Compito di Fisica Matematica, 14/9/2005
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno quattro dei seguenti quesiti:
(1) Risolvere l’equazione differenziale y00(t)+5y0(t)+6y(t) = 2, con le condizioni iniziali y(0) = 0 e y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(2) Lo studente ottenga gli zeri della funzione f (z) = ez−1z−1−1 e ne determini l’ordine.
(3) Calcolare la derivata debole del segnale ϕ(x) = rect(x −12) + rect(x +12).
(4) Sviluppare in serie di Fourier la funzione ϕ(x) introdotta nell’esercizio precedente. Ottenere l’uguaglianza di Parceval.
(5) Dopo avere verificato che la funzione f (x) = sin(x)x appartiene ad L2(R), lo studente ne calcoli la trasformata di Fourier.
(6) Detti l1(N) e l2(N) rispettivamente gli spazi delle successioni sommabili e delle successioni a quadrato sommabile, verificare che l1(N) ⊂ l2(N). Costruire poi un esempio che mostri come non sia vera l’inclusione opposta.
(7) Studiare la regione di convergenza della serieP∞
n=−∞ zn e2|n|.
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