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4. Piano tangente e retta normale a una superficie

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Academic year: 2022

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1

4. Piano tangente e retta normale a una superficie

Si dice piano tangente a una superficie S nel suo punto 𝑃0(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) il piano che contiene tutte le rette tangenti nel punto 𝑃0 a tutte le curve tracciate sulla superficie e passanti per 𝑃0.

Si chiama normale in 𝑃0 alla superficie S la retta perpendicolare al piano tangente nel punto di tangenza 𝑃0.

a. L’equazione della superficie S è data in forma esplicita 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦)

dove 𝑓(𝑥; 𝑦) è una funzione derivabile rispetto sia a 𝑥 che a 𝑦.

.L’equazione del piano tangente a S nel suo punto 𝑃0(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) è 𝑧 − 𝑧0 = 𝑓𝑥(𝑥0;𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦(𝑥0;𝑦0)(𝑦 − 𝑦0) L’equazione della normale a S nel suo punto 𝑃0(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) ,

se 𝑓𝑥(𝑥0;𝑦0) ≠ 0 e 𝑓𝑦(𝑥0;𝑦0) ≠ 0, è 𝑥 − 𝑥0

𝑓𝑥(𝑥0;𝑦0)= 𝑦 − 𝑦0

𝑓𝑦(𝑥0;𝑦0)=𝑧 − 𝑧0

−1 Nei seguenti casi la normale è data da :

se 𝑓𝑥(𝑥0;𝑦0) = 0 e 𝑓𝑦(𝑥0;𝑦0) ≠ 0 ⇒ {

𝑥 − 𝑥0 = 0

𝑦−𝑦0

𝑓𝑦(𝑥0;𝑦0)=𝑧−𝑧0

−1

se 𝑓𝑥(𝑥0;𝑦0) ≠ 0 e 𝑓𝑦(𝑥0;𝑦0) = 0 ⇒ {

𝑦 − 𝑦0 = 0

𝑥−𝑥0

𝑓𝑥(𝑥0;𝑦0)= 𝑧−𝑧0

−1

se 𝑓𝑥(𝑥0;𝑦0) = 0 e 𝑓𝑦(𝑥0;𝑦0) = 0 ⇒ {𝑥 − 𝑥0 = 0

𝑦 − 𝑦0 = 0

b. L’equazione della superficie S è data in forma implicita 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0 dove F è derivabile rispetto alle variabili 𝑥, 𝑦, 𝑧 .

L’equazione del piano tangente a S nel suo punto 𝑃0(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) è

𝐹𝑥(𝑥0;𝑦0; 𝑧0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝐹𝑦(𝑥0;𝑦0; 𝑧0)(𝑦 − 𝑦0) + 𝐹𝑧(𝑥0;𝑦0; 𝑧0)(𝑧 − 𝑧0) = 0 L’equazione della normale a S nel suo punto 𝑃0(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) è

𝑥 − 𝑥0

𝐹𝑥(𝑥0;𝑦0; 𝑧0)= 𝑦 − 𝑦0

𝐹𝑦(𝑥0;𝑦0; 𝑧0)= 𝑧 − 𝑧0 𝐹𝑧(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) se 𝐹𝑥(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) ≠ 0, 𝐹𝑦(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) ≠ 0, 𝐹𝑧(𝑥0;𝑦0; 𝑧0) ≠ 0.

