(c) f 0 (x) = 2 2(4+x 4− √ 4+x2)3/22, domf 0 = domf , non ci sono punti di non derivabilità.

ANALISI MATEMATICA I - 20 gennaio 2011 - Allievi MECLT - MATLT - AUTLT (Sezione 1) Il NUMERO della FILA è contenuto nel testo dell’esercizio n ^◦ 8 ed è il dato iniziale.

Fila 1

1. (a) domf = R, f è dispari.

(b) lim _x→−∞ f (x) = −1 + ^π ₄ , y = −1 + ^π ₄ asintoto orizzontale per x → −∞; lim _x→+∞ f (x) = 1 − ^π ₄ , y = 1 − ^π ₄ asintoto orizzontale per x → +∞

(c) f ⁰ (x) = 2 _2(4+x ^{4− √ 4+x}

₎

, domf ⁰ = domf , non ci sono punti di non derivabilità.

(d) f è crescente per |x| < 2 √

3, x = 2 √

3 punto di massimo assoluto, x = −2 √

3 punto di minimo assoluto

(e) f ⁰⁰ (x) = 2x ⁻⁶⁺ _(4+x ^√

^4+x ₎

, f convessa in ] − 4 √

2, 0[ e in ]4 √

2, +∞[.

2. 0, √

2( ^√ ₂ ³ + ₂ ⁱ ), √

2(− ^√ ₂ ³ + ₂ ⁱ ), − √

2i.

3. ¹ ₇

4. converge per β < 1, usando, ad esempio, il criterio della radice; se β = 1 risulta asintotica all’armonica e quindi divergente; diverge per β > 1.

5. continua in R per ogni α ∈ R ⁺ ; derivabile se α > ² ₃ , se α ≤ ² ₃ x = 1 punto angoloso.

6. 7

7. F(x) = e ^x + 3( ^π ₄ − arctan e ^x ) 8. y(x) = x ˜ ² − 2 + 3e ^−x

^/2

Fila 2

1. (a) domf = R, f è dispari.

(b) lim _x→−∞ f (x) = −1 + ^π ₄ , y = −1 + ^π ₄ asintoto orizzontale per x → −∞; lim _x→+∞ f (x) = 1 − ^π ₄ , y = 1 − ^π ₄ asintoto orizzontale per x → +∞

(c) f ⁰ (x) = 3 _2(9+x ^{6− √ 9+x}

₎

, domf ⁰ = domf , non ci sono punti di non derivabilità.

(d) f è crescente per |x| < 3 √

3, x = 3 √

3 punto di massimo assoluto, x = −3 √

3 punto di minimo assoluto

(e) f ⁰⁰ (x) = 3x ⁻⁹⁺ _(9+x ^√

^9+x ₎

, f convessa in ] − 6 √

2, 0[ e in ]6 √

2, +∞[.

2. 0, √

3( ^√ ₂ ³ + ₂ ⁱ ), √

3(− ^√ ₂ ³ + ₂ ⁱ ), − √

3i.

3. ¹ ₆

4. converge per β < 2, usando, ad esempio, il criterio della radice; se β = 2 risulta asintotica all’armonica e quindi divergente; diverge per β > 2.

5. continua in R per ogni α ∈ R ⁺ ; derivabile se α > ⁴ ₅ , se α ≤ ⁴ ₅ x = 2 punto angoloso.

6. 6

7. F(x) = e ^x + 5( ^π ₄ − arctan e ^x ) 8. y(x) = x ˜ ² − 2 + 4e ^−x

^/2

Fila 3

1. (a) domf = R, f è dispari.

(b) lim _x→−∞ f (x) = −1 + ^π ₄ , y = −1 + ^π ₄ asintoto orizzontale per x → −∞; lim _x→+∞ f (x) = 1 − ^π ₄ , y = 1 − ^π ₄ asintoto orizzontale per x → +∞

(c) f ⁰ (x) = 4 _2(16+x ^{8− √ 16+x}

₎

, domf ⁰ = domf , non ci sono punti di non derivabilità.

(d) f è crescente per |x| < 4 √

3, x = 4 √

3 punto di massimo assoluto, x = −4 √

3 punto di minimo assoluto

(e) f ⁰⁰ (x) = 4x ⁻¹²⁺ _(16+x ^√

^16+x ₎

, f convessa in ] − 8 √

2, 0[ e in ]8 √

2, +∞[.

2. 0, √

4( ^√ ₂ ³ + ₂ ⁱ ), √

4(− ^√ ₂ ³ + ₂ ⁱ ), − √

4i.

3. ¹ ₅

4. converge per β < 3, usando, ad esempio, il criterio della radice; se β = 3 risulta asintotica all’armonica e quindi divergente; diverge per β > 3.

5. continua in R per ogni α ∈ R ⁺ ; derivabile se α > ⁶ ₇ , se α ≤ ⁶ ₇ x = 3 punto angoloso.

