Calcolo delle Probabilità 2012/13 – Foglio di esercizi 6
†Valor medio e variabili aleatorie notevoli. Riepilogo.
Esercizio teorico
Esercizio 1. Sia X una variabile aleatoria definita su (Ω, A, P) a valori in [0, +∞].
(a) Si mostri che la funzione ϕ : [0, ∞] × Ω → R definita da ϕ(t, ω) := 1{X(ω)≥t} è misurabile (rispetto alla σ-algebra prodotto B([0, ∞]) ⊗ A).
(b) Applicando opportunamente il teorema di Fubini-Tonelli alla funzione ϕ, si mostri che E(X) =
Z ∞ 0
P(X ≥ t) dt .
(c) Nel caso in cui X assuma valori in N0= {0, 1, . . .} ∪ {+∞}, si deduca che E(X) =
∞
X
n=1
P(X ≥ n) . Esercizi “pratici”
Esercizio 2. Sia X, Y variabili casuali indipendenti con distribuzione Ge(p), ossia P(X = n) = P(Y = n) = p(1 − p)n−11N(n) .
Per n ≥ 2 fissato, si determini la distribuzione della variabile aleatoria X rispetto alla probabilità condizionata P( · |X + Y = n).
Esercizio 3. Siano X ∼ P o(λ), Y ∼ P o(µ) variabili casuali indipendenti, ossia P(X = n) = e−λλk
k!1N0(k) , P(Y = n) = e−µµk
k!1N0(k) .
Per n ≥ 0 fissato, si determini la distribuzione della variabile aleatoria X rispetto alla probabilità condizionata P( · |X + Y = n).
Esercizio 4. Un insetto depone un numero aleatorio N ∼ P o(λ) di uova. Ciascun uovo deposto si schiude con probabilità p ∈ (0, 1), indipendentemente dal numero di uova deposte e dal fatto che le altre si schiudano. Sia X il numero di uova che si schiudono.
(a) Qual è il valore di P(X = k|N = n), per n ∈ N0 e k ∈ R?
(b) Si determini la legge di X.
Esercizio 5. Siano X e Y due variabili casuali a valori in N0 aventi la seguente densità congiunta:
pX,Y(k, n) = ( n
kpk(1 − p)n−ke−λ λn!n se 0 ≤ k ≤ n
0 altrimenti,
dove p ∈ (0, 1) e λ > 0 sono parametri fissati. Si determinino le densità marginali di X e Y e si calcoli Cov(X, Y ).
†Ultima modifica: 29 novembre 2012.
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Esercizio 6. Siano X, Z e W variabili casuali indipendenti con X ∼ Be(p) e Z, W ∼ P o(λ).
Definiamo Y := XZ + W .
(a) Determinare le densità discrete di (X, Y ) e di Y .
(b) Utilizzando la densità pY calcolata al punto precedente, calcolare E(Y ) e V ar(Y ).
(c) Calcolare E(Y ) e Var(Y ) senza utilizzare pY.
Esercizio 7. Siano X1, . . . , Xnvariabili aleatorie indipendenti con Xi∼ Ge(p). Determinare la legge delle variabili aleatorie
Z := max{X1, . . . , Xn} , W = min{X1, . . . , Xn} .
Esercizio 8. Fissati p ∈ (0, 1) e n ∈ N con n ≥ 2, siano ξ1, . . . , ξn variabili aleatorie i.i.d.
ciascuna a valori in {−1, 1} con P(ξ1 = 1) = p. Definiamo X :=
n
Y
i=1
ξi = ξ1· ξ2· · · ξn. (a) Si determini E(X). Si deduca quindi la legge di X.
(b) X è indipendente dal vettore aleatorio (ξ1, . . . , ξn)?
(c) (*) X è indipendente dal vettore aleatorio (ξ2, . . . , ξn)?
Esercizio 9. Consideriamo lo spazio di probabilità Ω = (0, 1), munito della σ-algebra borliana A = B(0, 1) e della probabilità data dalla misura di Lebesgue P = Leb. Per r ∈ R fissato, consideriamo la variabile aleatoria X : Ω → R definita da
X(ω) := 1 ωr. (a) Per quali valori di p ∈ (0, ∞) si ha che X ∈ Lp?
(b) Si determini la distribuzione della variabile aleatoria X.
[Sugg.: Si considerino separatamente i casi r < 0, r = 0 e r > 0.]
Esercizio 10. Sia X una variabile casuale scalare assolutamente continua con densità fX(x) = − log(xc)1(0,1)(x).
(a) Si determini il valore di c ∈ R affinché fX sia effettivamente una densità, e si determini la funzione di ripartizione di X.
(b) Sia Y = − log X. Si mostri che Y è una variabile Gamma e se ne determinino i parametri.
Esercizio 11. Siano {Xn}n∈N variabili aleatorie i.i.d. con X1∼ U (0, 1).
(a) Poniamo Yn:= − log(Xn) per n ∈ N. Si determini la legge di Yn e si dica se variabili aleatorie {Xn}n∈N sono indipendenti.
(b) Si determini la legge di Sn:= Y1+ . . . + Yn. (c) Si deduca infine la densità di Zn:= X1· X2· · · Xn.
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Esercizio 12. Siano X1, X2, . . . , Xnvariabili aleatorie indipendenti con leggi Xi ∼ Exp(λi).
Si determini la distribuzione della variabile aleatoria W := min{X1, . . . , Xn} .
Esercizio 13. Siano X1, X2, . . . , Xnvariabili aleatorie indipendenti con leggi U (0, 1).
(a) Si determini la legge di Ln:= min{X1, X2, . . . , Xn}.
(b) Posto Zn := nLn, si mostri che per ogni t ∈ R fissato FZn(t) converge per n → ∞ verso un limite F (t) che è la funzione di ripartizione di una legge nota.
Esercizio 14. Siano (Xn)n≥1 variabili aleatorie indipendenti con leggi Exp(1).
(a) Ricordando che X1+ X2+ · · · Xn∼ Γ(n, 1), tramite un’opportuna integrazione per parti mostrare che
P (X1+ X2+ · · · Xn≤ t) = e−ttn
n! + P (X1+ X2+ · · · Xn+ Xn+1≤ t).
(b) Definiamo, per t > 0 fissato, la variabile aleatoria
Y := max{n ∈ N : X1+ X2+ · · · Xn≤ t} , dove max ∅ := 0, a valori in N0∪ {+∞}. Spiegare l’identità
P (Y ≥ n) = P (X1+ X2+ · · · Xn≤ t).
(c) Dedurre che Y ∼ P o(t).
Esercizio 15. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio bidimensionale con distribuzione uniforme sul cerchio di raggio unitario. Si determinino, possibilmente senza fare calcoli, le seguenti probabilità condizionali:
P
max(|X|, |Y |) ≤ 1 2√
2
X2+ Y2 ≤ 1 4
, P
max(|X|, |Y |) ≤ 1 2
|X| + |Y | ≤ 1
. [Sugg.: fare qualche disegno.]