(2)

2 Esercizi

Determinare l’equazione del piano tangente e della normale alla superficie data nel punto a fianco indicato :

1. 𝑧 = 𝑥4 − 2𝑦3+ 2𝑥 + 𝑦 − 1 𝑃0(0; 1; −2)

2. 𝑧 = 3𝑥4+ 𝑦 + 1 𝑃0(1; 0; 4)

3. 𝑧 = 5𝑥2+ 𝑦2+ 𝑥𝑦 − 2𝑥 𝑃0(0; 1; 1)

4. 𝑧 = 𝑥2+ 3𝑦2+ 𝑥 − 1 𝑃0(−1; 1; 2)

5. 𝑧 =𝑥+𝑦𝑥−𝑦 𝑃0(−1; 1; 0)

6. 𝑧 =𝑥2+𝑦1 2 𝑃0(1; 0; 1)

7. 𝑧 =𝑥4+𝑦𝑥 4 𝑃0(1; 1; 2)

8. 𝑧 = √𝑦2− 𝑥 − 1 𝑃0(0; 2; √3)

9. 𝑧 = √𝑥𝑦 + 𝑦+3𝑥 + 1 𝑃0(0; 1; 2)

10. 𝑧 = √𝑥3 2𝑦 + 6 𝑃0(1; 2; 2)

11. 𝑧 = 𝑒𝑥+𝑦 𝑃0(0; 0; 1)

12. 𝑧 = 𝑒−(𝑥4+𝑦2) 𝑃0(0; 0; 1)

13. 𝑧 = 𝑦2𝑒𝑥2 𝑃0(0; 0; 0)

(3)

3

14. 𝑧 = 2𝑥𝑒−𝑥2𝑦 𝑃0(1; 0; 2)

15. 𝑧 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥2 + 𝑦2+ 1) 𝑃0(−1; 0; 𝑙𝑜𝑔2)

16. 𝑧 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥4 + 𝑦2) 𝑃0(0; 1; 0)

17. 𝑧 = log(𝑥𝑦 + 2) 𝑃0(𝑒; −1

𝑒; 0)

18. 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦) 𝑃0(𝜋

4;𝜋

4; 1)

19. 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛 (𝜋4+ 𝑥 + 𝑦) 𝑃0(𝜋;𝜋

2; −√2

2)

20. 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑃0(𝜋

3;𝜋

4;√6

4)

21. 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥42+𝑦2

25𝑧2

8 = 0 𝑃0(2; 5; 4)

22. 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥2+ 𝑦2− 2𝑧2 = 3 𝑃0(1; 2; 1)

(4)

4

Soluzioni

1. S. calcoliamo le derivate parziali e i loro valori in (0; 1):

𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 4𝑥3+ 2 𝑓𝑥(0; 1) = 2 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = −6𝑦2 + 1 𝑓𝑦(0; 1) = −5

piano tangente : 𝑧 + 2 = 2𝑥 − 5(𝑦 − 1) ⇒ 𝑧 = 2𝑥 − 5𝑦 + 3 retta normale : 𝑥2 = 𝑦−1

−5 =𝑧+2

−1 ;

2. S . 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 12𝑥3; 𝑓𝑥(1; 0) = 12

𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 1 𝑓𝑦(1; 0) = 1

piano tangente 𝑧 − 4 = 12(𝑥 − 1) + 𝑦 ⟹ 𝑧 = 12𝑥 + 𝑦 − 8 retta normale 𝑥−1

12 =𝑦

1= 𝑧

−1⟹ {12𝑦 = 𝑥 − 1

𝑦 = −𝑧 ;

3. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 10𝑥 + 𝑦 − 2; 𝑓𝑥(0; 1) = −1 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 2𝑦 + 𝑥 𝑓𝑦(0; 1) = 2

piano tangente 𝑧 − 1 = −𝑥 + 2(𝑦 − 1) ⟹ 𝑧 = −𝑥 + 2𝑦 − 1 retta normale −1𝑥 = 𝑦−1

2 =𝑧−1

−1 ⟹ { 𝑧 = 𝑥 + 1 𝑦 = −2𝑧 + 3;

4. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 2𝑥 + 1; 𝑓𝑥(−1; 1) = −1

𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 6𝑦 𝑓𝑦(−1; 1) = 6

piano tangente 𝑧 − 2 = −(𝑥 + 1) + 6(𝑦 − 1) ⟹ 𝑧 = −𝑥 + 6𝑦 − 5 retta normale 𝑥+1

−1 = 𝑦−1

6 =𝑧−2

−1;

5. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = − 2𝑦

(𝑥−𝑦)2 𝑓𝑥(−1; 1) = −1

2 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 2𝑥

(𝑥−𝑦)2 𝑓𝑦(−1; 1) = −12 piano tangente: 𝑧 = −1

2(𝑥 + 1) −1

2(𝑦 − 1) = −1

2𝑥 −1

2𝑦 retta normale : 𝑥+1

12 =𝑦−1

12 = 𝑧

−1;

(5)

5 6. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = −2𝑥

(𝑥2+𝑦2)2 𝑓𝑥(1; 0) = −2 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = −2𝑦

(𝑥2+𝑦2)2 𝑓𝑦(1; 0) = 0

piano tangente : 𝑧 − 1 = −2(𝑥 − 1) ⇒ 𝑧 = −2𝑥 + 3

retta normale : {

𝑥−1

−2

=

𝑧−1

−1

𝑦 = 0 ; vedi fig. 1

Fig. 1 7. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) =3𝑥4−𝑦4

𝑥2 ; 𝑓𝑥(1; 1) = 2 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) =4𝑦3

𝑥 𝑓𝑦(1; 1) = 4

piano tangente 𝑧 − 2 = 2(𝑥 − 1) + 4(𝑦 − 1) ⟹ 𝑧 = 2𝑥 + 4𝑦 − 4 retta normale 𝑥−12 =𝑦−1

4 = 𝑧−2

−1;

8. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = −1

2√𝑦2−𝑥−1 𝑓𝑥(0; 2) = − 1

2√3 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑦

√𝑦2−𝑥−1 𝑓𝑦(0; 2) = 2

√3 piano tangente: 𝑧 − √3 = − 1

2√3𝑥 + 2

√3(𝑦 − 2) retta normale : 𝑥

1 2√3

= 𝑦−22

√3

=𝑧−√3

−1 ;

(6)

6 9. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑦

2√𝑥𝑦+𝑦+ 3; 𝑓𝑥(0; 1) =7

2 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑥+1

2√𝑥𝑦+𝑦 𝑓𝑦(0; 1) =1

2

piano tangente 𝑧 − 2 =72𝑥 +1

2(𝑦 − 1) ⟹ 7𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 + 3 = 0 retta normale 𝑥7

2

= 𝑦−11 2

=𝑧−2

−1

10. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 2𝑥𝑦

3 √(𝑥3 2𝑦+6)2; 𝑓𝑥(1; 2) =1

3 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑥2

3 √(𝑥3 2𝑦+6)2 𝑓𝑦(1; 2) =121 piano tangente 𝑧 − 2 =1

3(𝑥 − 1) + 1

12(𝑦 − 2) ⟹ 4𝑥 + 𝑦 − 12𝑧 + 18 = 0 retta normale 3(𝑥 − 1) = 12(𝑦 − 2) = −𝑧 + 2;

11. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑒𝑥+𝑦;

𝑓𝑥(0; 0) = 𝑓𝑦(0; 0) = 1 piano tangente 𝑧 − 1 = 𝑥 + 𝑦 retta normale x = y =𝑧−1−1 ; 12. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = −4𝑥3𝑒−(𝑥4+𝑦2) 𝑓𝑥(0; 0) = 0

𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = −2𝑦𝑒−(𝑥4+𝑦2) 𝑓𝑦(0; 0) = 0 piano tangente ∝: 𝑧 = 1

retta normale : {𝑥 = 0

𝑦 = 0 , cioè l’asse 𝑧; vedi fig. 2

Fig. 2

(7)

7 13. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 2𝑥𝑦2𝑒𝑥2 𝑓𝑥(0; 0) = 0

𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 2𝑦𝑒𝑥2 𝑓𝑦(0; 0) = 0 piano tangente: 𝑧 = 0 ; retta normale : {𝑥 = 0

𝑦 = 0 , cioè l’asse 𝑧 ;

14. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 2𝑒−𝑥2𝑦(1 − 2𝑥2𝑦) 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = −2𝑥3𝑒−𝑥2𝑦; 𝑓𝑥(1; 0) = 2 𝑓𝑦(1; 0) = −2

piano tangente 𝑧 − 2 = 2(𝑥 − 1) − 2𝑦 ⟹ 𝑧 = 2𝑥 − 2𝑦 retta normale 𝑥−1

2 = 𝑦

−2=𝑧−2

−1.

15. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 2𝑥

𝑥2+𝑦2+1 𝑓𝑥(−1; 0) = −1

𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) =𝑥2+𝑦2𝑦2+1 𝑓𝑦(−1; 0) = 0 piano tangente: 𝑧 − 𝑙𝑜𝑔2 = −(𝑥 + 1) retta normale : {

𝑥+1

−1 = 𝑧−𝑙𝑜𝑔2

−1

𝑦 = 0 ;

16. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) =𝑥4𝑥4+𝑦32 𝑓𝑥(0; 1) = 0 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 2𝑦

𝑥4+𝑦2 𝑓𝑦(0; 1) = 2 piano tangente: 𝑧 = 2(𝑦 − 1) = 2𝑦 − 2 retta normale : {𝑥 = 0

𝑦 = −2𝑧 + 1;

17. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑦

𝑥𝑦+2; 𝑓𝑥(𝑒; −1

𝑒) = −1

𝑒 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑥

𝑥𝑦+2 𝑓𝑦(𝑒; −1

𝑒) = 𝑒 piano tangente 𝑧 = −1𝑒(𝑥 − 𝑒) + 𝑒 (𝑦 +1

𝑒) ⟹ 𝑧 = −1

𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 + 2 retta normale 𝑥−𝑒

1𝑒 = 𝑦+

1 𝑒 𝑒 = 𝑧

−1 ;

(8)

8 18. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) 𝑓𝑥(𝜋

4;𝜋

4) = 0

𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) 𝑓𝑦(𝜋

4;𝜋

4) = 0 piano tangente: 𝑧 = 1

retta normale : {𝑥 =𝜋

4

𝑦 =𝜋

4

; vedi fig. 3

Fig. 3

19. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

4+ 𝑥 + 𝑦) ; 𝑓𝑥(𝜋;𝜋

2) = 𝑓𝑦(𝜋;𝜋

2) =√2

2 piano tangente 𝑧 +√22 = √2

2 (𝑥 − 𝜋) +√2

2 (𝑦 −𝜋

2) retta normale 𝑥−𝜋√2

2

= 𝑦−

𝜋 2

√2 2

=𝑧+

√2 2

−1 ;

20. S. 𝑓𝑥(𝑥; 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑓𝑥(𝜋

3;𝜋

4) =√2

4

𝑓𝑦(𝑥; 𝑦) = −𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑓𝑦(𝜋

3;𝜋

4) = −√6

4 piano tangente: 𝑧 =√64 +√2

4 (𝑥 −𝜋

3) −√6

4 (𝑦 −𝜋

4) retta normale : 𝑥−

𝜋 3

√2 4

=𝑦−

𝜋 4

√6 4

= 𝑧−

√6 4

−1

(9)

9 21. S. 𝐹𝑥 =𝑥

2 , 𝐹𝑥(𝑃0) = 1 , 𝐹𝑦 = 2

25𝑦, 𝐹𝑦(𝑃0) =2

5 , 𝐹𝑧 = −𝑧

4 , 𝐹𝑧(𝑃0) = −1

piano tangente : (𝑥 − 2) +25(𝑦 − 5) − (𝑧 − 4) = 0 ⇒ 5𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 0 retta normale : 𝑥−2

1 = 𝑦−52 5

= 𝑧−4

−1;

22. S. piano tangente : 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 − 3 = 0

retta normale : 𝑥−12 = 𝑦−2

4 =𝑧−1

−4 ;

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