Compito di Fisica Matematica, 25/9/2003
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno 4 tra i seguenti quesiti:
(1) Calcolare la derivata debole del segnale ϕ(t) = rect(t)et. (2) Dopo avere verificato che la funzione
f (x) = (
sin2(x), |x| ≤ 1;
0, altrove
appartiene ad L2(R), lo studente ne calcoli la trasformata di Fourier.
(3) Calcolare l’integrale Z ∞
0
x2 x4+ 1dx.
(4) Determinare le singolarit`a e la loro natura della funzione
f (z) = 1
(z5− z2) sin(z). (5) Sviluppare in serie di Fourier la funzione
f (x) =
( x, |x| ≤ π2;
0, altrove
(6) Risolvere l’equazione differenziale y00(t)+y0(t)−2y(t) = 5, con le condizioni iniziali y(0) = 1 e y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace. Verificare l’esattezza del risultato usando la tecnica standard di risoluzione delle equazioni differenziali.
(7) Calcolare i residui della funzione f (z) = sin(z)1 in corrispondenza dei suoi punti singolari.
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