 − 8 retta normale 𝑥−1
12 =𝑦
1= 𝑧
−1⟹ {12𝑦 = 𝑥 − 1
𝑦 = −𝑧 ;
3. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 10𝑥 + 𝑦 − 2; 𝑓𝑥(0; 1) = −1 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 2𝑦 + 𝑥 𝑓𝑦(0; 1) = 2
piano tangente 𝑧 − 1 = −𝑥 + 2(𝑦 − 1) ⟹ 𝑧 = −𝑥 + 2𝑦 − 1 retta normale −1𝑥 = 𝑦−1
2 =𝑧−1
−1 ⟹ { 𝑧 = 𝑥 + 1 𝑦 = −2𝑧 + 3;
4. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 2𝑥 + 1; 𝑓𝑥(−1; 1) = −1
𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 6𝑦 𝑓𝑦(−1; 1) = 6
piano tangente 𝑧 − 2 = −(𝑥 + 1) + 6(𝑦 − 1) ⟹ 𝑧 = −𝑥 + 6𝑦 − 5 retta normale 𝑥+1
−1 = 𝑦−1
6 =𝑧−2
−1;
5. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = − 2𝑦
(𝑥−𝑦)2 𝑓𝑥(−1; 1) = −1
2 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 2𝑥
(𝑥−𝑦)2 𝑓𝑦(−1; 1) = −12 piano tangente: 𝑧 = −1
2(𝑥 + 1) −1
2(𝑦 − 1) = −1
2𝑥 −1
2𝑦 retta normale : 𝑥+1
−12 =𝑦−1
−12 = 𝑧
−1;
5 6. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = −2𝑥
(𝑥2+𝑦2)2 𝑓𝑥(1; 0) = −2 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = −2𝑦
(𝑥2+𝑦2)2 𝑓𝑦(1; 0) = 0
piano tangente : 𝑧 − 1 = −2(𝑥 − 1) ⇒ 𝑧 = −2𝑥 + 3
retta normale : {
𝑥−1
−2
=
𝑧−1−1
𝑦 = 0 ; vedi fig. 1
Fig. 1 7. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) =3𝑥4−𝑦4
𝑥2 ; 𝑓𝑥(1; 1) = 2 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) =4𝑦3
𝑥 𝑓𝑦(1; 1) = 4
piano tangente 𝑧 − 2 = 2(𝑥 − 1) + 4(𝑦 − 1) ⟹ 𝑧 = 2𝑥 + 4𝑦 − 4 retta normale 𝑥−12 =𝑦−1
4 = 𝑧−2
−1;
8. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = −1
2√𝑦2−𝑥−1 𝑓𝑥(0; 2) = − 1
2√3 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑦
√𝑦2−𝑥−1 𝑓𝑦(0; 2) = 2
√3 piano tangente: 𝑧 − √3 = − 1
2√3𝑥 + 2
√3(𝑦 − 2) retta normale : 𝑥
− 1 2√3
= 𝑦−22
√3
=𝑧−√3
−1 ;
6 9. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑦
2√𝑥𝑦+𝑦+ 3; 𝑓𝑥(0; 1) =7
2 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑥+1
2√𝑥𝑦+𝑦 𝑓𝑦(0; 1) =1
2
piano tangente 𝑧 − 2 =72𝑥 +1
2(𝑦 − 1) ⟹ 7𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 3 = 0 retta normale 𝑥7
2
= 𝑦−11 2
=𝑧−2
−1
10. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 2𝑥𝑦
3 √(𝑥3 2𝑦+6)2; 𝑓𝑥(1; 2) =1
3 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑥2
3 √(𝑥3 2𝑦+6)2 𝑓𝑦(1; 2) =121 piano tangente 𝑧 − 2 =1
3(𝑥 − 1) + 1
12(𝑦 − 2) ⟹ 4𝑥 + 𝑦 − 12𝑧 + 18 = 0 retta normale 3(𝑥 − 1) = 12(𝑦 − 2) = −𝑧 + 2;
11. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑒𝑥+𝑦;
𝑓𝑥(0; 0) = 𝑓𝑦(0; 0) = 1 piano tangente 𝑧 − 1 = 𝑥 + 𝑦 retta normale x = y =𝑧−1−1 ; 12. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = −4𝑥3𝑒−(𝑥4+𝑦2) 𝑓𝑥(0; 0) = 0
𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = −2𝑦𝑒−(𝑥4+𝑦2) 𝑓𝑦(0; 0) = 0 piano tangente ∝: 𝑧 = 1
retta normale : {𝑥 = 0
𝑦 = 0 , cioè l’asse 𝑧; vedi fig. 2
Fig. 2
7 13. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 2𝑥𝑦2𝑒𝑥2 𝑓𝑥(0; 0) = 0
𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 2𝑦𝑒𝑥2 𝑓𝑦(0; 0) = 0 piano tangente: 𝑧 = 0 ; retta normale : {𝑥 = 0
𝑦 = 0 , cioè l’asse 𝑧 ;
14. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 2𝑒−𝑥2𝑦(1 − 2𝑥2𝑦) 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = −2𝑥3𝑒−𝑥2𝑦; 𝑓𝑥(1; 0) = 2 𝑓𝑦(1; 0) = −2
piano tangente 𝑧 − 2 = 2(𝑥 − 1) − 2𝑦 ⟹ 𝑧 = 2𝑥 − 2𝑦 retta normale 𝑥−1
2 = 𝑦
−2=𝑧−2
−1.
15. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 2𝑥
𝑥2+𝑦2+1 𝑓𝑥(−1; 0) = −1
𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) =𝑥2+𝑦2𝑦2+1 𝑓𝑦(−1; 0) = 0 piano tangente: 𝑧 − 𝑙𝑜𝑔2 = −(𝑥 + 1) retta normale : {
𝑥+1
−1 = 𝑧−𝑙𝑜𝑔2
−1
𝑦 = 0 ;
16. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) =𝑥4𝑥4+𝑦32 𝑓𝑥(0; 1) = 0 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 2𝑦
𝑥4+𝑦2 𝑓𝑦(0; 1) = 2 piano tangente: 𝑧 = 2(𝑦 − 1) = 2𝑦 − 2 retta normale : {𝑥 = 0
𝑦 = −2𝑧 + 1;
17. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑦
𝑥𝑦+2; 𝑓𝑥(𝑒; −1
𝑒) = −1
𝑒 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑥
𝑥𝑦+2 𝑓𝑦(𝑒; −1
𝑒) = 𝑒 piano tangente 𝑧 = −1𝑒(𝑥 − 𝑒) + 𝑒 (𝑦 +1
𝑒) ⟹ 𝑧 = −1
𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 + 2 retta normale 𝑥−𝑒
−1𝑒 = 𝑦+
1 𝑒 𝑒 = 𝑧
−1 ;
8 18. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) 𝑓𝑥(𝜋
4;𝜋
4) = 0
𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) 𝑓𝑦(𝜋
4;𝜋
4) = 0 piano tangente: 𝑧 = 1
retta normale : {𝑥 =𝜋
4
𝑦 =𝜋
4
; vedi fig. 3
Fig. 3
19. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 (𝜋
4+ 𝑥 + 𝑦) ; 𝑓𝑥(𝜋;𝜋
2) = 𝑓𝑦(𝜋;𝜋
2) =√2
2 piano tangente 𝑧 +√22 = √2
2 (𝑥 − 𝜋) +√2
2 (𝑦 −𝜋
2) retta normale 𝑥−𝜋√2
2
= 𝑦−
𝜋 2
√2 2
=𝑧+
√2 2
−1 ;
20. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑓𝑥(𝜋
3;𝜋
4) =√2
4
𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = −𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑓𝑦(𝜋
3;𝜋
4) = −√6
4 piano tangente: 𝑧 =√64 +√2
4 (𝑥 −𝜋
3) −√6
4 (𝑦 −𝜋
4) retta normale : 𝑥−
𝜋 3
√2 4
=𝑦−
𝜋 4
−√6 4
= 𝑧−
√6 4
−1
9 21. S. 𝐹𝑥 =𝑥
2 , 𝐹𝑥(𝑃0) = 1 , 𝐹𝑦 = 2
25𝑦, 𝐹𝑦(𝑃0) =2
5 , 𝐹𝑧 = −𝑧
4 , 𝐹𝑧(𝑃0) = −1
piano tangente : (𝑥 − 2) +25(𝑦 − 5) − (𝑧 − 4) = 0 ⇒ 5𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 0 retta normale : 𝑥−2
1 = 𝑦−52 5
= 𝑧−4
−1;
22. S. piano tangente : 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 − 3 = 0
retta normale : 𝑥−12 = 𝑦−2
4 =𝑧−1
−4 ;