6. 5

7. F(x) = e ^x + 7( ^π ₄ − arctan e ^x ) 8. y(x) = x ˜ ² − 2 + 5e ^−x

^/2

Fila 4

1. (a) domf = R, f è dispari.

(b) lim _x→−∞ f (x) = −1 + ^π ₄ , y = −1 + ^π ₄ asintoto orizzontale per x → −∞; lim _x→+∞ f (x) = 1 − ^π ₄ , y = 1 − ^π ₄ asintoto orizzontale per x → +∞

(c) f ⁰ (x) = 5 ¹⁰⁻ _2(25+x ^{√ 25+x}

₎

, domf ⁰ = domf , non ci sono punti di non derivabilità.

(d) f è crescente per |x| < 5 √

3, x = 5 √

3 punto di massimo assoluto, x = −5 √

3 punto di minimo assoluto

(e) f ⁰⁰ (x) = 5x ⁻¹⁵⁺ _(25+x ^√

^25+x ₎

, f convessa in ] − 10 √

2, 0[ e in ]10 √

2, +∞[.

2. 0, √

5( ^√ ₂ ³ + ₂ ⁱ ), √

5(− ^√ ₂ ³ + ₂ ⁱ ), − √

5i.

3. ¹ ₄

4. converge per β < 4, usando, ad esempio, il criterio della radice; se β = 4 risulta asintotica

all’armonica e quindi divergente; diverge per β > 4.

5. continua in R per ogni α ∈ R ⁺ ; derivabile se α > ⁸ ₉ , se α ≤ ⁸ ₉ x = 4 punto angoloso.

6. 4

7. F(x) = e ^x + 9( ^π ₄ − arctan e ^x ) 8. y(x) = x ˜ ² − 2 + 6e ^−x

^/2

Fila 5

1. (a) domf = R, f è dispari.

(b) lim _x→−∞ f (x) = −1 + ^π ₄ , y = −1 + ^π ₄ asintoto orizzontale per x → −∞; lim _x→+∞ f (x) = 1 − ^π ₄ , y = 1 − ^π ₄ asintoto orizzontale per x → +∞

(c) f ⁰ (x) = 6 ¹²⁻ _2(36+x ^{√ 36+x}

₎

, domf ⁰ = domf , non ci sono punti di non derivabilità.

(d) f è crescente per |x| < 6 √

3, x = 6 √

3 punto di massimo assoluto, x = −6 √

3 punto di minimo assoluto

(e) f ⁰⁰ (x) = 6x ⁻¹⁸⁺ _(36+x ^√

^36+x ₎

, f convessa in ] − 12 √

2, 0[ e in ]12 √

2, +∞[.

2. 0, √

6( ^√ ₂ ³ + ₂ ⁱ ), √

6(− ^√ ₂ ³ + ₂ ⁱ ), − √

6i.

3. ¹ ₃

4. converge per β < 5, usando, ad esempio, il criterio della radice; se β = 5 risulta asintotica all’armonica e quindi divergente; diverge per β > 5.

5. continua in R per ogni α ∈ R ⁺ ; derivabile se α > ¹⁰ ₁₁ , se α ≤ ¹⁰ ₁₁ x = 5 punto angoloso.

6. 3

7. F(x) = e ^x + 11( ^π ₄ − arctan e ^x ) 8. y(x) = x ˜ ² − 2 + 7e ^−x

^/2

Fila 6

1. (a) domf = R, f è dispari.

(b) lim _x→−∞ f (x) = −1 + ^π ₄ , y = −1 + ^π ₄ asintoto orizzontale per x → −∞; lim _x→+∞ f (x) = 1 − ^π ₄ , y = 1 − ^π ₄ asintoto orizzontale per x → +∞

(c) f ⁰ (x) = 7 ¹⁴⁻ _2(49+x ^{√ 49+x}

₎

, domf ⁰ = domf , non ci sono punti di non derivabilità.

(d) f è crescente per |x| < 7 √

3, x = 7 √

3 punto di massimo assoluto, x = −7 √

3 punto di minimo assoluto

(e) f ⁰⁰ (x) = 7x ⁻²¹⁺ _(49+x ^√

^49+x ₎

, f convessa in ] − 14 √

2, 0[ e in ]14 √

2, +∞[.

2. 0, √

7( ^√ ₂ ³ + ₂ ⁱ ), √

7(− ^√ ₂ ³ + ₂ ⁱ ), − √

7i.

3. ¹ ₂

4. converge per β < 6, usando, ad esempio, il criterio della radice; se β = 6 risulta asintotica all’armonica e quindi divergente; diverge per β > 6.

5. continua in R per ogni α ∈ R ⁺ ; derivabile se α > ¹² ₁₃ , se α ≤ ¹² ₁₃ x = 6 punto angoloso.

6. 2

7. F(x) = e ^x + 13( ^π ₄ − arctan e ^x )

8. y(x) = x ˜ ² − 2 + 8e ^−x

^/2